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23.1 图形的旋转
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 凉山州期末）如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A′B′C．设点B′的坐标为（1，4），则点B的坐标为（　　）
A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，﹣4） C．（﹣1，﹣5） D．（﹣1，﹣6）
2．（2024秋 肥城市期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB'C'的位置．若∠CAB'＝25°，则B'C'与BC所在直线的夹角（锐角）的度数为（　　）
A．25° B．40° C．65° D．70°
3．（2024秋 凉州区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝75°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B、C的对应点分别为D、E，连接CE，若CE∥AB，则∠CAE的值是（　　）
A．25° B．30° C．35° D．45°
4．（2024秋 安州区期末）如图，在正方形网格中，△ABC绕某点旋转一定的角度得到△A1B1C1，则旋转中心是（　　）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
5．（2024秋 凉州区校级期末）如图，△ABC中，∠BAC＝50°，将△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜45°）得到△ADE，DE交AC于点F．当α＝40°时，点D恰好落在BC上，则∠AFE＝（　　）
A．80° B．85° C．90° D．95°
6．（2024秋 凉州区校级期末）如图，点P为等边△ABC外一点，且PA＝5，PC＝4．则PB的最大值为（　　）
A．6 B．8 C．9 D．10
7．（2024秋 清丰县校级期末）如图，将菱形ABCD绕点A逆时针旋转得到菱形AEFG，若AE经过点C，CD与EF相交于H，∠B＝α，∠CHE＝β，则β＝（　　）
A． B． C．90°﹣2α D．180°﹣3α
8．（2025 周村区一模）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（　　）
A．60° B．65° C．70° D．75°
二．填空题（共5小题）
9．（2025 东城区校级开学）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，在旋转过程中，边AD始终与边BC相交于F（点F不与B、C重合）．已知线段AG、CH分别为△AFC、△ABC的角平分线，若∠B＝35°，∠E＝65°．则∠AIC的取值范围是 　 　 ．
10．（2024秋 广州期末）如图，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝3，PB＝1，PC，求∠APB的度数 　 　 ．
11．（2024秋 虞城县期末）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E是AB的中点，若BC＝8，，将线段CD绕点C进行旋转，点D的对应点为D′，连接AD′，ED′．当∠AED′＝90°时，AD′的长为　 　 ．
12．（2025春 蜀山区校级期中）如图，点P是等腰直角三角形ABC内的一个点，且PA＝2，，PC＝1，若将△PAC绕点C逆时针旋转后得到△P'BC，则PP'＝ 　 　 ，∠CP'B＝ 　 　 ．
13．（2024秋 凉州区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝134°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，∠BAD的度数为　 　 ．
三．解答题（共2小题）
14．（2024秋 三台县期末）如图，△ABC为等边三角形，点D为BC延长线上一动点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转120°得到AE，直线CE与AB交于点F．过点E作EG∥AC交AB的延长线于点G．
（1）若∠BAE＝45°，求∠D的度数；
（2）求证：BD＝2AF．
15．（2024秋 旬阳市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，将△ABC绕点A逆时针旋转一定的角度，得到△ADE，且满足AD∥BC，连接BD，求∠BDE的度数．
23.1 图形的旋转
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 凉山州期末）如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A′B′C．设点B′的坐标为（1，4），则点B的坐标为（　　）
A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，﹣4） C．（﹣1，﹣5） D．（﹣1，﹣6）
【考点】坐标与图形变化﹣旋转．
【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】根据旋转的性质可得△ABC≌△A′B′C，BC＝B′C，可证△BCE≌△B′FC（AAS），CE＝CF，BE＝B′F，由坐标与图形的特点可得B′F＝BE＝1，OE＝5﹣（﹣1）＝6，由此即可求解．
【解答】解：如图所示，过点B′作B′F⊥y轴于点F，过点B作BE⊥y轴于点E，则∠BEC＝∠B′FC＝90°，
∵将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴BC＝B′C，
又∵∠BCE＝∠B′CF，
∴△BCE≌△B′FC（AAS），
∴CE＝CF，BE＝B′F，
∵C（0，﹣1），B′（1，4），
∴CF＝CE＝4﹣（﹣1）＝5，B′F＝BE＝1，
∴OE＝5﹣（﹣1）＝6，
∴B（﹣1，﹣6），
故选：D．
【点评】本题考查了平面直角坐标系的特点，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，掌握旋转的性质，全等三角形判定和性质是解题的关键．
