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第13章 三角形-第14章 全等三角形
一、选择题（共8小题）
1．（2024秋 西华县期末）在数学课上，同学们用木棍摆三角形，木棍的长度有10cm，15cm，20cm和25cm四种．小颖已经取10cm和20cm两根木棍，那么第三根木棍不可能取（　　）
A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm
2．（2024秋 无棣县期末）根据下列条件，不能画出唯一确定的△ABC的是（　　）
A．AB＝4，BC＝5，AC＝6 B．∠A＝65°，AB＝8，∠B＝40°
C．AB＝4，BC＝3，∠A＝45° D．∠C＝90°，AB＝8，BC＝4
3．（2024秋 沅江市期末）已知，如图，AB＝AC，AD＝AE，BE与CD相交于点P，则下列正确的个数为（　　）
①PC＝PB；②∠CAP＝∠BAP；③∠PAB＝∠B； ④共有4对全等三角形．
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（2024秋 文登区期末）下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024秋 潜山市期末）如图，把△ABC的一角折叠，若∠A＝65°，则∠1+∠2的度数为（　　）
A．65° B．130° C．115° D．160°
6．（2024秋 新市区校级期末）若a，b是等腰△ABC的两边，且满足|a﹣3|+（b﹣7）2＝0，则此三角形的周长为（　　）
A．13 B．17 C．13或17 D．20
7．（2024秋 合阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，BD＝4，则BC＝（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．（2025 南岗区校级开学）已知三角形三个内角的比为1：3：5，则这个三角形三个外角的比为（　　）
A．1：3：4 B．4：3：2 C．7：6：5 D．5：3：1
二、填空题（共6小题）
9．（2025春 左权县期末）如图，已知AC＝DB，若要判定△ABC≌△DCB，则只需添加一个适当的条件是 　 　 ．
10．（2024秋 昭通期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC的长是 　 　 ．
11．（2024秋 邗江区期末）在ABC中，∠A＝2∠B，则∠C的度数为　 　 ．
12．（2024秋 侯马市期末）如图，在△ABC中，BD⊥AC，垂足为D，E为△ABC外一点，连接BE，CE，且AB＝BE，∠BAD+∠BEC＝180°．若CD＝4，CE＝3，则AC的长为 　 　 ．
13．（2023秋 兰山区校级月考）如图，共有 　 　 个三角形．
14．（2024秋 宜城市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝2，AB＝13，则△ABD的面积为 　 　 ．
三、解答题（共5小题）
15．（2024秋 吐鲁番市期末）如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线．
（1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数；
（2）若BC﹣AB＝9，求△BCF与△BAF的周长之差．
16．（2025春 鲤城区校级期末）已知：在△ABC中，AD是BC边上的高．
（1）尺规作图：作∠BAC的平分线AE，交BC于点E；
（2）在（1）的条件下：若∠ABC＝105°，∠C＝45°，求∠EAD的度数．
17．（2024秋 元阳县期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．
（1）求证：∠ABC＝∠ADE．
（2）若∠BAD＝40°，求∠EDC的度数．
18．（2025春 鼓楼区校级期末）如图△ABC，∠BAC＝60°，∠ACB＝70°，AD是BC边上的高，AE是△ABC的角平分线．
（1）求∠DAE的度数；
（2）CF是△ABC的角平分线，AE与CF交于点G．求∠EGF的度数．
19．（2024秋 安岳县期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D，E分别在边BC，AC上，连结AD，DE，且AD＝DE．∠AED＝∠ADC．
（1）求证：△ABD≌△DCE；
（2）若BD＝1，CD＝3，求AE的长．
一、选择题（共8小题）
1．【答案】A
【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到10＜x＜30，即可得到答案．
【解答】解：设三角形第三边长为x，
由三角形三边关系定理得到：20﹣10＜x＜10+20，
∴10＜x＜30，
∴第三根木棍不可能是10cm．
故选：A．
2．【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定定理逐项判断即可．
【解答】解：A．AB＝4，BC＝5，AC＝6，符合SSS，能画出唯一的△ABC，故本选项不符合题意；
B．∠A＝65°，AB＝8，∠B＝40°，符合ASA，能画出唯一的△ABC，故本选项不符合题意；
C．AB＝4，BC＝3，∠A＝45°，SSA不能判定全等三角形，即不能画出唯一的△ABC，故本选项符合题意；
D．∠C＝90°，AB＝8，BC＝4，符合HL，能画出唯一的△ABC，故本选项不符合题意．
故选：C．
3.【答案】B
【分析】首先证明△AEB≌△ADC可得∠C＝∠B，再证明△CEP≌△BDP可得PC＝PB，直接证明△CAP≌△BAP可得∠CAP＝∠BAP，利用全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：在△ADC和△AEB中，
