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第1章一元二次方程章末检测卷-2025-2026学年数学九年级上册苏科版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的方程是（　　）
A． B．
C． D．
4．关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
5．水果店用1500元进了一批水果，按的利润定价，无人购买．决定打折出售，仍然无人购买，结果又一次打折后全部售出．经结算，这批水果共盈利元，已知两次打折的折扣相同，求每次的折扣是（ ）
A．折 B．8折 C．折 D．9折
6．已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A．6 B． C． D．8
7．如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（　　）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
8．新能源汽车是指采用非常规车用燃料（如电能、氢能等）作为动力来源，或使用新型车载动力装置的汽车，其核心特点是通过先进技术实现节能减排，推动汽车行业的绿色转型．某品牌新能源汽车年的销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，年的销售量比年增加了万辆．若设从年到年该品牌新能源汽车销售量的年平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，在下面四个选项中，能正确说明方程解法的构图是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
10．方程的解是 ．
11．已知数轴上A、B两点相距4个单位长度，且对应的数字如图，则 ．

12．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
13．已知三角形的两边长分别为2和4，第三边长是一元二次方程的解，则这个三角形的周长是 ．
14．若数使关于的不等式组有且只有四个整数解，且使关于的一元二次方程有实数根，则符合条件的所有整数的值为 ．
15．如图是一个长为、宽为的矩形空地，现计划要在中间修建3条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为，若设小道的宽为，则根据题意，可列方程为 ．
16．2025年蛇年，中国将迎来首个非遗版春节．春节-中国人传统新年的社会实践被正式列入人类非物质文化遗产代表作名录（名册）．至此，我国共有44个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录（名册），总数居世界第一，在2005年，中国共只有4个项目，列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录（名册）．假设从2005年到2015年与2015年到2025年这两个时间段内名录（名册）数量的增长率相同，均为x，请你结合题意列出方程 ．
三、解答题
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．已知一元二次方程有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．
19．方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为，．
(1)求m的取值范围；
(2)若，求m的值．
20．用长为78米的竹篱笆围一个面积为750平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长45米），另三边用竹篱笆围成，
(1)求鸡场的长与宽各为多少米？
(2)能否围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场？如果能，说明围法；如果不能，请说明理由．
21．乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火纷飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离．电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据．（注：票房是指截至发布日期的所有售票累计收入）
影片《万里归途》的部分统计数据
发布日期 10月8日 10月11日 10月12日
发布次数 第1次 第2次 第3次
票房 10亿元 12.1亿元
(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？
(2)若保持每次累计票房增长的百分率不变，请求第4次发布后的票房收入？
22．已知：如图所示，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．
(1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的面积等于？
(2)在（1）中，的面积能否等于？请说明理由．
23．【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题．
已知关于、的方程，求的值．
解：设，则方程变形为：
，， 即或
(1)【引申】已知，则_____________．
(2)【拓展】已知，求的值．
《第1章一元二次方程章末检测卷-2025-2026学年数学九年级上册苏科版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B A A A C C D D A
1．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、方程中，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意；
B、方程是一元二次方程，符合题意；
C、方程中，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
D、方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：B．
2．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故选：A．
3．A
【分析】本题考查了解分式方程，换元法的应用，解题的关键是去分母将其化为整式方程．
由题意可得，再去分母可得，即可求解．
【详解】解：设，
则原方程可化为： ，
，
，
故选：A．
4．A
【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是掌握根据判别式判断一元二次方程根的情况．
先分别写出各项系数，，，再求出，根据其符号判断根的情况．
【详解】解：，
，，，
，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
5．C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
设每次打了x折，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：设每次打了x折，根据题意得，
，
解得：（舍去），
∴每次打了折．
故选C．
6．C
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．据此求得，，进而代值求解即可．
【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故选：C．
7．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握方程的解的定义并能对代数式进行变形是解题的关键．先将方程的解代入方程，得到关于和的关系式，再对代数式进行变形，代入求值．
【详解】解：把代入，得，
，
所以
，
故选：D．
8．D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设从年到年该品牌新能源汽车销售量的年平均增长率为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设从年到年该品牌新能源汽车销售量的年平均增长率为，
由题意得，，
故选：．
