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习题课三　平衡中的综合应用
1.如图所示，一个物体受到1 N、2 N、3 N、4 N四个力作用而处于平衡状态。现保持1 N、2 N、4 N三个力的方向和大小不变，而将3 N的力绕O点顺时针旋转60°，此时作用在物体上的合力大小为（　　）
A.13 N B.3 N
C.3 N D.5 N
2.自卸车常用来进行土方、砂石、散料等的装卸运输工作。如图所示，当自卸车的车厢从水平倾斜到一定角度时，车厢上的货物如集装箱就会自动滑下。下列说法正确的是（　　）
A.车厢倾斜角度越大，集装箱对车厢的压力越大
B.车厢倾斜角度越大，集装箱与车厢的动摩擦因数越小
C.集装箱静止在倾斜车厢上时，受到的摩擦力大于重力沿斜面方向的分力
D.集装箱开始下滑时，受到的摩擦力小于重力沿斜面方向的分力
3.如图所示的是给墙壁粉刷涂料用的“涂料滚”的示意图。使用时，用撑杆推着粘有涂料的涂料滚沿墙壁上下缓缓滚动，把涂料均匀地粉刷到墙上。撑杆的重量和墙壁的摩擦均不计，而且撑杆足够长。粉刷工人站在离墙壁一定距离处缓缓上推涂料滚，该过程中关于撑杆对涂料滚的推力F1、涂料滚对墙壁的压力F2，以下说法正确的是（　　）
A.F1增大，F2减小 B.F1减小，F2增大
C.F1、F2均增大 D.F1、F2均减小
4.（多选）灯笼是我国年俗文化的重要组成部分，无论旧时还是现在，灯笼都能烘托出节日的喜庆氛围。如图所示，直角支架固定在竖直面内，灯笼通过光滑轻质挂钩OA挂在轻质细绳上，细绳的一端固定在支架水平部分的C点，另一端固定在支架竖直部分的B点，系统处于平衡状态，此时细绳上的拉力大小为F1；当细绳的竖直固定端点B下移少许，重新平衡时细绳上的拉力大小为F2；当细绳的水平固定端点C右移少许，重新平衡时细绳上的拉力大小为F3；不计空气对灯笼的影响，细绳的长度始终不变，则关于F1、F2、F3的大小关系正确的是（　　）
A.F1＜F2 B.F1＝F2
C.F1＜F3 D.F1＞F3
5.如图所示，倾角为α、质量为M的斜面体静止在水平桌面上，质量为m的木块静止在斜面体上。下列结论正确的是（　　）
A.木块受到的摩擦力大小是mgcos α
B.木块对斜面体的压力大小是mgsin α
C.桌面对斜面体的摩擦力大小是mgsin αcos α
D.桌面对斜面体的支持力大小是（M＋m）g
6.如图所示，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处；绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连。甲、乙两物体质量相等。系统平衡时，O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β。若α＝70°，则β等于（　　）
A.45° B.55°
C.60° D.70°
7.（多选）如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是（　　）
A.绳的右端上移到b'，绳子拉力不变
B.将杆N向右移一些，绳子拉力变大
C.绳的两端高度差越小，绳子拉力越小
D.若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移
8.（多选）如图所示，用与竖直方向成θ角（θ＜45°）的倾斜轻绳a和轻绳b共同固定一个小球，这时绳b在水平位置1的拉力为F1，现保持小球在原位置不动，使绳b在原竖直平面内，逆时针转过θ角到位置2固定，绳b的拉力变为F2，再转过θ角到位置3固定，绳b的拉力变为F3，则（　　）
A.F1＝F2 B.F1＝F3
C.F2＞F3 D.F2＜F3
9.如图所示，小明在院子里用轻绳挂了两只灯笼A、B，A的质量为m，B的质量为m，其中绳2与竖直方向的夹角为53°，绳3处于水平状态，重力加速度为g。求在无风时（sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6）
（1）轻绳1和2对灯笼A的合力大小；
（2）轻绳3对灯笼B的拉力大小；
（3）轻绳1对灯笼A的拉力大小。
10.（多选）如图所示，一绕过水平杆左端光滑轻小滑轮O的细线，上端固定在水平天花板的B点，下端系一质量为m的重物。重物静止时，细线BO与天花板的夹角为60°。现将杆绕水平轴A沿顺时针方向缓慢转动，直到细线BO与天花板的夹角为30°。重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　）
A.在该过程中，细线BO可能会断掉
B.在该过程中，滑轮受到细线的作用力逐渐增大
C.在该过程中，滑轮受到细线的作用力逐渐减小
D.当细线BO与天花板的夹角为60°时，滑轮受到细线的作用力小于mg
11.（多选）如图所示，一轻弹簧的两端栓接着A、B两物体，其重力分别是GA＝8 N，GB＝4 N，静止放置在倾角为30°、底端带挡板的足够长光滑斜面上。现用平行于斜面的力F施加在B物体上并缓慢往上拉，当物体B上移20 cm时，物体A即将向上运动，已知弹簧始终在弹性限度内，则以下说法正确的是（　　）
A.施加F前，A对挡板的压力大小为12 N
B.施加F前后，B对斜面的压力大小始终为2 N
C.轻弹簧的劲度系数为30 N/m
D.从施加力F到A即将向上运动的过程中，F不断增大
12.（多选）在粗糙水平地面上与墙平行放着一个截面为半圆的柱状物体A，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，整个装置处于静止状态。现对B施加一竖直向下的力F，F的作用线通过球心、设墙对B的作用力为F1，A对B的作用力为F2，地面对A的作用力为F3。若F缓慢增大而整个装置仍保持静止，截面如图所示，在此过程中（　　）
A.F1保持不变，F3缓慢增大
B.F1缓慢增大，F3缓慢增大
C.F2缓慢增大，F3缓慢增大
D.F2缓慢增大，F3保持不变
13.如图所示，两个质量均为m的小环套在一水平放置的粗糙长杆上，两根长度均为l的轻绳一端系在小环上，另一端系在质量为M的木块上，两个小环之间的距离也为l，小环保持静止。假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。
（1）求杆对小环的支持力；
（2）小环与杆之间的动摩擦因数μ至少为多大？
习题课三　平衡中的综合应用
1.C　由题意可知，四个力的合力为零，则可知1 N、2 N、4 N三个力的合力与3 N的力大小相等，方向相反，则3 N的力绕O点顺时针旋转60°，其他三个力不变，相当于两个3 N的力，其夹角为120°，因此作用在物体上的合力为3 N。故选C。