，
∴△ADC≌△AEB（SAS），
∴∠C＝∠B，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴AC﹣AE＝AB﹣AD，
∴EC＝DB，
在△EPC和△DPB中，
，
∴△EPC≌△DPB（AAS），
∴PC＝PB，故①正确；
在△ACP和△ABP中，
，
∴△ACP≌△ABP（SAS），
∴∠CAP＝∠BAP，故②正确；
无法得出AP＝PB，故③错误；
④共有4对全等三角形，此结论正确．△PCE≌△PBD，△PEA≌△PDA，△PCA≌△PBA，△ACD≌△ABE
故选：B．
4．【答案】C
【分析】根据三角形高线的定义进行判断即可．
【解答】解：由题知，
过三角形的一个顶点作对边的垂线，顶点与垂足直线的线段称为三角形的高，
显然只有C选项中的线段BD是△ABC的边AC上的高．
故选：C．
5．【答案】B
【分析】根据折叠的性质得出∠A＝∠F＝65°，根据三角形的内角和定理得出∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A＝115°，∠FDE+∠FED＝180°﹣∠F＝115°，即可求解．
【解答】解：∵△ADE沿DE折叠得到△FDE，
∴∠A＝∠F＝65°，
∴∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A＝115°，∠FDE+∠FED＝180°﹣∠F＝115°，
∴∠1+∠2＝180°×2﹣（∠ADE+∠AED）﹣（∠FDE+∠FED）＝130°，
故选：B．
6．【答案】B
【分析】由非负数的性质可得a﹣3＝0、b﹣7＝0，进一步求解a、b的值；接下来，分a为腰长、b为腰长两种情况，结合三角形的三边关系分析对应的三角形是否存在，然后进一步计算符合题意的三角形的周长即可．
【解答】解：∵|a﹣3|+（b﹣7）2＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣7＝0，
∴a＝3，b＝7．
①当腰长为3时，此时3+3＜7（舍去）．
②当腰长为7时，3+7＞7，所以三角形的周长为2×7+3＝17．
故选：B．
7．【答案】D
【分析】根据三线合一的性质求解即可求得BC的长．
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝4，
∴BC＝BD+CD＝8．
故选：D．
8．【答案】B
【分析】先设三角形三个内角分别为x，3x，5x，再根据三角形的内角和定理列式，得出每个具体的角，再算出对应的外角，最后化简，即可解答．
【解答】解：∵三角形三个内角的比为1：3：5，
设这三个内角分别为x，3x，5x，
根据题意得：x+3x+5x＝180°，
解得x＝20°，
∴这三个内角分别为20°，60°，100°，
∴这三个内角的外角分别为160°，120°，80°，
∵160°：120°：80°＝4：3：2，
∴这个三角形三个外角的比为4：3：2，
故选：B．
二、填空题（共6小题）
9．【答案】AB＝DC（答案不唯一）．
【分析】由全等三角形的判定方法，即可得到答案．
【解答】证明：在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴判定△ABC＝△DCB，添加一个适当的条件是AB＝DC（答案不唯一）．
故答案为：AB＝DC（答案不唯一）．
10．【答案】见试题解答内容
【分析】根据角平分线性质求出DF，根据三角形面积公式求出△ABD的面积，求出△ADC面积，即可求出答案．
【解答】解：过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF＝2，
∵S△ADBAB×DE5×2＝5，
∵△ABC的面积为9，
∴△ADC的面积为9﹣5＝4，
∴AC×DF＝4，
∴AC×2＝4，
∴AC＝4，
故答案为：4．
11．【答案】见试题解答内容
【分析】分∠A是顶角和底角两种情况分类讨论列出方程求解即可．
【解答】解：设∠B＝x°，则∠A＝2x°，
当∠A是顶角时，∠A+2∠B＝180°，
即：4x＝180，
解得：x＝45，
此时∠C＝∠B＝45°；
当∠A是底角时，2∠A+∠B＝180°，
即5x＝180，
解得：x＝36°，
此时∠C＝2∠B＝72°，
故答案为：45°或72°．
12．【答案】5．
【分析】过点B作BF⊥CE，交CE的延长线于点F，利用AAS可判定△ABD≌△BEF，则有AD＝EF，BD＝BF，再由角平分线的性质可得∠BCD＝∠BCF，利用AAS可判定△BCD≌△BCF，则有CD＝CF，可求得EF，即可求AC．
【解答】解：过点B作BF⊥CE，交CE的延长线于点F，如图，
∵∠BAD+∠BEC＝180°，∠BEF+∠BEC＝180°，
∴∠BAD＝∠BEF，
∵BD⊥AC，BF⊥CE，
∴∠ADB＝∠EBF＝90°，
在△ABD与△BEF中，
，
∴△ABD≌△BEF（AAS），
∴AD＝EF，BD＝BF，
∴CB是∠ACE的平分线，
∴∠BCD＝∠BCF，
在△BCD与△BCF中，
，
∴△BCD≌△BCF（AAS），
∴CD＝CF＝4，
∴EF＝CF﹣CE＝4﹣3＝1，
∴AD＝EF＝1，
∴AC＝AD+CD＝5．
故答案为：5．
13．【答案】6．
【分析】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形数出三角形的个数．
【解答】解：图中有：△ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△ADE，共6个．
故答案为：6．
14．【答案】13．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线性质得到DE＝CD＝2，再结合三角形面积求解，即可解题．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，CD＝2，