9．A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解一元二次方程的正数解的几何解法是解题的关键．
根据题意，画出方程，即的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案．
【详解】解：方程，即的拼图如图所示；
中间小正方形的边长为，其面积为，
大正方形的面积：，其边长为7，
因此，A选项所表示的图形符合题意，
故选：A．
10．
【分析】本题考查直接开方法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键．
根据直接开方法进行求解即可．
【详解】解：，
，
，
．
故答案为：．
11．1
【分析】本题考查两点间的距离，解一元二次方程，根据两点间的距离公式，列出方程进行求解即可．
【详解】解：，
整理，得：，
解得；
故答案为：1．
12．
【分析】本题主要考查了根的判别式，利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【详解】解：因为关于的方程有两个相等的实数根，
所以，
解得．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查三角形三边关系，解一元二次方程，根据三角形三边关系得出第三边长的取值范围，再求出一元二次方程的解并分析判断，最后结合三角形周长公式求解即可．
【详解】解：三角形的两边长分别为2和4，
第三边长的取值范围为：第三边，
第三边长是一元二次方程的解，
且
解得（不合题意，舍去），，
第三边长是，
则这个三角形的周长是．
故答案为：．
14．，，
【分析】本题考查了根据不等式组解的情况求参数，根据一元二次方程解的情况求参数，先求出不等式组的解集，根据解集的情况得出关于的不等式，求出的取值范围，再根据根的判别式及一元二次方程的定义求出的取值范围，进而综合两个解集即可求解，正确计算是解题的关键．
【详解】解：，
由①得，，
由②得，，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组有且只有四个整数解，
∴，
解得，
∵关于的一元二次方程有实数根，
∴且，
∴且，
∴的取值范围为，
∴符合条件的所有整数的值为，，，
故答案为：，，．
15．
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设小道的宽为，则6个小矩形可合成长为、宽为的矩形，然后利用矩形的面积公式列出关于x的一元二次方程即可．
【详解】解：设小道的宽为，
则根据题意，可列方程为，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用2025年的名录（名册）数量2005年的名录（名册）数量（1每10年的增长率），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：．
故答案为：．
17．(1)，；
(2)，．
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（）利用公式法求解即可；
（）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：
，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，；
（2）解：
，
或，
得，．
18．；方程的根为
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式等于0求出的值，再利用直接开平方法解方程即可得．
【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴这个一元二次方程根的判别式，
解得．
∴这个一元二次方程为，即，
∴方程的根为．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及完全平方公式的变形，掌握相关知识是解题的关键．
（1）直接利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，利用完全平方公式代入进行变形计算即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
即，
解得，
则m的取值范围为；
（2）由韦达定理可知：，，
若，
由可得，
即，
将，代入得：，
即，
解得，
由（1）可知，故符合题意，
因此，m的值为．
20．(1)鸡场的长为30米，宽为25米
(2)不能，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式．
（1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米，根据围成鸡场的面积为750平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙长45米，即可确定鸡场的长与宽；
（2）不能围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场，设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为米，根据围成鸡场的面积为900平方米，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，即不能围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场．
【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：鸡场的长为30米，宽为25米；
（2）解：不能围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场，理由如下：
设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为米，
依题意得：，
整理得：，
∵，
∴该方程没有实数根，
即不能围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场．
21．(1)；
(2)亿元
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设平均每次累计票房增长的百分率是x，利用第3次累计票房=第1次累计票房×（1+平均每次累计票房增长的百分率），列出一元二次方程，解之取其正值即可；
（2）利用第4次累计票房=第3次累计票房×（1+平均每次累计票房增长的百分率），即可得出答案．
【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是x，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：平均每次累计票房增长的百分率是；
（2）解：（亿元）
即第4次累发布后的票房收入为亿元．
22．(1)1秒后的面积等于
(2)的面积不可能等于，理由见解析
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）设经过x秒钟，的面积等于，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出和的长可列方程求解．
（2）通过根的判别式即可判定能否达到，即可作答．
【详解】（1）解：∵其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动
∴
设经过x秒以后面积为，
则，
整理得：，
∴
解得：（舍去），
答：1秒后的面积等于；
（2）解：的面积不能等于，理由如下：
设经过t秒以后面积为，
则，
整理得：，
，
∴此方程无解，
故的面积不能等于．
23．(1)4
(2)
【分析】本题考查了换元法在解复杂方程中的应用及非负代数式的取值判断，解题的关键是通过设新元将含平方、多项式乘积的复杂方程转化为一元二次方程，同时结合代数式（如平方数、二次三项式）的实际取值范围舍去不合理的解．
（1）设（），将方程转化为，解一元二次方程后根据的非负性舍去负解；
（2）设，将方程转化为，解一元二次方程后，通过配方判断的取值范围，舍去不符合的解．
【详解】（1）解：设，
∵，，
∴．
原方程变形为，
开方得或，
解得，．
∵，
∴舍去，即．
故答案为：．
（2）解：设，原方程变形为，
整理得，
因式分解：，
解得，．
又∵，
∴不符合 条件，
故的值为．

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