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第21章 一元二次方程单元测试卷
班级：__________ 姓名：__________ 学号：__________ 分数：__________
考试时间：90分钟 满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列方程中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ）
A. x2 + = 0 B. ax2 + bx + c = 0
C. (x-1)(x+2) = 1 D. 3x2 + 2y = 0
2. 一元二次方程 x2 - 6x - 5 = 0 配方后可变形为（ ）
A. (x-3)2 = 4 B. (x-3)2 = 14
C. (x+3)2 = 4 D. (x+3)2 = 14
3. 方程 x2 - 2x = 0 的根是（ ）
A. x1 = 0, x2 = 2 B. x1 = 0, x2 = -2 C. x = 2 D. x = -2
4. 关于 x 的一元二次方程 x2 + 8x + k = 0 有两个相等的实数根，则常数 k 的值为（ ）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
5. 一元二次方程 2x2 - 3x + 1 = 0 的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
6. 已知 m 是方程 x2 - x - 1 = 0 的一个根，则代数式 m2 - m + 2025 的值等于（ ）
A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026
7. 某品牌手机经过连续两次降价，每部售价由原来的4000元降到了3240元，设平均每次降价的百分率为 x，则列出的方程是（ ）
A. 4000(1 + x)2 = 3240 B. 3240(1 + x)2 = 4000
C. 4000(1 - x)2 = 3240 D. 3240(1 - x)2 = 4000
8. 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程 x2 - 12x + 35 = 0 的根，则该三角形的周长为（ ）
A. 14 B. 12 C. 12或14 D. 以上都不对
9. 若 x1, x2 是一元二次方程 x2 + 3x - 5 = 0 的两个根，则 + 的值是（ ）
A. B. - C. D. -
10. 定义运算：a ★ b = a(1 - b)。若 a, b 是方程 x2 - x + m = 0 (m < 0) 的两根，则 b ★ a - a ★ b 的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 与 m 有关
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 将方程 3x(x-1) = 5(x+2) 化成一般形式是 _________________，其中二次项系数是 ______。
2. 若关于 x 的方程 (m-2)x|m| + 3x - 4 = 0 是一元二次方程，则 m = ______。
3. 已知方程 x2 - 6x + k = 0 的一个根是2，则另一个根是 ______，k = ______。
4. 一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，已知全组共送贺卡72张，则这个小组有 ____ 人。
5. 若一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程 x2 - 7x + 12 = 0 的两个根，则这个直角三角形的斜边长为 ______。
6. 对于实数 a, b，定义运算“※”如下：a ※ b = a2 - ab。例如：5 ※ 3 = 52 - 5 x 3 = 10。若 (x+1) ※ (x-2) = 6，则 x 的值为 ______。
三、解答题（本大题共7小题，共52分）
1. (12分) 用适当的方法解下列方程：
(1) (2x-1)2 = 9 (2) x2 - 4x - 7 = 0
(3) 2x2 - 5x + 2 = 0 (4) (x-3)2 + 2x(x-3) = 0
2. (6分) 已知关于 x 的一元二次方程 x2 + (2m+1)x + m2 - 1 = 0 有两个不相等的实数根。
(1) 求 m 的取值范围；
(2) 写出一个满足条件的 m 的负整数值，并求此时方程的根。
3. (6分) 已知关于 x 的方程 x2 + kx - 6 = 0 的一个根是2，求：
(1) 另一个根及 k 的值；
(2) 方程 y2 + ky - 6 = 0 的根。
4. (6分) 要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为1200平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边 AB 和 BC 的长各是多少米？（示意图：三个相同的矩形并排，靠墙的一边为 BC，与墙垂直的边为 AB）
5. (6分) 阅读下面的材料，解答问题。
为解方程 (x2 - 1)2 - 5(x2 - 1) + 4 = 0，我们可以将 x2 - 1 视为一个整体，然后设 x2 - 1 = y，则原方程可化为 y2 - 5y + 4 = 0 ......(1)
解得 y11= 1, y2 = 4。
当 y = 1 时，x2 - 1 = 1，即 x2 = 2，解得 x = ±。
当 y = 4 时，x2 - 1 = 4，即 x2 = 5，解得 x = ±
∴ 原方程的解为 x1 = , x2 = -, x3 = , x4 = -
这种解方程的方法叫做“换元法”。
问题： 请利用“换元法”解方程：(x2 + x)2 - 4(x2 + x) - 12 = 0
6. (8分) 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克。经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。
(1) 现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
(2) 若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？最大利润是多少？
7. (8分) 已知 x1, x2 是关于 x 的一元二次方程 x2 - 2(m+1)x + m2 + 5 = 0 的两个实数根。
(1) 若 (x1 - 1)(x2 - 1) = 28，求 m 的值；
(2) 已知等腰三角形ABC 的一边长为7，若 x1, x2恰好是 三角形另外两边的长，求这个三角形的周长。
参考答案
一、选择题
1. C 2. B 3. A 4. D 5. A
2. D 7. C 8. B 9. A 10. A
二、填空题
1. 3x2 - 8x - 10 = 0，3
2. -2
3. 4，8
4. 9
5. 5
6. 1
三、解答题
1.