2.D　由力的分解知识可知，集装箱对车厢的正压力为N＝Gcos θ，θ为车厢底面与水平方向的夹角，所以，车厢倾角越大，车厢与集装箱间的正压力就越小，故A错误；集装箱与车厢的动摩擦因数与接触面的粗糙程度有关，与倾角无关，故B错误；根据共点力平衡，集装箱静止在倾斜车厢上时，受到的摩擦力等于重力沿斜面方向的分力，故C错误；集装箱开始下滑时，处于非平衡状态，集装箱滑动后的摩擦力小于重力沿斜面方向的分力，故D正确。
3.D　对涂料滚进行受力分析，受到重力、撑杆对涂料滚的推力、墙壁对涂料滚的支持力三个力，其缓慢向上滚的过程中三力平衡，撑杆对涂料滚的推力方向与竖直方向的夹角变小，根据物体的平衡条件可知，推力竖直方向上的分力大小等于涂料滚的重力，涂料滚的重力不变，随推力方向与竖直方向夹角变小，推力也逐渐变小，进而其水平方向上的分力也变小，即涂料滚对墙壁的压力F2也变小，所以D正确。
4.BD　设绳长为L，因是光滑轻质挂钩，可知两边绳子的拉力相等，设为F，绳子与竖直方向的夹角θ相等，则由共点力平衡条件可知2Fcos θ＝mg，由几何关系LOCsin θ＋LOBsin θ＝d＝Lsin θ（d为C点到竖直墙壁的距离），则当B点下移时，θ角不变，则F不变，即F1＝F2，当细绳的水平固定端点C右移少许，则d减小，则θ角减小，cos θ变大，则F减小，即F1＞F3，故选B、D。
5.D　根据力的平衡条件，可知木块受到的静摩擦力大小为mgsin α，木块对斜面体的压力大小为mgcos α，A、B项错误；由整体法知，桌面对斜面体的摩擦力大小为0，支持力大小为（M＋m）g，C项错误，D项正确。
6.B　如图所示，由于甲、乙质量相等，通过矢量的合成法则，结合几何关系，则有∠γ＋∠β＋∠α＝180°，∠β＝∠γ，因∠α＝70°，那么∠β＝55°，故B正确。
7.AB　设两段绳子间的夹角为2α，由平衡条件可知，2Fcos α＝mg，所以F＝，设绳子总长为L，两杆间距离为s，由几何关系L1sin α＋L2sin α＝s，得sin α＝＝，绳子右端上移，L、s都不变，α不变，绳子张力F也不变，A正确；杆N向右移动一些，s变大，α变大，cos α变小，F变大，B正确；绳子两端高度差变化，不影响s和L，所以F不变，C错误；衣服质量增加，绳子上的拉力增加，由于α不会变化，悬挂点不会右移，D错误。
8.BD　对小球受力分析，其受到重力和两个拉力作用，三力平衡，如图所示，通过几何关系可知，力F2垂直于细绳，故有F1＝F3＞F2，故B、D正确，A、C错误。
9.（1）mg　（2）mg　（3）mg
解析：（1）以A为研究对象，由平衡条件可得，轻绳1和2对灯笼A的合力大小为mg；
（2）以B为研究对象，受力如图甲所示，由平衡条件可得
F3＝mBgtan 53°
解得F3＝mg
（3）以A和B为研究对象，
受力如图乙所示，
由平衡条件可得
F1＝
解得F1＝mg
10.BD　以重物为研究对象，根据受力平衡可知，细线拉力大小总是与重物的重力相等，即T＝mg，可知在该过程中，细线拉力大小保持不变，则细线BO不会断掉，故A错误；在该过程中，细线拉力大小保持不变，但滑轮两侧细线之间的夹角逐渐减小，根据平行四边形定则可知，滑轮受到细线的作用力逐渐增大，故B正确，C错误；当细线BO与天花板的夹角为60°时，滑轮两侧细线之间的夹角为150°，则滑轮受到细线的作用力大小为F＝2Tcos＝2Tcos 75°＜2Tcos 60°＝T＝mg，故D正确。
11.BCD　施加力F前，用整体法可知，挡板对整体的支持力为F1＝（GA＋GB）sin 30°＝6 N，则由牛顿第三定律可知A对挡板的压力大小为6 N，选项A错误；因F和弹簧弹力均平行于斜面，则B所受的支持力不变，恒为F2＝GBcos 30°＝2 N，则选项B正确；施加力F之前，弹簧的压缩量设为x1，对B物体有kx1＝GBsin 30°，A物体即将向上运动时，弹簧的伸长量设为x2，此时，对A物体有kx2＝GAsin 30°，由题意有x1＋x2＝＝20 cm，代入数据得k＝30 N/m，则选项C正确；物体B缓慢上移的过程中，弹簧由压缩态变为伸长态，对B的弹力先向上减小后向下增加，则拉力F一直变大，选项D正确。
12.BC　A、B始终保持静止，对B受力分析，如图甲所示，设A、B圆心连线与竖直方向夹角为α，由F2sin α＝F1，F2cos α＝F＋GB可得，当F增大时，F2增大，F1也增大。将A、B看成整体，受力如图乙所示，设地面对A的支持力为N，对A的摩擦力为f，则由整体平衡得GA＋GB＋F＝N，且f＝F1，由此可知，当F增大时，N、f均增大，F3是N与f的合力，也增大。所以B、C正确，A、D错误。
13.（1）mg＋　（2）
解析：（1）对整体，根据平衡条件可得
2N－（M＋2m）g＝0
解得N＝mg＋。
（2）对木块，根据平衡条件可得2Tcos 30°－Mg＝0
小环不滑动，则Tsin 30°≤μN
解得μ≥
动摩擦因数μ至少为。
3 / 4习题课三　平衡中的综合应用
要点一　整体法与隔离法的应用
1.整体法的含义
所谓整体法就是对物理问题的整个系统或整个过程进行分析、研究的方法。
2.整体法的优点
通过整体法分析物理问题，可以弄清系统的整体受力情况和全过程的受力情况，从整体上揭示事物的本质和变化规律，从而避开了中间环节的繁琐推算，能够灵巧地解决问题。
3.整体法和隔离法的选择原则
通常在分析外力对系统的作用时，用整体法；在分析系统内各物体（或一个物体的各部分）间相互作用时，用隔离法；有时解答一个问题需要多次选取研究对象，整体法和隔离法交替应用。
【典例1】　如图所示，粗糙水平地面上放着一个截面为半圆的柱状物体A，A与竖直墙之间放一光滑半圆球B，整个装置处于静止。已知A、B的质量分别为m和M，半圆球B与柱状物体A半径均为R，半圆球B的球心到水平地面的竖直距离为R，重力加速度为g。求：
（1）地面对物体A的支持力大小；
（2）地面对物体A的摩擦力。
尝试解答
1.如图所示，三个小球放在固定的倾斜挡板上，挡板与水平面的夹角为30°，每个小球的质量均为m，墙面和挡板均光滑，则墙壁对最左端小球的弹力大小为（　　）
A.mg　B.mg　C.2mg　D.3mg
2.如图所示，用完全相同的轻弹簧A、B、C将两个相同的小球连接并悬挂，小球处于静止状态，弹簧A与竖直方向的夹角为30°，弹簧C水平，则弹簧A、C的伸长量之比为（　　）
A.∶4 B.4∶
C.1∶2 D.2∶1
要点二　动态平衡问题
动态平衡问题是指物体的状态发生缓慢变化，可以认为任一时刻都处于平衡状态。分析此类问题时，常用方法见下表：
解析法 对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，求出因变参量与自变参量的一般函数，然后根据自变参量的变化确定因变参量的变化
图解法 对研究对象进行受力分析，再根据平行四边形定则或三角形定则画出不同状态下力的矢量图（画在同一个图中），然后根据有向线段长度、角度的变化判断各个力大小、方向的变化情况
相似三 角形法 在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算
