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第2章对称图形-圆章末检测卷-2025-2026学年数学九年级上册苏科版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．三角形的外心是三角形中（　　）
A．三条高的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
2．如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为―（ ）
A． B． C． D．不能确定
3．一个圆锥形零件的母线长为，底面半径为，则这个圆锥形零件的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系xOy中，以点为圆心的圆过点，直线与交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为（ ）
A．22 B．24 C． D．
7．如图，在中，直径，弦，且于点，，，则的半径是（ ）
A． B．2 C． D．3
8．如图，，点C、D分别是的两边、上的动点，点C、D在运动过程中始终保持 ，以为斜边作等腰直角三角形，点E在的右侧，则线段的最大值是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在 中，，，，将 绕点 旋转至 的位置，且使点 ，， 在同一条直线上，则点经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点，半径为2，，，点是上的动点，点是的中点，则的最小值为（ ）
A．1 B．1.5 C．2.5 D．3.5
二、填空题
11．已知的两直角边分别是和，则其外接圆半径为 ．
12．如图，在中，已知，则弧的度数是 ．
13．如图，已知扇形，点D为圆弧上一点，且的度数为，若P为扇形内一点，则的取值范围是 ．
14．如图，是半圆O的直径，，，，则O到的距离 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴，轴都相切，且经过矩形的顶点．与相交于点，若的半径为，点的坐标是，则点的坐标是 ．
16．如图，已知半径为的上有三点、、，与交于点，，，则阴影部分的扇形面积是 ．
三、解答题
17．已知：如图，△．
求作：，使圆心在边的中线上，且圆与、边相切．
18．如图，，是的两条弦，．求证：．
19．如图，已知经过平行四边形的顶点及对角线的交点，交于点且圆心在边上，．
(1)求证：为的切线；
(2)连接，若，求的半径．
20．追本溯源
题（1）来自于课本中的练习，请你完成解答，并利用（1）中的结论完成题（2）．
(1)如图1， 是的弦，半径 求 的面积．
结论应用
(2)如图2，点A，B，P在半径为的上， ，求图中阴影部分的面积．
21．如图，在矩形中,，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动．设运动时间为t秒．
(1)当时,的面积为 ；
(2)在运动过程中的面积能否为？如果能，求出t的值，若不能，请说明理由；
(3)运动过程中，当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时，求t的值；
22．如图，是等腰直角三角形，，将绕点旋转得到，连接，点是的中点，连接．
(1)如图1，当点与重合，点和重合时，请直接写出线段和的数量关系；
(2)当绕点旋转到如图2的位置时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)绕点旋转一周，连接，请直接写出的最大值和最小值．
《第2章对称图形-圆章末检测卷-2025-2026学年数学九年级上册苏科版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D B B A A B A B
1．D
【分析】本题考查了三角形的外心的定义．
根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点作答即可．
【详解】三角形的外心是三角形中三边垂直平分线的交点，
故选：D．
2．B
【分析】本题主要考查了四边形的内角和以及圆面积公式，解答本题的关键是掌握相关的圆的面积公式．
根据四边形的内角和为得到四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为的圆的面积．
【详解】解：∵四边形内角和为，
∴四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为的圆的面积，
即这四个喷水池占去的绿化园地的面积为．
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了圆锥的表面积的计算，根据表面积等于侧面积加上一个圆的面积计算全面积即可．
【详解】解：，
．
故选D．
4．B
【分析】本题考查垂径定理的运用以及翻折变换的性质，解题的关键在于作出辅助线利用数形结合解答．
连接，过点O作于点E，交于点D，由折叠的性质得：，在中，利用勾股定理可得，再由勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接，过点O作于点E，交于点D，
由折叠的性质得：，
∵的半径为，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
故选：B
5．B
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系,掌握相关知识是解决问题的关键。连接、，如图，利用等腰三角形的性质得，，则根据三角形内角和定理得到，，则，于是得到的度数为．
【详解】解：连接、，如图，
，，
，，
，，
，
∴的度数为．
故选：B．
6．A
【分析】本题重点考查垂径定理的应用以及直线过定点的求解，找出直线所过的定点，并判断该定点与圆的位置关系是解题的关键．
首先确定圆的半径为13，直线恒过定点，根据垂径定理，当弦与垂直时，弦长最短，结合勾股定理即可求解．
【详解】解：对于直线，无论为何值时，恒经过点，记为点,
因为，
所以，垂足为，则有，
点,
，
，
由于过圆内定点的所有弦中，与垂直的弦最短，如图所示
根据垂径定理及勾股定理可得,
的最小值为，
故选：A．
7．A
【分析】本题考查垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
连接，由垂径定理可得，再用勾股定理解即可．
【详解】解：连接，
，，
，
在中，，
故选：A．
8．B
【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识点，解决此题的关键是正确转化为两点之间线段最短；作的外接圆，由圆周角定理得到对应的圆心角是，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理算出线段的长度，再根据两点之间线段最短即可解决问题．
【详解】解：如图，作的外接圆，圆心为F，连接，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形；
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵以为斜边作等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的最大值为．
故选：B．
9．A
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和，弧长的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先求得，然后根据旋转，可得，接着求出点旋转的角度，然后利用弧长公式计算即可．
【详解】解：在 中，，，
，