(1) x1 = 2, x2 = -1
(2) x1 = 2 + , x2 = 2 -
(3) x1 = 2, x2 =
(4)x1 = 3, x2 = 1
2.
(1) = (2m+1)2 - 4(m2 - 1) = 4m + 5 > 0，解得 m > -
(2)取 m = -1 (满足条件的负整数即可)，则原方程为 x2 - x = 0，解得 x1 = 0, x2 = 1
3.
(1) 设另一根为 x2，由根与系数关系得：2 + x2 = -k，2x2 = -6。
解得：x2 = -3，代入得 k = 1。
(2)方程为 y2 + y - 6 = 0，解得 y1 = 2, y2 = -3。
4.
设 AB = x 米，则 BC = (100 - 4x) 米。
根据题意得：x(100 - 4x) = 1200
解得：x1 = 20, x2 = 15
当x=20 时，BC = 100 - 4 x 20 = 20 (米) < 25米，符合。
当x=15 时，BC = 100 - 4 x 15 = 40 (米) > 25米，不符合，舍去。
答：羊圈的边AB 长20米，BC 长20米。
5.
设 x2 + x = y，则原方程化为 y2 - 4y - 12 = 0。
解得y1 = 6, y2 = -2。
当y = 6 时，x2 + x - 6 = 0，解得 x1 = 2, x2 = -3。
当y = -2 时，x2 + x + 2 = 0， = 1 - 8 = -7 < 0，此方程无实数根。
∴原方程的解为 x1 = 2, x2 = -3。
6.
(1) 设每千克应涨价 x 元。
(10 + x)(500 - 20x) = 6000
整理得：x2 - 15x + 50 = 0
解得：x1 = 5, x2 = 10
要使顾客得到实惠，∴ 取 x = 5。
答：每千克应涨价5元。
(2)设利润为 W 元，每千克涨价 x 元。
W = (10 + x)(500 - 20x) = -20x2 + 300x + 5000
= -20(x - 7.5)2 + 6125
∵ -20 < 0，∴ 当 x = 7.5 时，W最大值= 6125。
答：每千克涨价7.5元，商场获利最多，最大利润为6125元。
7.
(1) 由根与系数关系得：x1 + x2 = 2(m+1)，x1 x2 = m2 + 5。
(x1 - 1)(x2 - 1) = x1 x2 - (x1 + x2) + 1 = (m2 + 5) - 2(m+1) + 1 = m2 - 2m + 4 = 28
即 m2 - 2m - 24 = 0，解得 m1 = 6, m2 = -4。
∵ 方程有两个实数根，∴ = [-2(m+1)]2 - 4(m2+5) = 8m - 16 ≥ 0，解得 m ≥ 2
∴ m = 6。
(2) 分两种情况：
① 当7为底边时，则 x1 = x2（腰长相等）。
∴ = 0，即 8m - 16 = 0，解得 m = 2。
代入方程得 x2 - 6x + 9 = 0，解得 x1 = x2 = 3。
此时三边为3, 3, 7。∵ 3+3<7，∴ 不能构成三角形，舍去。
② 当7为腰时，则 x1, x2 中有一个为7
将 x=7 代入方程得：49 - 14(m+1) + m2 + 5 = 0
整理得：m2 - 14m + 40 = 0，解得 m1 = 4, m2 = 10。
当 m=4 时，方程为 x2 - 10x + 21 = 0，解得 x1 = 3, x2 = 7。三边为3, 7, 7，周长为17。
当 m=10 时，方程为 x2 - 22x + 105 = 0，解得 x1 = 7, x2 = 15。三边为7, 7, 15。∵ 7+7<15，∴ 不能构成三角形，舍去。
综上所述，这个三角形的周长为17。

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