【典例2】　如图所示，一个重力为G的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为α，在斜面上有一光滑的木板挡住球，使之处于静止状态，挡板与斜面夹角为β。
（1）β缓慢增大时，球受木板压力和斜面支持力如何变化？
（2）β多大时，挡板所受压力最小？求出最小值。
思路点拨
（1）重要信息提取
①斜面光滑：不考虑摩擦力。
②支持力、压力的方向：垂直于接触面，沿半径方向。
③夹角β缓慢增大的含义：合力为0，动态平衡。
（2）物理思维：受力分析，如图所示。
尝试解答
1.如图所示，斜面上和与斜面垂直的挡板上各有一个压力传感器A、B，斜面倾角可调，铁球静止在传感器A、B上，从图示位置缓慢减小斜面的倾角θ，下列说法正确的是（　　）
A.A的示数不变，B的示数减小
B.A的示数减小，B的示数不变
C.A的示数增大，B的示数减小
D.A的示数减小，B的示数增大
2.（多选）如图所示，一质量为m、半径为r的光滑球A用细绳悬挂于O点，另一质量为M、半径为R的半球形物体B被夹在竖直墙壁和A球之间，B的球心到O点的距离为h，A、B的球心在同一水平线上，A、B处于静止状态，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A.B对A的支持力大小为mg
B.竖直墙壁对B的摩擦力可能为零
C.轻轻把B向下移动一点距离，若A、B再次保持静止，则B对A的支持力大小保持不变，细绳拉力增大
D.轻轻把B向下移动一点距离，若A、B再次保持静止，则B对A的支持力减小，细绳拉力减小
要点三　平衡中的临界、极值问题
1.临界问题
（1）问题界定：物体所处平衡状态将要发生变化的状态为临界状态，涉及临界状态的问题为临界问题。
（2）问题特点
①当某物理量发生变化时，会引起其他几个物理量的变化。
②注意某现象“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。
（3）分析方法：基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成立，然后根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。
2.极值问题
（1）问题界定：物体平衡的极值问题，一般指在力的变化过程中涉及力的最大值和最小值的问题。
（2）分析方法
①解析法：根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或根据物理临界条件求极值。
②图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量图，画出平行四边形或矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。
【典例3】　物体的质量为2 kg，两根轻绳AB和AC的一端连接于竖直墙上（B、C在同一竖直线上），另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ＝60°角的拉力F，若要使两绳都能伸直，如图所示，伸直时AC与墙面垂直，绳AB与绳AC间夹角也为θ＝60°，求拉力F的大小范围（g取10 m/s2）。
尝试解答
规律方法
临界与极值问题的分析技巧
（1）求解平衡中的临界问题和极值问题时，首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡中的临界点和极值点。
（2）临界条件必须在变化中寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题；要把某个物理量推向极端，即极大或极小，并依此作出科学的推理分析，从而作出判断或给出结论。
1.如图所示，一个重力为5 N的物体，用细线悬挂在O点，现在用力F拉物体，使细线偏离竖直方向30°时处于静止状态，此时所用拉力F的最小值为（　　）
A.3.75 N B.2.5 N
C.5 N D.4 N
2.物块在轻绳的拉动下沿倾角为30°的固定斜面向上匀速运动，轻绳与斜面平行。已知物块与斜面之间的动摩擦因数为，重力加速度取10 m/s2。若轻绳能承受的最大张力为1 500 N，则物块的质量最大为（　　）
A.150 kg B.100 kg
C.200 kg D.200 kg
要点四　“死结”和“活结”、“定杆”和“动杆”模型
1.“死结”和“活结”模型
（1）“死结”模型：如几个绳端有“结点”，即几段绳子系在一起，那么该结点称为“死结”，这几段绳子的张力不一定相等。
（2）“活结”模型：跨过滑轮、光滑杆、光滑钉子的细绳为同一根细绳，其两端张力大小相等。
2.“定杆”和“动杆”模型
（1）“定杆”模型：即轻质固定杆，它的弹力方向不一定沿杆的方向，作用力的方向需要结合受力分析或二力平衡条件求得。
（2）“动杆”模型：一端有铰链相连的活动杆，轻质活动杆中的弹力方向一定沿杆的方向。
【典例4】　如图甲所示，细绳AD跨过固定在轻杆BC右端的定滑轮挂住一个质量为m1的物体，∠ACB＝30°；如图乙所示，轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向成30°角，在轻杆的G点上用细绳GF拉住一个质量为m2的物体，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A.图甲中BC对滑轮的作用力为
B.图乙中HG受到绳的作用力为m2g
C.细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为1∶1
D.细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为m1∶2m2
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.如图所示，水平地面上固定着一根竖直立柱，某人用绳子通过柱顶的定滑轮将100 N的货物拉住。已知人拉着绳子的一端，且该绳端与水平方向夹角为30°，则柱顶所受压力大小为（　　）
A.200 N B.100 N
C.100 N D.50 N
2.（多选）如图所示，轻绳OA、轻杆OB的O端与质量为m的小球拴接在一起，轻杆的B端通过铰链连接在竖直墙面上，小球处于静止状态，且OA＝OB，OB与竖直方向的夹角为60°，重力加速度为g，则（　　）
A.轻绳OA受到的拉力大小为mg
B.轻杆OB受到的弹力大小为mg
C.若将A点缓慢向下移动一小段距离，则轻绳OA受到的拉力将变大
D.若将A点缓慢向下移动一小段距离，则轻绳OA受到的拉力将变小
1.如图所示，粗糙的水平地面上有一斜劈，斜劈上一物块正在沿斜面以速度v0匀速下滑，斜劈保持静止，则地面对斜劈的摩擦力（　　）
