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第13章 勾股定理
一、单选题
1．在△ABC中，AB=AC=17，BC=16，则△ABC的面积为（　　）
A．60 B．80 C．100 D．120
2．放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（　　）
A．600米 B．800米 C．1000米 D．不能确定
3．若直角三角形两直角边的比为5：12，则斜边与较小直角边的比为（　　）
A．13：12 B．169：25 C．13：5 D．12：5
4．一直角三角形两直角边长分别为3和4，则下列说法不正确的是（　　）
A．斜边长是25 B．斜边长是5 C．面积是6 D．周长是12
5．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短路线是（　　）
A．A P B B．A Q B C．A R B D．A S B
6．如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，DE垂直平分AB，E为垂足，交BC于点D，BD=，则AC的长为（　　）
A． B．8 C．16 D．
7．将一根长24厘米的筷子，置于底面直径为6厘米，高为10厘米的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的长度至少为（　　）厘米．
A．14 B．16 C．24﹣ D．24+
8．如图是一块长、宽、高分别是的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处，沿着长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．若一个三角形的三边满足c2﹣b2=a2，则这个三角形是 ．
10．若直角三角形的两边长分别为6和8，则斜边上的高长为 ．
11．在笔直的铁路上、两点相距，、为两村庄，，，于，于，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．则应建在距 ．
12．如图，在网格中，小正方形边长为a，则图中是直角三角形的是 ．
13．如图所示，有一根高为16m的电线杆BC在A处断裂，电线杆顶部C落在地面离电线杆底部B点8m远的地方，则电线杆的断裂处A离地面的距离为 米．
三、解答题
14．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.
（1）试判断△ABC的形状.
（2）求AB边上的高．
15．如图，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC＝10.求BC的长．
16．如图是一个长方体盒子，棱长．
(1)连接，求的长；
(2)一根长为的木棒能放进这个盒子里去吗？说明你的理由．
17．如图1，在等腰直角三角形中，．点，分别为，的中点，为线段上一动点（不与点，重合），将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，．
（1）证明：；
（2）如图2，连接，，交于点．
①证明：在点的运动过程中，总有；
②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？
《第13章 勾股定理》参考答案
1．D
【分析】如图，过点A作AD⊥BC于点D，,根据等腰三角形三线合一的性质求得BD=8，再由勾股定理求得AD=15，利用三角形的面积公式即可求得△ABC的面积.
【详解】如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∵等腰三角形底边上的高线、中线以及顶角平分线三线合一，
∴BD=BC，
∵BC=16，
∴BD=BC=×16=8，
∵AB=AC=17cm，
∴AD= =15．
∴△ABC的面积为：.
故选D.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理，利用勾股定理求得高AD的长是解决问题的关键.
2．C
【分析】根据题意，小红和小颖的家以及学校三点组成一个直角三角形，小红和小颖的行走距离即为直角三角形的两直角边的长度，由勾股定理可以求得直角三角形斜边的长度，从而得到小红和小颖家的直线距离．
【详解】解：由题意，小红和小颖的家以及学校三点组成一个直角三角形，
∵
∴直角三角形的两直角边为600和800，
所以由可得小红和小颖家的直线距离为1000米．
故选C．
【点睛】本题考查直角三角形和方位角的综合应用，通过方位角的方向判断所成角为直角并由勾股定理得到所求边长是解题关键．　
3．C
【分析】若直角三角形两直角边的比为5：12，根据勾股定理可知，它们与斜边的比是5：12：13，所以斜边与较小直角边的比为13：5．
【详解】解：∵直角三角形两直角边的比为5：12，设一直角边为5x，则另一直角边为12x，
根据勾股定理得斜边为，
∴斜边与较小直角边的比为13x：5x=13：5．
故选C．
【点睛】本题考查了利用勾股定理来解直角三角形.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
4．A
【分析】根据勾股定理以及面积公式，三角形的性质即可判断．
【详解】解：根据勾股定理可知，直角三角形两直角边长分别为3和4，
则它的斜边长是5，面积是6，周长是12，
故选A．
【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，同时本题也用到了三角形的面积公式和三角形的周长公式．
5．A
【分析】要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的方法，就是将正方体相邻的两个侧面展开拼成一个矩形，再将各条路线进行比较，可运用勾股定理的计算来确定．
【详解】解：从点A到点B的四条路线中，最短是A—P—B，理由如下：
①A—P—Q，②A—S—B，③A—R—B这三条路线长都相等：；
④A—P—B的路线长为（如下图）：
这条路线展开后就是图中的AB＇，它的长为：.