2．（2024秋 肥城市期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB'C'的位置．若∠CAB'＝25°，则B'C'与BC所在直线的夹角（锐角）的度数为（　　）
A．25° B．40° C．65° D．70°
【考点】旋转的性质；三角形内角和定理．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】B
【分析】延长BC交B′C′于点E，根据题意求出∠BAB′＝40°，由旋转的性质得：∠B＝∠B′，再利用三角形内角和定理得到∠B′+∠BEB′＝∠B+∠BAB′，推出∠BEB′＝∠BAB′＝40°，即可求解．
【解答】解：延长BC交B′C′于点E，
∵∠CAB＝65°，∠CAB′＝25°，
∴∠BAB′＝∠CAB﹣∠CAB′＝40°，
由旋转的性质得：∠B＝∠B′，
∵∠B′+∠BEB′＝∠B+∠BAB′，
∴∠BEB′＝∠BAB′＝40°．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
3．（2024秋 凉州区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝75°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B、C的对应点分别为D、E，连接CE，若CE∥AB，则∠CAE的值是（　　）
A．25° B．30° C．35° D．45°
【考点】旋转的性质；平行线的性质；三角形内角和定理．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】由旋转的性质可得AC＝AE，再根据平行线的性质，得∠ECA＝∠CAB＝75°，利用三角形内角和定理求出∠EAC，即可解决问题．
【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC＝75°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B、C的对应点分别为D、E，
∴AC＝AE，∠EAD＝∠CAB＝75°，
∴∠ECA＝∠AEC，
∵CE∥AB，
∴∠ECA＝∠CAB＝75°，
∴∠EAC＝180°﹣∠AEC﹣∠ACE
＝180°﹣75°﹣75°
＝30°，
∴∠CAE的值是30°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，由旋转得出AC＝AE是解题的关键．
4．（2024秋 安州区期末）如图，在正方形网格中，△ABC绕某点旋转一定的角度得到△A1B1C1，则旋转中心是（　　）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【考点】旋转的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力；应用意识．
【答案】B
【分析】根据图形旋转的性质，旋转前后的对应点到旋转中心的距离相等即可解决问题．
【解答】解：令正方形网格的边长为1，
则CN＝C1N＝1，
AN＝A1N，
BN＝B1N2，
所以点N为旋转中心．
故选：B．
【点评】本题考查旋转的性质，熟知旋转前后的对应点到旋转中心的距离相等是解题的关键．
5．（2024秋 凉州区校级期末）如图，△ABC中，∠BAC＝50°，将△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜45°）得到△ADE，DE交AC于点F．当α＝40°时，点D恰好落在BC上，则∠AFE＝（　　）
A．80° B．85° C．90° D．95°
【考点】旋转的性质．
【专题】三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】由旋转得AD＝AB，∠BAD＝α＝40°，则∠ADE＝∠B＝∠ADB（180°﹣∠BAD）＝70°，而∠BAC＝50°，所以∠CAD＝10°，则∠AFE＝∠CAD+∠ADE＝80°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE，且α＝40°，
∴AD＝AB，∠BAD＝α＝40°，∠ADE＝∠B，
∴∠B＝∠ADB（180°﹣∠BAD）（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ADE＝∠B＝70°，
∵∠BAC＝50°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝50°﹣40°＝10°，
∴∠AFE＝∠CAD+∠ADE＝10°+70°＝80°，
故选：A．
【点评】此题重点考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，推导出∠BAD＝α＝40°，并且求得∠ADE＝∠B＝70°是解题的关键．
6．（2024秋 凉州区校级期末）如图，点P为等边△ABC外一点，且PA＝5，PC＝4．则PB的最大值为（　　）
A．6 B．8 C．9 D．10
【考点】旋转的性质；三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】图形的全等；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】C
【分析】如图，将AP绕点A顺时针旋转60°至AD，连接BD、DP，根据旋转的性质得△ADP是等边三角形，得DP＝AD＝AP＝5，根据等边三角形的性质得AB＝AC，∠BAC＝60°，证明△ABD≌△ACP（SAS），得BD＝CP＝4，继而得到BP≤BD+DP＝4+5＝9，当点D在BP上时取“＝”，此时BP取得最大值9，即可得出结论．
【解答】解：如图，将AP绕点A顺时针旋转60°至AD，连接BD、DP，
∴AD＝AP＝5，∠PAD＝60°，
∴△ADP是等边三角形，
∴DP＝AD＝AP＝5，
∵△ABC是等边三角形，PC＝4，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝60°﹣∠DAC＝∠PAD﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAP，
在△ABD和△ACP中，