A.等于零
B.不为零，方向向右
C.不为零，方向向左
D.不为零，v0较大时方向向左，v0较小时方向向右
2.如图所示，A、B为同一水平线上的两个绕绳装置，转动A、B改变绳的长度，使光滑挂钩下的重物C缓慢竖直下降。关于此过程中绳上拉力大小的变化，下列说法中正确的是（　　）
A.不变 B.逐渐减小
C.逐渐增大 D.先增大后减小
3.如图所示，AB、BD为两段轻绳，其中BD段水平，BC为处于伸长状态的轻质弹簧，且AB和BC与竖直方向的夹角均为45°。现将BD绳绕B点缓慢向上转动，转动过程中保持B点位置不动，则在转动过程中，BD绳中张力T变化情况是（　　）
A.变大 B.变小
C.先变小后变大 D.先变大后变小
4.（多选）如图所示的是某同学为颈椎病人设计的一个牵引装置的示意图，一根轻绳绕过两个定滑轮和一个动滑轮后两端各挂着一个相同的重物，与动滑轮相连的帆布带拉着病人的颈椎（图中是用手指代替颈椎做实验），整个装置在同一竖直平面内。如果要增大手指所受的拉力，可采取的办法是（　　）
A.只增加绳的长度 B.只增加重物的重力
C.只将手指向下移动 D.只将手指向上移动
习题课三　平衡中的综合应用
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【典例1】　（1）（M＋m）g　（2）Mg，方向水平向左
解析：（1）把A、B看成一个整体，该整体在竖直方向上受到竖直向下的重力（M＋m）g和地面的支持力N的作用，根据二力平衡得N＝（M＋m）g。
（2）在水平方向上，该整体受到竖直墙水平向右的弹力和地面的水平向左的摩擦力，虽然摩擦力大小等于弹力大小，但由整体法无法确定弹力大小，因此需选取半圆球B为研究对象，运用隔离法，受力分析如图所示。根据力的分解和平衡条件可得
N1＝，N2＝Mgtan θ
由半圆球B的球心到水平地面的竖直距离为R，根据相关几何知识得到θ＝45°
所以N2＝Mg，以整体为研究对象，受力分析可知地面对物体A的摩擦力大小为Mg，方向水平向左。
素养训练
1.B　将三个小球作为整体受力分析如图所示，由共点力平衡可知tan 30°＝，解得N2＝mg，故B正确。
2.D　将两小球及弹簧B视为整体进行受力分析，如图所示，有FC＝FAsin 30°，又FC＝kxC，FA＝kxA，得＝＝＝2∶1，故A、B、C错误，D正确。
要点二
知识精研
【典例2】　（1）先减小后增大　始终减小　（2）90°　Gsin α
解析：（1）把球受到的三个力隔离出来，构成一个封闭的三角形，如图甲所示。
F1的方向不变，始终垂直于斜面。F2的大小、方向均改变，随着木板逆时针转动，F2的方向也逆时针转动。图乙中动态矢量三角形的一系列虚线表示变化的F2。
由图乙可知，β增大时，木板对球的压力先减小后增大，斜面对球的支持力始终减小。
（2）由图乙可知：当β＝90°时，球所受挡板支持力最小，为Gsin α。
素养训练
1.C　压力传感器A的读数为FA＝mgcos θ，压力传感器B的读数为FB＝mgsin θ，则当θ减小时，FA增大，FB减小。故选C。
2.AD　分析球A的受力情况，如图甲所示，N与mg的合力与T等大、反向、共线，根据两个阴影三角形相似得＝＝，解得N＝mg，T＝mg，故A正确。B在竖直方向受到重力，由平衡条件知竖直墙壁对B的摩擦力一定不为零，故B错误。当只轻轻把B向下移动一点距离，分析球A的受力情况，如图乙所示，N'与T'的合力与mg等大、反向、共线，根据两个阴影三角形相似得＝＝，可得N'＝mg，T'＝mg，由于L＞h，可知N'减小，T'减小，故C错误，D正确。
要点三
知识精研
【典例3】　 N≤F≤ N
解析：物体的受力情况如图所示，由平衡条件得
Fsin θ＋F1sin θ－mg＝0
Fcos θ－F2－F1cos θ＝0
由上述两式得F＝－F1
F＝＋
令F1＝0，得F最大值Fmax＝＝ N
令F2＝0，得F最小值Fmin＝＝ N
综合得F的取值范围为 N≤F≤ N。
素养训练
1.B　以物体为研究对象，受到重力G、拉力F和细线的拉力F1，物体静止时，F和F1的合力与G等大、反向、共线，由图可知，当拉力F与细线垂直时最小。
根据平衡条件得F的最小值为Fmin＝Gsin 30°＝2.5 N，故选B。
2.A　物块沿斜面向上匀速运动，受力示意图如图所示，根据平衡条件有
F＝f＋mgsin 30°①
f＝μN ②
N＝mgcos 30°③
由①②③式得F＝mgsin 30°＋μmgcos 30°
所以m＝
代入数据得m＝150 kg，选项A正确。
要点四
知识精研
【典例4】　D　在题图甲中，两段绳的拉力都是m1g，互成120°角，因此合力的大小是m1g，故BC对滑轮的作用力大小也是m1g（方向与竖直方向成60°角斜向右上方），选项A错误；在题图乙中由力的分解知，HG杆受到绳的作用力为m2g，选项B错误；在题图乙中FEGsin 30°＝m2g，得FEG＝2m2g，解得FAC∶FEG＝m1∶2m2，选项C错误，D正确。
素养训练
1.B　如图所示，定滑轮只改变力的方向，不改变力的大小，所以绳的拉力F1＝F2＝100 N，柱顶所受压力大小F＝2F1cos 30°＝2×100× N＝100 N，B正确。
2.AC　对小球进行受力分析，力的矢量三角形如图所示。由几何关系可知TOA＝TOB＝mg，故A正确，B错误；若将A点向下移动一小段距离，OB与竖直方向所成的夹角将增大，则由小球受力分析图可知轻绳OA受到拉力变大，故C正确，D错误。
【教学效果·勤检测】
1.A　选物块和斜劈组成的系统为研究对象，由于系统处于平衡状态，受到的合力等于零，故系统在水平方向受到的合力等于零，因此地面对斜劈的摩擦力等于零，选项A正确。
2.B　重物C受三个力，重力和两个拉力，两个拉力的合力与重力平衡，根据共点力平衡条件可知两个拉力合力的大小等于重物C的重力大小，且为定值，重物C缓慢下降的过程中，两根绳子之间的夹角不断减小，根据平行四边形定则可知拉力不断减小，故选B。
3.B　以结点B为研究对象，分析受力情况：受到绳AB、BD的拉力和弹簧BC的弹力，如图所示，由平衡条件得知，F2和F3的合力与F1大小相等、方向相反，要保持B点的位置不变，BD绳向上转动的角度最大为45°，由于B点的位置不变，因此弹簧的弹力不变，由图解可知，AB绳的拉力变小，BD绳的拉力也变小，故B正确。
4.BC　手指所受拉力的大小等于绕过动滑轮的绳子两端的拉力F1、F2的合力F的大小，如图所示。只增加绳的长度，F1、F2的大小及其夹角不变，则合力F不变，A错误；只增加重物的重力，F1、F2的大小增大，夹角不变，则合力F变大，B正确；手指向下移动，F1、F2大小不变，夹角变小，则合力F变大，C正确；同理，D错误。
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习题课三　平衡中的综合应用
目 录
01.
核心要点·快突破
02.
教学效果·勤检测
03.