∵，
∴从点A到点B的四条路线中，A—P—B是最短的.
故答案选A．
【点睛】会将一个立体图形展开，结合勾股定理来求最短路径问题是解决本题的关键．
6．C
【分析】根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得：AD=BD=，∠B=∠BAD=22.5°，∠ADC=∠B+∠BAD=45°，在Rt△ACD中，由“勾股定理”可求出AC的长．
【详解】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD=，∠B=∠BAD=22.5°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=45°，
在Rt△ACD中，
2AC2=AD2，AC=16．
故选C．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）和勾股定理．
7．C
【分析】首先应根据勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即，故筷子露在杯子外面的长度至少为多少可求出．
【详解】解：如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，
∴勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即cm，
∴筷子露在杯子外面的长度至少为(24-)cm，
故答案选C．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键．
8．C
【分析】本题主要考查的是平面展开最短路径问题，解决此题的关键是明确线段最短这一知识点，然后把长方体的一些面展开到一个平面内，求出最短的线段.分三种情况讨论即可，然后利用勾股定理即可求得最短线段的长，再比较三种情况下最短的线段即可得到答案．
【详解】分三种情况：
（1）经过前面和右面或经过左面和后面，这时蚂蚁爬行的最短路线是长为，宽为的长方形的对角线如图中的，其长为．
（2）经过前面和上面，这时蚂蚁爬行的最短路线是长为，宽为的长方形的对角线如图中的，其长为．
（3）经过左面和上面，这时蚂蚁爬行的最短路线是长为，宽为的长方形的对角线如图中的，其长为．
比较（1）（2）（3）的结果，知蚂蚁爬行的最短路线的长为．
故选：C
9．直角三角形
【详解】解：根据题意可由一个三角形的三边满足c2﹣b2=a2，
可得c2=b2+a2，
则根据勾股定理的逆定理可知这个三角形是直角三角形．
故答案是：直角三角形．
【点睛】考点：勾股定理的逆定理
10．或
【分析】本题主要考查了斜边上的高，勾股定理，分两种情况进行计算是解题的关键．分两种情况，当6和8均为直角边时，当6为直角边，8为斜边时，进行计算即可．
【详解】解：设斜边上的高为，
当6和8均为直角边时，
斜边，
故，
求出；
当6为直角边，8为斜边时，
另一条直角边，
故，
求出；
故答案为：或．
11．15
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．利用，再结合勾股定理求出即可．
【详解】解：设，则，
，
，
故，
解得；．
故答案为：15．
12．直角三角形有两个，分别是△ABC与△DEF．
【分析】根据已知及勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案.
【详解】解：∵小正方形的边长为a，
∴在△ABC中，
BC2=a2+(3a) 2=10a2，
AB2=AC2=a2+(2a) 2=5a2，
故BC2=AB2+AC2．
在△GKP中，
KG2=(2a)2+(2a)2=8a2，
GP2=a2+(2a) 2=5a2，KP2=(3a) 2=9a2，
KP2≠KG2+GP2．
在△DEF中，
DE2=(2a)2+(2a)2=8a2，
EF2=(3a)2+(3a)2=18a2，
DF2=a2+(5a)2=26a2，故DF2=DE2+EF2．
故直角三角形有两个，分别是△ABC与△DEF．
【点睛】解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形.