∴DE＝CD＝2，
∴S△ABD．
故答案为：13．
三、解答题（共5小题）
15．【答案】（1）50°；
（2）9．
【分析】（1）由直角三角形的性质求出∠ABD＝25°，由角平分线的定义得到∠BCE∠ACB＝25°，由三角形的外角性质得到∠AEC＝∠ABD+∠BCE＝50°；
（2）由三角形的中线定义得到AF＝CF，因此△BCF与△BAF的周长之差＝BC﹣AB＝9．
【解答】解：（1）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣65°＝25°，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠BCE∠ACB50°＝25°，
∴∠AEC＝∠ABD+∠BCE＝50°；
（2）∵BF是△ABC的中线，
∴AF＝CF，
∴BC+BF+CF﹣（AB+AF+BF）＝BC﹣AB＝9，
∴△BCF与△BAF的周长之差为9．
16．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）依据角平分线的尺规作图方法，即可得到∠BAC的平分线AE；
（2）依据三角形外角性质即可得到∠BAD的度数，依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得出∠BAE的度数，即可得到∠DAE的度数．
【解答】解：（1）如图所示，AE即为所求；
（2）∵∠ABC＝105°，∠D＝90°，
∴∠BAD＝105°﹣90°＝15°，
∵∠ABC＝105°，∠C＝45°，
∴∠BAC＝30°，
又∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE30°＝15°，
∴∠DAE＝∠BAD+∠EAB＝15°+15°＝30°．
17．【答案】（1）∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△ABC与△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠ABC＝∠ADE；
（2）40°．
【分析】（1）根据角的运算得到∠BAC＝∠DAE，证明△ABC≌△ADE，利用全等三角形性质求解，即可解题；
（2）利用全等三角形性质得到∠E＝∠C，再结合三角形内角和定理，以及“8”字形得到∠EDC＝∠CAE，最后进行等量代换求解，即可解题．
【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△ABC与△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠ABC＝∠ADE；
（2）解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠E＝∠C，
记AC交DE于点F，
∵∠AFE＝∠DFC，
∴∠EDC＝∠CAE，
∵∠BAD＝40°，∠BAD＝∠CAE，
∴∠EDC＝∠CAE＝∠BAD＝40°．
18．【答案】（1）∠DAE＝10°；
（2）∠EGF＝115°．
【分析】（1）根据角平分线定义求出∠EAC，然后在△ACD中，利用三角形内角和定理求得∠DAC的度数，根据∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC即可求解；
（2）根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理求出∠AEC＝180°﹣30°﹣70°＝80°，∠CGE＝180°﹣∠BCF﹣∠AEC＝65°，最后求出结果即可．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠BAC＝60°，AE是∠BAC的平分线，
∴，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣70°＝20°，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝30°﹣20°＝10°，
即∠DAE的度数为10°；
（2）∵CF是△ABC的角平分线，
∴，
∵∠EAC＝30°，∠ACE＝70°，
∴∠AEC＝180°﹣30°﹣70°＝80°，
∴∠CGE＝180°﹣∠BCF﹣∠AEC＝180°﹣35°﹣80°＝65°，
∴∠EGF＝180°﹣∠CGE＝180°﹣65°＝115°，
即∠EGF的度数为115°．
19．【答案】（1）∵∠AED＝∠ADC，∠AED+∠CED＝180°，∠ADC+∠BDA＝180°，
∴∠CED＝∠BDA，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（2）2．
【分析】（1）先证出∠CED＝∠BDA，再根据AAS定理即可得证；
（2）先根据全等三角形的性质可得CE＝BD＝1，AB＝CD＝3，再根据的判定可得AC＝AB＝3，最后根据线段的和差求解即可得．
【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠ADC，∠AED+∠CED＝180°，∠ADC+∠BDA＝180°，
∴∠CED＝∠BDA，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（2）解：由（1）知：△ABD≌△DCE，BD＝1，CD＝3，
∴CE＝BD＝1，AB＝CD＝3，
在△ABC中，∠B＝∠C，
∴AC＝AB＝3，
∴AE＝AC﹣CE＝3﹣1＝2．

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