课时训练·提素能
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
01
要点一　整体法与隔离法的应用
1. 整体法的含义
所谓整体法就是对物理问题的整个系统或整个过程进行分析、研究
的方法。
2. 整体法的优点
通过整体法分析物理问题，可以弄清系统的整体受力情况和全过程
的受力情况，从整体上揭示事物的本质和变化规律，从而避开了中
间环节的繁琐推算，能够灵巧地解决问题。
3. 整体法和隔离法的选择原则
通常在分析外力对系统的作用时，用整体法；在分析系统内各物体
（或一个物体的各部分）间相互作用时，用隔离法；有时解答一个
问题需要多次选取研究对象，整体法和隔离法交替应用。
【典例1】　如图所示，粗糙水平地面上放着一个截面为半圆的柱状
物体A，A与竖直墙之间放一光滑半圆球B，整个装置处于静止。已知
A、B的质量分别为m和M，半圆球B与柱状物体A半径均为R，半圆球B
的球心到水平地面的竖直距离为R，重力加速度为g。求：
（1）地面对物体A的支持力大小；
答案：（M＋m）g
解析：把A、B看成一个整体，该整体在竖直方向上受到竖直向
下的重力（M＋m）g和地面的支持力N的作用，根据二力平衡得
N＝（M＋m）g。
（2）地面对物体A的摩擦力。
答案：Mg，方向水平向左
解析：在水平方向上，该整体受到竖直墙水平
向右的弹力和地面的水平向左的摩擦力，虽然
摩擦力大小等于弹力大小，但由整体法无法确
定弹力大小，因此需选取半圆球B为研究对
象，运用隔离法，受力分析如图所示。根据力的分解和平衡条件可得N1＝，N2＝Mgtan θ，由半圆球B的球心到水平地面的竖直距离为R，根据相关几何知识得到θ＝45°所以N2＝Mg，以整体为研究对象，受力分析可知地面对物体A的摩擦力大小为Mg，方向水平向左。
1. 如图所示，三个小球放在固定的倾斜挡板上，挡板与水平面的夹角
为30°，每个小球的质量均为m，墙面和挡板均光滑，则墙壁对最
左端小球的弹力大小为（　　）
解析：　将三个小球作为整体受力分析如图所
示，由共点力平衡可知tan 30°＝，解得N2
＝mg，故B正确。
2. 如图所示，用完全相同的轻弹簧A、B、C将两个相同的小球连接并
悬挂，小球处于静止状态，弹簧A与竖直方向的夹角为30°，弹簧
C水平，则弹簧A、C的伸长量之比为（　　）
C. 1∶2 D. 2∶1
解析：　将两小球及弹簧B视为整体进行受力分析，如图所示，有FC＝FAsin 30°，又FC＝kxC，FA＝kxA，得＝＝＝2∶1，故A、B、C错误，D正确。
要点二　动态平衡问题
动态平衡问题是指物体的状态发生缓慢变化，可以认为任一时刻都处
于平衡状态。分析此类问题时，常用方法见下表：
解
析
法 对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，求出因变参量与自变参量的一般函数，然后根据自变参量的变化确定因变参量的变化
图
解
法 对研究对象进行受力分析，再根据平行四边形定则或三角形定则画出不同状态下力的矢量图（画在同一个图中），然后根据有向线段长度、角度的变化判断各个力大小、方向的变化情况
相似
三角 形法 在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算
【典例2】　如图所示，一个重力为G的匀质球放在光滑斜面上，斜面
倾角为α，在斜面上有一光滑的木板挡住球，使之处于静止状态，挡
板与斜面夹角为β。
（1）β缓慢增大时，球受木板压力和斜面支持力如何变化？
（2）β多大时，挡板所受压力最小？求出最小值。
思路点拨
（1）重要信息提取
①斜面光滑：不考虑摩擦力。
②支持力、压力的方向：垂直于接触面，沿半径方向。
③夹角β缓慢增大的含义：合力为0，动态平衡。
（2）物理思维：受力分析，如图所示。
答案：（1）先减小后增大　始终减小
（2）90°　Gsin α
解析：（1）把球受到的三个力隔离
出来，构成一个封闭的三角形，如图
甲所示。
F1的方向不变，始终垂直于斜面。F2
的大小、方向均改变，随着木板逆时
针转动，F2的方向也逆时针转动。
图乙中动态矢量三角形的一系列虚线表示变化的F2。
由图乙可知，β增大时，木板对球的压力先减小后增大，斜面对球的支持力始终减小。
（2）由图乙可知：当β＝90°时，球所受挡板支持力最小，为
Gsin α。
1. 如图所示，斜面上和与斜面垂直的挡板上各有一个压力传感器A、
B，斜面倾角可调，铁球静止在传感器A、B上，从图示位置缓慢减
小斜面的倾角θ，下列说法正确的是（　　）
A. A的示数不变，B的示数减小
B. A的示数减小，B的示数不变
C. A的示数增大，B的示数减小
D. A的示数减小，B的示数增大
解析：　压力传感器A的读数为FA＝mgcos θ，压力传感器B的读
数为FB＝mgsin θ，则当θ减小时，FA增大，FB减小。故选C。
2. （多选）如图所示，一质量为m、半径为r的光滑球A用细绳悬挂于
O点，另一质量为M、半径为R的半球形物体B被夹在竖直墙壁和A
球之间，B的球心到O点的距离为h，A、B的球心在同一水平线
上，A、B处于静止状态，重力加速度为g，则下列说法正确的是
（　　）
B. 竖直墙壁对B的摩擦力可能为零
C. 轻轻把B向下移动一点距离，若A、B再次保持静止，则B对A的支持力大小保持不变，细绳拉力增大
D. 轻轻把B向下移动一点距离，若A、B再次保持静止，则B对A的支持力减小，细绳拉力减小
解析：　分析球A的受力情
况，如图甲所示，N与mg的合
力与T等大、反向、共线，根据
两个阴影三角形相似得＝
＝，解得N＝mg，T＝
mg，故A正确。B在竖直方向受到重力，由平衡条件知竖直
墙壁对B的摩擦力一定不为零，故B错误。
当只轻轻把B向下移动一点距离，分析球A的受力情况，如图乙所示，N'与T'的合力与mg等大、反向、共线，根据两个阴影三角形相似得＝＝，可得N'＝mg，T'＝mg，由于L＞h，可知N'减小，T'减小，故C错误，D正确。
要点三　平衡中的临界、极值问题
1. 临界问题
（1）问题界定：物体所处平衡状态将要发生变化的状态为临界状
态，涉及临界状态的问题为临界问题。
（2）问题特点
①当某物理量发生变化时，会引起其他几个物理量的变化。
②注意某现象“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。
（3）分析方法：基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成
立，然后根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。
2. 极值问题
（1）问题界定：物体平衡的极值问题，一般指在力的变化过程中
涉及力的最大值和最小值的问题。
（2）分析方法
①解析法：根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采
用数学知识求极值或根据物理临界条件求极值。
②图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量图，画出平行
四边形或矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。
【典例3】　物体的质量为2 kg，两根轻绳AB和AC的一端连接于竖直
墙上（B、C在同一竖直线上），另一端系于物体上，在物体上另施加
一个方向与水平线成θ＝60°角的拉力F，若要使两绳都能伸直，如图
所示，伸直时AC与墙面垂直，绳AB与绳AC间夹角也为θ＝60°，求拉
力F的大小范围（g取10 m/s2）。
答案： N≤F≤ N