，
∴△ABD≌△ACP（SAS），
∴BD＝CP＝4，
∴BP≤BD+DP＝4+5＝9，即BP≤9，
当点D在BP上时取“＝”，此时BP取得最大值9，
∴PB的最大值为9．
故选：C．
【点评】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，确定BP≤BD+DP是解题的关键．
7．（2024秋 清丰县校级期末）如图，将菱形ABCD绕点A逆时针旋转得到菱形AEFG，若AE经过点C，CD与EF相交于H，∠B＝α，∠CHE＝β，则β＝（　　）
A． B． C．90°﹣2α D．180°﹣3α
【考点】旋转的性质；菱形的性质．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】B
【分析】由将菱形ABCD绕点A逆时针旋转得到菱形AEFG，∠B＝α，∠CHE＝β，得BC＝BA，得∠ACD＝∠ACB＝0.5（180﹣α）＝90﹣0.5α，∠E＝∠B＝α，即可得β＝∠CHE＝∠ACD﹣∠E＝90﹣0.5α﹣α＝90° α．
【解答】解：由将菱形ABCD绕点A逆时针旋转得到菱形AEFG，∠B＝α，∠CHE＝β，
得BC＝BA，
得∠ACD＝∠ACB＝0.5（180﹣α）＝90﹣0.5α，
∠E＝∠B＝α，
得β＝∠CHE＝∠ACD﹣∠E＝90﹣0.5α﹣α＝90° α．
故选：B．
【点评】本题主要考查了图形的旋转，解题关键是正确应用旋转的性质．
8．（2025 周村区一模）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（　　）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【考点】旋转的性质．
【专题】常规题型；平移、旋转与对称．
【答案】D
【分析】由旋转性质知△ABC≌△DEC，据此得∠ACB＝∠DCE＝30°、AC＝DC，继而可得答案．
【解答】解：由题意知△ABC≌△DEC，
则∠ACB＝∠DCE＝30°，AC＝DC，
∴∠DAC75°，
故选：D．
【点评】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．
二．填空题（共5小题）
9．（2025 东城区校级开学）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，在旋转过程中，边AD始终与边BC相交于F（点F不与B、C重合）．已知线段AG、CH分别为△AFC、△ABC的角平分线，若∠B＝35°，∠E＝65°．则∠AIC的取值范围是 　107.5°＜∠AIC＜147.5°　 ．
【考点】旋转的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】107.5°＜∠AIC＜147.5°．
【分析】先利用旋转性质得∠ACB＝∠E＝65°，算出∠BAC＝80°，设∠BAF＝α，结合角平分线性质表示出相关角，推导出∠AIC关于α的表达式，再根据F的位置确定α的范围，进而得出∠AIC的取值范围．
【解答】解：由旋转可知：∠ACB＝∠E＝65°，
∵∠B＝35°，
∴∠BAC＝180°﹣35°﹣65°＝80°，
设∠BAF＝α，则∠FAC＝80°﹣α，
∵AG平分∠AFC，CH平分∠ACB，∠AFC＝∠B+∠BAF＝35°+α，
∴∠FAG∠FAC（80°﹣α），
∠HCB∠ACB＝32.5°，
∠AIC＝180°﹣∠IAC﹣∠ICA，
∠IAC＝∠FAG，∠ICA＝∠HCB，
则∠AIC＝180°80°﹣α）﹣32.5°＝180°﹣40°α﹣32.5°＝107.5°，
∵点F不与B、C重合，
∴0°＜a＜80°，
当a＝0°时，∠AIC＝107.5°，
当a＝80°时，∠AIC＝107.5°+40°＝147.5°，
∴107.5°＜∠AIC＜147.5°．
故答案为：107.5°＜∠AIC＜147.5°．
【点评】本题考查旋转的性质，解题的关键是结合三角形内角和定理以及角平分线的性质推导出∠AIC关于α的表达式来解答．
10．（2024秋 广州期末）如图，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝3，PB＝1，PC，求∠APB的度数 　45°　 ．
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'．证明△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°即可解决问题．
【解答】解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'．
则△ABP'≌△CBP，AP′＝CP，BP'＝BP＝1，∠PBP'＝90°，
∴∠BPP'＝45°，
根据勾股定理得，PP′，
∵AP＝3，
∴AP2+P'P2＝9+2＝11，
又∵P′A2＝（）2＝11，
∴AP2+P'P2＝P'A2，
∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，
∴∠APB＝∠APP'﹣∠BPP'＝90°﹣45°＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查了旋转的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是利用全等三角形的性质解决问题，属于中考压轴题．
11．（2024秋 虞城县期末）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E是AB的中点，若BC＝8，，将线段CD绕点C进行旋转，点D的对应点为D′，连接AD′，ED′．当∠AED′＝90°时，AD′的长为　或　 ．
【考点】旋转的性质；等边三角形的性质；勾股定理．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】或．
【分析】根据等边三角形的性质得出，当∠AED′＝90°时，点C、D′、E三点共线，进行分类讨论①当点D′在△ABC内部时，②当点D′在△ABC外部时，根据勾股定理即可求解．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，点E是AB的中点，BC＝8，
∴AC＝AB＝BC＝8，，
当∠AED′＝90°时，点C、D′、E三点共线，
∴，
∵CD′由CD绕点C旋转所得，
∴，