13．x=6．
【分析】根据题意，运用勾股定理，列方程求解即可．
【详解】解：设AB=x，则AC=16-x．
根据勾股定理，得x2+64=（16-x）2,
∴x2+64=x2-32x+256，
∴32x=192，
解之得：x=6．
【点睛】能够用一个未知数表示出未知的两条边，再根据勾股定理列方程求解.
14．（1）直角三角形；（2）.
【分析】把a2+b2+c2+338=10a+24b+26c化为（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0，根据非负数的性质求得a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形即可；（2）利用直角三角形面积的两种表示法求得AB边上的高即可.
【详解】（1）∵a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，
∴a2-10a+25+b2-24b+144-c2+26c+169=0，
∴（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0，
即a=5，b=12，c=13（a，b，c都是正的），
∵52+122=132，
∴该三角形是直角三角形，且∠ACB=90°．
（2）设AB边上的高为h，
根据直角三角形面积的两种表示法可得，，
即，
解得h=.
∴AB边上的高为.
【点睛】本题考查了非负数的性质及勾股定理的逆定理，利用非负数的性质求得a、b、c的值是解决问题的关键.
15．16
【详解】试题分析:根据图中分析,BC分为CD与BD,则可分别求CD,BD,再求BC,在Rt△ACD中,利用30°的锐角所对直角边等于斜边的一半,求出CD,则AD可得,在Rt△ABD中,已知AB,AD可求BD.
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D.
∴∠ADC＝90°.又∵∠C＝60°，
∴∠CAD＝90°－∠C＝30°，
∴CD＝AC＝5.
∴在Rt△ACD中，AD＝.　
∴在Rt△ABD中，BD＝.　
∴BC＝BD＋CD＝11＋5＝16.
16．(1)
(2)不能放进去，见解析
【分析】根据长方体的性质构造出直角三角形，利用勾股定理解答即可．
【详解】（1）解：连接，在Rt 中，，
由勾股定理得：，
（2）解：不能放进去．
理由：连接，在Rt 中，，
所以不能放进去．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理及长方体的性质，掌握勾股定理是解题的关键．
17．（1）见详解；（2）①见详解；②当的长度为2或时，为等腰三角形
【分析】（1）由旋转的性质得AH=AG，∠HAG=90°，从而得∠BAH=∠CAG，进而即可得到结论；
（2）①由，得AH=AG，再证明，进而即可得到结论；②为等腰三角形，分3种情况：（a）当∠QAG=∠QGA=45°时，（b）当∠GAQ=∠GQA=67.5°时，（c）当∠AQG=∠AGQ=45°时，分别画出图形求解，即可．
【详解】解：（1）∵线段绕点A逆时针方向旋转得到，
∴AH=AG，∠HAG=90°，
∵在等腰直角三角形中，，AB=AC，
∴∠BAH=90°-∠CAH=∠CAG，
∴；
（2）①∵在等腰直角三角形中，AB=AC，点，分别为，的中点，
∴AE=AF，是等腰直角三角形，
∵AH=AG，∠BAH =∠CAG，
∴，
∴∠AEH=∠AFG=45°，
∴∠HFG=∠AFG+∠AFE=45°+45°=90°，即：；
②∵，点，分别为，的中点，
∴AE=AF=2，
∵∠AGH=45°，为等腰三角形，分3种情况：
（a）当∠QAG=∠QGA=45°时，如图，则∠HAF=90°-45°=45°，
∴AH平分∠EAF，
∴点H是EF的中点，
∴EH=；
（b）当∠GAQ=∠GQA=（180°-45°）÷2=67.5°时，如图，则∠EAH=∠GAQ=67.5°，
∴∠EHA=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠EHA=∠EAH，
∴EH=EA=2；
（c）当∠AQG=∠AGQ=45°时，点H与点F重合，不符合题意，舍去，
综上所述：当的长度为2或时，为等腰三角形．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定定理，根据题意画出图形，进行分类讨论，是解题的关键．

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