解析：物体的受力情况如图所示，由平衡条件得
Fsin θ＋F1sin θ－mg＝0
Fcos θ－F2－F1cos θ＝0
由上述两式得F＝－F1
F＝＋
令F1＝0，得F最大值Fmax＝＝ N
令F2＝0，得F最小值Fmin＝＝ N
综合得F的取值范围为 N≤F≤ N。
规律方法
临界与极值问题的分析技巧
（1）求解平衡中的临界问题和极值问题时，首先要正确地进行受力
分析和变化过程分析，找出平衡中的临界点和极值点。
（2）临界条件必须在变化中寻找，不能停留在一个状态来研究临界
问题；要把某个物理量推向极端，即极大或极小，并依此作出
科学的推理分析，从而作出判断或给出结论。
1. 如图所示，一个重力为5 N的物体，用细线悬挂在O点，现在用力F
拉物体，使细线偏离竖直方向30°时处于静止状态，此时所用拉力
F的最小值为（　　）
A. 3.75 N B. 2.5 N
C. 5 N D. 4 N
解析：　以物体为研究对象，受到重力G、拉力F和细线的拉力
F1，物体静止时，F和F1的合力与G等大、反向、共线，由图可
知，当拉力F与细线垂直时最小。根据平衡条件得F的最小值为Fmin
＝Gsin 30°＝2.5 N，故选B。
2. 物块在轻绳的拉动下沿倾角为30°的固定斜面向上匀速运动，轻绳
与斜面平行。已知物块与斜面之间的动摩擦因数为，重力加速度
取10 m/s2。若轻绳能承受的最大张力为1 500 N，则物块的质量最
大为（　　）
A. 150 kg
C. 200 kg
解析：　物块沿斜面向上匀速运动，受力示
意图如图所示，根据平衡条件有
F＝f＋mgsin 30°　①
f＝μN　②
N＝mgcos 30°　③
由①②③式得F＝mgsin 30°＋μmgcos 30°
所以m＝
代入数据得m＝150 kg，选项A正确。
要点四　“死结”和“活结”、“定杆”和“动杆”模型
1. “死结”和“活结”模型
（1）“死结”模型：如几个绳端有“结点”，即几段绳子系在
一起，那么该结点称为“死结”，这几段绳子的张力不一
定相等。
（2）“活结”模型：跨过滑轮、光滑杆、光滑钉子的细绳为同一
根细绳，其两端张力大小相等。
2. “定杆”和“动杆”模型
（1）“定杆”模型：即轻质固定杆，它的弹力方向不一定沿杆
的方向，作用力的方向需要结合受力分析或二力平衡条件
求得。
（2）“动杆”模型：一端有铰链相连的活动杆，轻质活动杆中的
弹力方向一定沿杆的方向。
【典例4】　如图甲所示，细绳AD跨过固定在轻杆BC右端的定滑轮挂
住一个质量为m1的物体，∠ACB＝30°；如图乙所示，轻杆HG一端
用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向
成30°角，在轻杆的G点上用细绳GF拉住一个质量为m2的物体，重力
加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
B. 图乙中HG受到绳的作用力为m2g
C. 细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为1∶1
D. 细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为m1∶2m2
解析：在题图甲中，两段绳的拉力都是m1g，互成120°角，因此合力
的大小是m1g，故BC对滑轮的作用力大小也是m1g（方向与竖直方向
成60°角斜向右上方），选项A错误；在题图乙中由力的分解知，HG
杆受到绳的作用力为m2g，选项B错误；在题图乙中FEGsin 30°＝
m2g，得FEG＝2m2g，解得FAC∶FEG＝m1∶2m2，选项C错误，D正确。
1. 如图所示，水平地面上固定着一根竖直立柱，某人用绳子通过柱顶
的定滑轮将100 N的货物拉住。已知人拉着绳子的一端，且该绳端
与水平方向夹角为30°，则柱顶所受压力大小为（　　）
A. 200 N
C. 100 N
解析：　如图所示，定滑轮只改变力的方向，不改变力的大小，所以绳的拉力F1＝F2＝100 N，柱顶所受压力大小F＝2F1cos 30°＝2×100× N＝100 N，B正确。
2. （多选）如图所示，轻绳OA、轻杆OB的O端与质量为m的小球拴
接在一起，轻杆的B端通过铰链连接在竖直墙面上，小球处于静止
状态，且OA＝OB，OB与竖直方向的夹角为60°，重力加速度为
g，则（　　）
A. 轻绳OA受到的拉力大小为mg
C. 若将A点缓慢向下移动一小段距离，则轻绳OA受到的拉力将变大
D. 若将A点缓慢向下移动一小段距离，则轻绳OA受到的拉力将变小
解析：　对小球进行受力分析，力的矢量三角形如图所示。由几何关系可知TOA＝TOB＝mg，故A正确，B错误；若将A点向下移动一小段距离，OB与竖直方向所成的夹角将增大，则由小球受力分析图可知轻绳OA受到拉力变大，故C正确，D错误。
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
02
1. 如图所示，粗糙的水平地面上有一斜劈，斜劈上一物块正在沿斜面
以速度v0匀速下滑，斜劈保持静止，则地面对斜劈的摩擦力（　　）
A. 等于零
B. 不为零，方向向右
C. 不为零，方向向左
D. 不为零，v0较大时方向向左，v0较小时方向向右
解析：　选物块和斜劈组成的系统为研究对象，由于系统处于平
衡状态，受到的合力等于零，故系统在水平方向受到的合力等于
零，因此地面对斜劈的摩擦力等于零，选项A正确。
2. 如图所示，A、B为同一水平线上的两个绕绳装置，转动A、B改变
绳的长度，使光滑挂钩下的重物C缓慢竖直下降。关于此过程中绳
上拉力大小的变化，下列说法中正确的是（　　）
A. 不变 B. 逐渐减小
C. 逐渐增大 D. 先增大后减小
解析：　重物C受三个力，重力和两个拉力，两个拉力的合力
与重力平衡，根据共点力平衡条件可知两个拉力合力的大小等
于重物C的重力大小，且为定值，重物C缓慢下降的过程中，两
根绳子之间的夹角不断减小，根据平行四边形定则可知拉力不
断减小，故选B。
3. 如图所示，AB、BD为两段轻绳，其中BD段水平，BC为处于伸长
状态的轻质弹簧，且AB和BC与竖直方向的夹角均为45°。现将BD
绳绕B点缓慢向上转动，转动过程中保持B点位置不动，则在转动
过程中，BD绳中张力T变化情况是（　　）
A. 变大 B. 变小
C. 先变小后变大 D. 先变大后变小
解析：　以结点B为研究对象，分析受力情
况：受到绳AB、BD的拉力和弹簧BC的弹力，
如图所示，由平衡条件得知，F2和F3的合力与
F1大小相等、方向相反，要保持B点的位置不
变，BD绳向上转动的角度最大为45°，由于B
点的位置不变，因此弹簧的弹力不变，由图解
可知，AB绳的拉力变小，BD绳的拉力也变小，
故B正确。
4. （多选）如图所示的是某同学为颈椎病人设计的一个牵引装置的示
意图，一根轻绳绕过两个定滑轮和一个动滑轮后两端各挂着一个相
同的重物，与动滑轮相连的帆布带拉着病人的颈椎（图中是用手指
代替颈椎做实验），整个装置在同一竖直平面内。如果要增大手指
所受的拉力，可采取的办法是（　　）
A. 只增加绳的长度 B. 只增加重物的重力
C. 只将手指向下移动 D. 只将手指向上移动
解析：　手指所受拉力的大小等于绕过动滑轮的
绳子两端的拉力F1、F2的合力F的大小，如图所示。
只增加绳的长度，F1、F2的大小及其夹角不变，则合
力F不变，A错误；只增加重物的重力，F1、F2的大小
增大，夹角不变，则合力F变大，B正确；手指向下
移动，F1、F2大小不变，夹角变小，则合力F变大，C
正确；同理，D错误。
03
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