①当点D′在△ABC内部时，
∴，
根据勾股定理可得：；
②当点D′在△ABC外部时，
∴，
根据勾股定理可得：；
故答案为：或．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是掌握等边三角形三边相等，三线合一；旋转前后对应边相等；以及具有分类讨论的思想．
12．（2025春 蜀山区校级期中）如图，点P是等腰直角三角形ABC内的一个点，且PA＝2，，PC＝1，若将△PAC绕点C逆时针旋转后得到△P'BC，则PP'＝ 　　 ，∠CP'B＝ 　135°　 ．
【考点】旋转的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】，135°．
【分析】由旋转得P′C＝PC＝1，P′B＝PA＝2，∠PCP′＝∠ACB＝90°，求得PP′，∠CP′P＝∠CPP′＝45°，而PB，则P′B2+PP′2＝PB2＝6，所以∠PP′B＝90°，则∠CP'B＝∠CP′P+∠PP′B＝135°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝90°，
∵将△PAC绕点C逆时针旋转后得到△P'BC，
∴P′C＝PC＝1，P′B＝PA＝2，∠PCP′＝∠ACB＝90°，
∴PP′，∠CP′P＝∠CPP′＝45°，
∵PB，
∴P′B2+PP′2＝22+（）2＝6，PB2＝（）2＝6，
∴P′B2+PP′2＝PB2，
∴△PP′B是直角三角形，且∠PP′B＝90°，
∴∠CP'B＝∠CP′P+∠PP′B＝45°+90°＝135°，
故答案为：，135°．
【点评】此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理及其逆定理等知识，求得PP′，∠CP′P＝∠CPP′＝45°，进而推导出∠PP′B＝90°是解题的关键．
13．（2024秋 凉州区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝134°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，∠BAD的度数为　88°　 ．
【考点】旋转的性质．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】88°．
【分析】根据旋转可知AC＝CD，∠EDC＝∠BAC＝134°，结合等腰三角形的性质和邻补角的性质可求出∠CAD＝∠CDA＝46°，最后根据∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD求解即可．
【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝134°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，
∴AC＝CD，∠EDC＝∠BAC＝134°，
∴∠CAD＝∠CDA＝180°﹣∠EDC＝46°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝88°．
故答案为：88°．
【点评】本题考查旋转的性质，掌握旋转的性质是解题关键．
三．解答题（共2小题）
14．（2024秋 三台县期末）如图，△ABC为等边三角形，点D为BC延长线上一动点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转120°得到AE，直线CE与AB交于点F．过点E作EG∥AC交AB的延长线于点G．
（1）若∠BAE＝45°，求∠D的度数；
（2）求证：BD＝2AF．
【考点】旋转的性质；平行线的性质；等边三角形的性质．
【专题】三角形．
【答案】（1）45°；
（2）证明：∵EG∥AC，
∴∠G＝∠BAC＝∠ABC＝60°．
在△EAG和△ADB中，
，
∴△EAG≌△ADB（AAS）．
∴EG＝AB，GA＝BD．
∴EG＝CA．
在△EFG和△CFA中，
，
∴△EFG≌△CFA（AAS）．
∴AF＝GF．
∴BD＝AG＝2AF．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB＝AC，然后根据∠BAE+∠CAD＝60°，∠D+∠CAD＝60°得到∠D＝∠BAE解题即可；
（2）先根据AAS证明△EAG≌△ADB，即可得到EG＝AB，然后证明△EFG≌△CFA即可得到结论．
【解答】（1）解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，AB＝AC．
∵∠DAE＝120°，
∴∠BAE+∠CAD＝60°．
又∠D+∠CAD＝60°，
∴∠D＝∠BAE＝45°．
（2）证明：∵EG∥AC，
∴∠G＝∠BAC＝∠ABC＝60°．
在△EAG和△ADB中，
，
∴△EAG≌△ADB（AAS）．
∴EG＝AB，GA＝BD．
∴EG＝CA．
在△EFG和△CFA中，
，
∴△EFG≌△CFA（AAS）．
∴AF＝GF．
∴BD＝AG＝2AF．
【点评】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
15．（2024秋 旬阳市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，将△ABC绕点A逆时针旋转一定的角度，得到△ADE，且满足AD∥BC，连接BD，求∠BDE的度数．
【考点】旋转的性质；平行线的性质．
【专题】平移、旋转与对称．
【答案】15°．
【分析】由旋转的性质可得∠ADE＝∠ABC＝50°，AB＝AD，由等边对等角可得∠ADB＝∠ABD，由平行线的性质可得∠DAB＝∠ABC＝50°，由三角形内角和定理得出，即可得出答案．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度得到△ADE，
∴∠ADE＝∠ABC＝50°，AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∵AD∥BC，
∴∠DAB＝∠ABC＝50°，
∴，
∴∠BDE＝∠ADB﹣∠ADE＝65°﹣50°＝15°．
【点评】本题主要考查了旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．

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