将 绕点 旋转至 的位置，且使点 ，， 在同一条直线上，
，
，
，
点经过的路径长为：，
故选：A．
10．B
【分析】本题考查了坐标与图形、三角形中位线定理、勾股定理，连接交于，连接，由题意得出是的中位线，则，从而得到当最小时，最小，即当运动到时，最小，此时也为最小，求出的长即可得出答案．
【详解】解：如图，连接交于，连接，
，
∵，，
∴，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴当最小时，最小，
∴当运动到时，最小，此时也为最小，
∵，
∴的最小值为，
故选：B．
11．
【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知直角三角形的外心是斜边的中点是解答此题的关键．先根据勾股定理求出斜边的长，进而可得出结论．
【详解】解：的两直角边分别是和，
斜边的长为，
的外接圆半径为 ．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了求弧的度数．
根据等边对等角求出的度数即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴弧的度数是．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理并结合扇形内点的位置分析角的取值范围．
先根据圆周角定理，结合点在扇形内的位置，确定的取值范围．
【详解】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
当点在优弧上时，；
当点在扇形内（不包括优弧上的点）时，大于，小于，
所以的取值范围是．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，圆的定义，勾股定理．由等腰三角形的性质及三角形内角和定理得，再根据，得到，进而求出，根据题意得到，即，可求 ，得到，再由勾股定理得，即可求解．
【详解】解：，，
，
∵，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴，
在中，，
∴．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，垂径定理等，连接，设与轴的切点为，与轴的切点为，连接并延长，与交于点，可得四边形、四边形和四边形都是矩形，即得，，进而得到，即得，即得到，，得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，设与轴的切点为，与轴的切点为，连接并延长，与交于点，
则，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形和四边形都是矩形，
∴，，，，
∴，
∵点的坐标是，
∴，
∵的半径为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及扇形面积公式，熟练掌握这些知识是解题的关键．
先利用三角形外角性质求出，再由等腰三角形性质得出，进而求出圆心角，最后根据扇形面积公式计算扇形的面积．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴阴影部分的扇形面积，
故答案为：．
17．见解析
【分析】本题考查作图—复杂作图、切线的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
根据角平分线上的点到角两边距离相等可知：圆心在的角平分线．先作线段的垂直平分线，交于点，连接，再作的平分线，交于点，过点作，垂足为，以点为圆心，的长为半径画圆即可．
【详解】解：如图，先作线段的垂直平分线，交于点，连接，再作的平分线，交于点，过点作，垂足为，以点为圆心，的长为半径画圆，
则即为所求．
18．见解析
【分析】本题考查了弧与圆周角的关系，平行线的性质；连接，根据平行线的性质得出，进而根据弧与圆周角的关系，即可得证．
【详解】证明：如图，连接，
∵，
∴．
∴．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（）连接，由平行四边形的性质得，，即得，再根据平行线的性质得到，即可求证；
（）连接，连接，过作于，可得是等边三角形，得到，即得到，设，则，，即可得，再根据勾股定理列出方程即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴为切线；
（2）解：连接，连接，过作于，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴的半径为．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，圆周角定理，切线的判定，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理、扇形面积公式以及圆周角定理．解题关键是熟练掌握圆周角定理．
（1）作垂线，将分两个直角三角形，利用直角三角形性质求、，再用面积公式计算．
（2）由圆周角定理得，求扇形面积，减去（1）中面积的阴影面积．
【详解】（1）解：如图1，过点 O 作(于点 C，
由勾股定理得，
∴的面积 ．
（2）如图2，点O 为的圆心，连接，，
∵，
∴，
，
由(1)可得的面积，
．
21．(1)
(2)不能，理由见解析
(3)6或
【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、一元二次方程的判别式及应用、勾股定理与圆的性质（直径所对圆周角为直角），解题的关键是根据运动时间表示出各线段长度，再结合相关几何性质与代数知识建立关系式求解．
（1）先根据运动速度和时间，计算出、，进而求出、；再分别计算矩形的面积，以及、、的面积；最后利用“”求出的面积．
（2）先根据运动时间表示出各相关线段长度，进而列出面积为时的方程；整理方程得，计算判别式；根据判别式小于可知方程无实数根，从而判断的面积不能为．
（3）由可知、、三点在以为直径的圆上，若、、、四点共圆，则；根据勾股定理分别表示出、、；利用时建立方程，求解方程得，．
【详解】（1）解：由题意得，
∴，，
∴，，，
∴（）；
（2）解：在运动过程中的面积不能为，理由如下：
根据题意得，
整理得，
∵，
∴方程无实数根，
∴的面积不可能为，
（3）解：∵，
∴A、P、D三点在以为直径的圆上，
若点Q也在圆上，则，
∵，，，
当，
∴，
解得，，
∴或时A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上．
22．(1)；
(2)成立，证明见解析；
(3)最大值：，最小值：．
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、垂直平分线的性质、圆的定义、圆的性质：
（1）根据直角三角形斜边上中线的性质即可得到结论；
（2）延长至，使得，连接，证明即可；
（3）设中点为O，连接，则，易知F的运动轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，根据圆的性质即可求出的最大值和最小值．
【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，F是中点，
∴，即，即；
（2）解：（1）的结论依然成立，理由如下：
如图，延长至，使得，连接，
由旋转可知：，
又∵点是的中点，
，
又∵，
同理：∴，
又∵，
∴，
又
；
（3）解：如图：
由旋转可知，
∵是中点，
∴，
∴，
设中点为O，连接，则，
∵B、C是定点，
∴O是定点，
∴根据圆的定义可知F的运动轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，
连接，在中，，
∴的最小值为，
最大值为．

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