1. 如图所示，一个物体受到1 N、2 N、3 N、4 N四个力作用而处于平
衡状态。现保持1 N、2 N、4 N三个力的方向和大小不变，而将3 N
的力绕O点顺时针旋转60°，此时作用在物体上的合力大小为
（　　）
A. 13 N
C. 3 N
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解析：　由题意可知，四个力的合力为零，则可知1 N、2 N、4
N三个力的合力与3 N的力大小相等，方向相反，则3 N的力绕O点
顺时针旋转60°，其他三个力不变，相当于两个3 N的力，其夹角
为120°，因此作用在物体上的合力为3 N。故选C。
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2. 自卸车常用来进行土方、砂石、散料等的装卸运输工作。如图所
示，当自卸车的车厢从水平倾斜到一定角度时，车厢上的货物如集
装箱就会自动滑下。下列说法正确的是（　　）
A. 车厢倾斜角度越大，集装箱对车厢的压力越大
B. 车厢倾斜角度越大，集装箱与车厢的动摩擦因数越小
C. 集装箱静止在倾斜车厢上时，受到的摩擦力大于重力沿斜面方向的分力
D. 集装箱开始下滑时，受到的摩擦力小于重力沿斜面方向的分力
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解析：　由力的分解知识可知，集装箱对车厢的正压力为N＝
Gcos θ，θ为车厢底面与水平方向的夹角，所以，车厢倾角越
大，车厢与集装箱间的正压力就越小，故A错误；集装箱与车
厢的动摩擦因数与接触面的粗糙程度有关，与倾角无关，故B
错误；根据共点力平衡，集装箱静止在倾斜车厢上时，受到的
摩擦力等于重力沿斜面方向的分力，故C错误；集装箱开始下
滑时，处于非平衡状态，集装箱滑动后的摩擦力小于重力沿斜
面方向的分力，故D正确。
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3. 如图所示的是给墙壁粉刷涂料用的“涂料滚”的示意图。使用时，
用撑杆推着粘有涂料的涂料滚沿墙壁上下缓缓滚动，把涂料均匀地
粉刷到墙上。撑杆的重量和墙壁的摩擦均不计，而且撑杆足够长。
粉刷工人站在离墙壁一定距离处缓缓上推涂料滚，该过程中关于撑
杆对涂料滚的推力F1、涂料滚对墙壁的压力F2，以下说法正确的是
（　　）
A. F1增大，F2减小 B. F1减小，F2增大
C. F1、F2均增大 D. F1、F2均减小
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解析：　对涂料滚进行受力分析，受到重力、撑杆对涂料滚的推
力、墙壁对涂料滚的支持力三个力，其缓慢向上滚的过程中三力平
衡，撑杆对涂料滚的推力方向与竖直方向的夹角变小，根据物体的
平衡条件可知，推力竖直方向上的分力大小等于涂料滚的重力，涂
料滚的重力不变，随推力方向与竖直方向夹角变小，推力也逐渐变
小，进而其水平方向上的分力也变小，即涂料滚对墙壁的压力F2也
变小，所以D正确。
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4. （多选）灯笼是我国年俗文化的重要组成部分，无论旧时还是现
在，灯笼都能烘托出节日的喜庆氛围。如图所示，直角支架固定在
竖直面内，灯笼通过光滑轻质挂钩OA挂在轻质细绳上，细绳的一
端固定在支架水平部分的C点，另一端固定在支架竖直部分的B
点，系统处于平衡状态，此时细绳上的拉力大小为F1；当细绳的竖
直固定端点B下移少许，重新平衡时细绳上的拉力大小为F2；当细
绳的水平固定端点C右移少许，重新平衡时细绳上的拉力大小为
F3；不计空气对灯笼的影响，细绳的长度始终不变，则关于F1、
F2、F3的大小关系正确的是（　　）
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A. F1＜F2 B. F1＝F2
C. F1＜F3 D. F1＞F3
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解析：　设绳长为L，因是光滑轻质挂钩，可知两边绳子的拉力
相等，设为F，绳子与竖直方向的夹角θ相等，则由共点力平衡条
件可知2Fcos θ＝mg，由几何关系LOCsin θ＋LOBsin θ＝d＝Lsin θ（d
为C点到竖直墙壁的距离），则当B点下移时，θ角不变，则F不
变，即F1＝F2，当细绳的水平固定端点C右移少许，则d减小，则θ
角减小，cos θ变大，则F减小，即F1＞F3，故选B、D。
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5. 如图所示，倾角为α、质量为M的斜面体静止在水平桌面上，质量
为m的木块静止在斜面体上。下列结论正确的是（　　）
A. 木块受到的摩擦力大小是mgcos α
B. 木块对斜面体的压力大小是mgsin α
C. 桌面对斜面体的摩擦力大小是mgsin αcos α
D. 桌面对斜面体的支持力大小是（M＋m）g
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解析：　根据力的平衡条件，可知木块受到的静摩擦力大小为
mgsin α，木块对斜面体的压力大小为mgcos α，A、B项错误；由整
体法知，桌面对斜面体的摩擦力大小为0，支持力大小为（M＋
m）g，C项错误，D项正确。
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6. 如图所示，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点
处；绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连。
甲、乙两物体质量相等。系统平衡时，O点两侧绳与竖直方向的夹
角分别为α和β。若α＝70°，则β等于（　　）
A. 45° B. 55°
C. 60° D. 70°
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解析：　如图所示，由于甲、乙质量相等，通
过矢量的合成法则，结合几何关系，则有∠γ＋
∠β＋∠α＝180°，∠β＝∠γ，因∠α＝70°，
那么∠β＝55°，故B正确。
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7. （多选）如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆
M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处
于静止状态。如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法
正确的是（　　）
A. 绳的右端上移到b'，绳子拉力不变
B. 将杆N向右移一些，绳子拉力变大
C. 绳的两端高度差越小，绳子拉力越小
D. 若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移
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解析：　设两段绳子间的夹角为2α，由平衡条件可知，2Fcos α
＝mg，所以F＝，设绳子总长为L，两杆间距离为s，由几何关
系L1sin α＋L2sin α＝s，得sin α＝＝，绳子右端上移，L、s都
