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2024-2025学年广东省深圳市南山区深圳湾学校八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（　　）
A. 三叶玫瑰线 B. 四叶玫瑰线
C. 心形线 D. 笛卡尔叶形线
2.关于x的一元一次不等式x-3＜0的解集在数轴上表示为（　　）
A. B.
C. D.
3.下列因式分解正确的是（　　）
A. 2a2-4a=2（a2+a） B. 4-a2=（2+a）（2-a）
C. a2-10a+25=a（a-10）+25 D. a2-2a+1=（a+1）2
4.若x2+kx+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为（　　）
A. 6 B. -4或8 C. -6或6 D. 0
5.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若AD=3，则DC=（　　）
A. 5
B. 6
C. 8
D. 12
6.已知坐标平面上有一等边△ABC，其坐标分别为A（0，0），B（2，0），将△ABC绕点B依顺时针方向旋转60°，如图所示.则旋转后C点的坐标为（　　）
A.
B.
C. （3，1）
D.
7.下列说法正确的是（　　）
A. 有一个角是60°的三角形是等边三角形
B. 三角形的三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等
C. “直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是真命题
D. 斜边相等的两个直角三角形全等
8.已知关于x的不等式组只有唯一的整数解，则a的值可以是（　　）
A. -1 B. C. 1 D. 2
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.点（-5，4）关于原点对称的点的坐标是______．
10.如图，A，B的坐标为（1，0），（0，2），若将线段AB平移至A1B1，则a-b的值为______．
11.如图，直线y=-2x+2与直线y=kx+b（k、b为常数，k≠0）相交于点A（-1，m），则关于x的不等式-2x+2＜kx+b的解集为______.
12.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=92°，∠ACB=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．当点E恰好在AC上时，则∠ADE的度数为______．
13.如图，△ABC中，AB=17，BC=5，∠B=60°，在△ABC外侧作等边△ACD，过点D作DE⊥AB于E，则AE的长为 .
三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题8分)
因式分解：
（1）3x-6；
（2）2x2-4x+2；
（3）3m2-27；
（4）x2-12x+36.
15.(本小题6分)
解不等式组.
16.(本小题6分)
先化简，再求值：，其中x=6.
17.(本小题9分)
如图，△ABC的三个顶点都在边长为1的小正方形组成的网格的格点上，以点O为原点建立直角坐标系，回答下列问题：
（1）将△ABC先向上平移5个单位，再向右平移1个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并直接写出A1的坐标______；
（2）将△A1B1C1绕点（0，-1）顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3）观察图形发现，△A2B2C2是由△ABC绕点______顺时针旋转______度得到的．
18.(本小题8分)
如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE=CE，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G．
（1）求证：△AEG是等腰三角形．
（2）若BE=10，CD=3，G为CE中点，求AG的长．
19.(本小题12分)
背景 【竞飞“低空经济第一城”】打开手机外卖软件下单，最快仅用时10分钟，便有无人机将奶茶、汉堡等商品“空投”到指定地点，这是记者日前在深圳中心公园亲身体验到的一幕.从理想照进现实，低空经济如今从概念逐渐落地，成为城市新质生产力的一部分，助力深圳竞飞“低空经济第一城”.
素材1 某商店在无促销活动时，若买5件A商品，8件B商品，共需要2400元；若买8件A商品，5件B商品，共需2280元.
素材2 该商店为了鼓励消费者使用无人机配送服务，开展促销活动：
①若消费者用250元购买无人机配送服务卡，商品一律按标价的七五折出售；
②若消费者不使用无人机配送服务：凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售.
问题解决
任务1 在该商店在无促销活动时，求A，B商品的销售单价分别是多少元？
任务2 某南山科技公司计划在促销期间购买A，B两款商品共30件，其中A商品购买a件（0＜a＜30）；
①若使用无人机配送商品，共需要______元；
②若不使用无人机配送商品，共需要______元.（结果均用含a的代数式表示）；
任务3 请你帮该科技公司算一算，在任务2的条件下，购买A产品的数量在什么范围内时，使用无人机配送商品更合算？

20.(本小题12分)
综合与实践探究
【问题背景】学习三角形旋转之后，八1班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计本组的logo,小鸣在设计logo的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系.因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究.
已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°.
【初步探究】（1）小鸣将△ADE绕点A在平面内自由旋转，连接BD，CE后，发现他们之间存在着一定的关系，如图（1），请证明：BD=CE且BD⊥CE；
【深入探究】（2）若∠ADB=90°，O点为BC的中点，旋转过程中，当点D、点E和点O三点共线时，如图2，求证：.
【拓展探究】（3）如图3，当∠BDC=60°，，，则CD=______.（直接写出结果）
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】（5，-4）
10.【答案】0
11.【答案】x＞-1
12.【答案】17°
13.【答案】
14.【答案】3（x-2）；
2（x-1）2；
3（m+3）（m-3）；
（x-6）2
15.【答案】解：由①得x≥-2，
由②得x＜3，
所以不等式组的解集是-2≤x＜3．
16.【答案】，．
17.【答案】（1）如下图，（-3，4）；
（2）如图：
（3）（2，-4）；90
18.【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，∠DCG+∠DGC=90°，
∵EB=EC，
∴∠B=∠DCG，
∴∠BAD=∠DGC，
∵∠AGE=∠DGC，
∴∠BAD=∠AGE，
∴EA=EG，
∴△AEG是等腰三角形；
（2）解：过点E作EF⊥AG，垂足为F，
∴∠EFG=90°，
∵EA=EG，EF⊥AG，
∴AG=2FG，
∵G为CE中点，
∴EG=GC=EC，
∵EB=EC=10，
∴GC=EC=5，
∵∠EFG=∠CDG=90°，∠EGF=∠CGD，
∴△EFG≌△CDG（AAS），
∴FG=DG，
在Rt△CDG中，CD=3，
∴DG===4，
∴FG=DG=4，
∴AG=2FG=8，
∴AG的长为8．
19.【答案】（4750-30a） （4800-32a）
20.【答案】∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE，∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
延长BD，EC交于点Q，
∵∠BCQ=180°-∠ACE-45°=135°-∠ACE，∠CBQ=∠ABD-∠ABC=∠ABD-45°，
∴∠BCQ+∠CBQ=135°-∠ACE+∠ABD-45°=90°，
∴∠Q=90°，
∴BD⊥CE；
如图，过C作CM∥BD，
∴∠DBO=∠MCO；
∵O为BC的中点，
∴OB=OC，
∴△BDO≌△CMO（ASA），
∴CM=BD，OM=OD；
由 知，△ABD≌△ACE，
∴∠AEC=∠ADB=90°；
∵∠ADB=90°，∠DAE=90°，
∴BD∥AE，
∵CM∥BD，
∴CM∥AE，
∴∠ECM=90°；
∵AD=AE，∠DAE=90°，
∴∠AED=45°，
∴∠AED=∠CEM=45°，
∴∠CME=∠CEM=45°；
∴CE=CM；
由勾股定理得，
∴；
6
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