不变，α不变，绳子张力F也不变，A正确；杆N向右移动一些，s变
大，α变大，cos α变小，F变大，B正确；绳子两端高度差变化，不
影响s和L，所以F不变，C错误；衣服质量增加，绳子上的拉力增
加，由于α不会变化，悬挂点不会右移，D错误。
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8. （多选）如图所示，用与竖直方向成θ角（θ＜45°）的倾斜轻绳a
和轻绳b共同固定一个小球，这时绳b在水平位置1的拉力为F1，现
保持小球在原位置不动，使绳b在原竖直平面内，逆时针转过θ角到
位置2固定，绳b的拉力变为F2，再转过θ角到位置3固定，绳b的拉
力变为F3，则（　　）
A. F1＝F2 B. F1＝F3
C. F2＞F3 D. F2＜F3
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解析：　对小球受力分析，其受到重力和两个拉力作用，三力平衡，如图所示，通过几何关系可知，力F2垂直于细绳，故有F1＝F3＞F2，故B、D正确，A、C错误。
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9. 如图所示，小明在院子里用轻绳挂了两只灯笼A、B，A的质量为
m，B的质量为m，其中绳2与竖直方向的夹角为53°，绳3处于
水平状态，重力加速度为g。求在无风时（sin 53°＝0.8，cos 53°
＝0.6）
（1）轻绳1和2对灯笼A的合力大小；
答案：mg　
解析：以A为研究对象，由平衡条件可得，轻绳1和2对灯笼A的合力大小为mg；
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（2）轻绳3对灯笼B的拉力大小；
答案：mg　
解析：以B为研究对象，受力如图甲所示，
由平衡条件可得
F3＝mBgtan 53°
解得F3＝mg
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（3）轻绳1对灯笼A的拉力大小。
答案：mg
解析：以A和B为研究对象，受力如图乙所示，由
平衡条件可得
F1＝
解得F1＝mg
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10. （多选）如图所示，一绕过水平杆左端光滑轻小滑轮O的细线，
上端固定在水平天花板的B点，下端系一质量为m的重物。重物静
止时，细线BO与天花板的夹角为60°。现将杆绕水平轴A沿顺时
针方向缓慢转动，直到细线BO与天花板的夹角为30°。重力加速
度大小为g。下列说法正确的是（　　）
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A. 在该过程中，细线BO可能会断掉
B. 在该过程中，滑轮受到细线的作用力逐渐增大
C. 在该过程中，滑轮受到细线的作用力逐渐减小
D. 当细线BO与天花板的夹角为60°时，滑轮受到细线的作用力小于mg
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解析：　以重物为研究对象，根据受力平衡可知，细线拉力大
小总是与重物的重力相等，即T＝mg，可知在该过程中，细线拉
力大小保持不变，则细线BO不会断掉，故A错误；在该过程中，
细线拉力大小保持不变，但滑轮两侧细线之间的夹角逐渐减小，
根据平行四边形定则可知，滑轮受到细线的作用力逐渐增大，故
B正确，C错误；当细线BO与天花板的夹角为60°时，滑轮两侧
细线之间的夹角为150°，则滑轮受到细线的作用力大小为F＝
2Tcos＝2Tcos 75°＜2Tcos 60°＝T＝mg，故D正确。
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11. （多选）如图所示，一轻弹簧的两端栓接着A、B两物体，其重力
分别是GA＝8 N，GB＝4 N，静止放置在倾角为30°、底端带挡板
的足够长光滑斜面上。现用平行于斜面的力F施加在B物体上并缓
慢往上拉，当物体B上移20 cm时，物体A即将向上运动，已知弹
簧始终在弹性限度内，则以下说法正确的是（　　）
A. 施加F前，A对挡板的压力大小为12 N
C. 轻弹簧的劲度系数为30 N/m
D. 从施加力F到A即将向上运动的过程中，F不断增大
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解析：　施加力F前，用整体法可知，挡板对整体的支持力
为F1＝（GA＋GB）sin 30°＝6 N，则由牛顿第三定律可知A对挡
板的压力大小为6 N，选项A错误；因F和弹簧弹力均平行于斜
面，则B所受的支持力不变，恒为F2＝GBcos 30°＝2 N，则选
项B正确；施加力F之前，弹簧的压缩量设为x1，对B物体有kx1＝
GBsin 30°，A物体即将向上运动时，弹簧的伸长量设为x2，此
时，对A物体有kx2＝GAsin 30°，由题意有x1＋x2＝
＝20 cm，代入数据得k＝30 N/m，则选项C正
确；物体B缓慢上移的过程中，弹簧由压缩态变为伸长态，对B的弹力先向上减小后向下增加，则拉力F一直变大，选项D正确。
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12. （多选）在粗糙水平地面上与墙平行放着一个截面为半圆的柱状
物体A，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，整个装置处于静止状
态。现对B施加一竖直向下的力F，F的作用线通过球心、设墙对B
的作用力为F1，A对B的作用力为F2，地面对A的作用力为F3。若F
缓慢增大而整个装置仍保持静止，截面如图所示，在此过程中
（　　）
A. F1保持不变，F3缓慢增大
B. F1缓慢增大，F3缓慢增大
C. F2缓慢增大，F3缓慢增大
D. F2缓慢增大，F3保持不变
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解析：　A、B始终保持静
止，对B受力分析，如图甲所
示，设A、B圆心连线与竖直方
向夹角为α，由F2sin α＝F1，
F2cos α＝F＋GB可得，当F增大
时，F2增大，F1也增大。将A、B看成整体，受力如图乙所示，
设地面对A的支持力为N，对A的摩擦力为f，则由整体平衡得GA
＋GB＋F＝N，且f＝F1，由此可知，当F增大时，N、f均增大，
F3是N与f的合力，也增大。所以B、C正确，A、D错误。
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13. 如图所示，两个质量均为m的小环套在一水平放置的粗糙长杆
上，两根长度均为l的轻绳一端系在小环上，另一端系在质量为M
的木块上，两个小环之间的距离也为l，小环保持静止。假设最大
静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。
（1）求杆对小环的支持力；
答案：mg＋　
解析：对整体，根据平衡条件可得
2N－（M＋2m）g＝0
解得N＝mg＋。
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（2）小环与杆之间的动摩擦因数μ至少为多大？
答案：
解析：对木块，根据平衡条件可得2Tcos 30°－Mg＝0
小环不滑动，则Tsin 30°≤μN
解得μ≥
动摩擦因数μ至少为。
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