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2024-2025学年山东省日照市北京路中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式中，运算正确的是（　　）
A. B. C. D.
2.△ABC的三条边分别为a,b,c,下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A. a=4，，c=5 B. ∠B=50°，∠C=40°
C. ∠A：∠B：∠C=3：4：5 D.
3.综合实践课上，爱动脑筋的锦润同学先画出△ABD，再利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形.图①～图③是他的作图过程.那么这位同学作出的图形是平行四边形的数学依据是（　　）
A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等
C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等
4.我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积.若设三角形的三条边长分别为a,b,c,三角形的面积为S，则.已知在△ABC中，，，，那么△ABC的面积为（　　）
A. B. C. D.
5.某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼.两人都从A地匀速出发，甲健步走向B地.途中偶遇一位朋友，驻足交流10min后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发30min,跑步到达B地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇.如图表示甲、乙两人之间的距离y（m）与甲出发的时间x（min）之间的函数关系.
那么以下结论：
①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min；
②甲出发86min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m；
③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后100min；
④A，B两地之间的距离是11200m.
其中正确的结论有（　　）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
6.将m中根号外的m移到根号里后得到的式子为（　　）
A. - B. C. D. m
7.如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止.设点P的运动路程为x,PO的长为y,y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点时，PO的长为（　　）
A. 2 B. 3 C. D.
8.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（-6，0），点B的坐标是（0，8），点C是OB上一点，将△ABC沿AC折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处，则点C的坐标为（　　）
A. （5，0）
B. （0，5）
C. （3，0）
D. （0，3）
9.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC=6cm，AD=9cm，P、Q分别从A、C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C向B运动，多少s时直线将四边形ABCD截出一个平行四边形（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2或3
10.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE分别交AC，AD于点F，G，连接AE，则下列结论：①AC⊥AE；②△DEG≌△ABG；③OG∥AB；④四边形ABDE是菱形.其中正确的有（　　）
A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.如果有意义，那么字母x的取值范围是 .
12.实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为______.
13.如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3+S2-S1=20，则图中阴影部分的面积为 .
14.如图，在线段AB上取一点C，分别以AC、BC为直角边作等腰直角三角形ACD、等腰直角三角形CBE.若这两个等腰直角三角形的面积和为11，△CDB的面积为3.5，则AB的长为 .
15.如图，在平面直角坐标系中．已知点A（3，0），B（-1，0），C（0，2），则以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为 .
16.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为______.
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算题：
（1）；
（2）.
18.(本小题10分)
已知a=+2，b=-2，求下列代数式的值：
（1）ab2+ba2；
（2）a2-2ab+b2；
（3）a2-b2.
19.(本小题10分)
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH.
（1）求证：∠OHD=∠OAH.
（2）若AC=8，BD=6，求BH.
20.(本小题10分)
如图，一辆火车在铁路MN上自西向东行驶，铁路有关部门规定MN路段限速180km/h，A处有一测速仪，已知B、C在MN上，AB=300m，∠ABC=45°，∠ACB=120°，请解决以下问题：
（1）如图1，测速仪测得该火车从B点行驶至C点用时2秒，该火车超速了吗？请说明理由；
（2）如图2，若MN上有一点D，且CD=2BC，若火车从C点行驶至D点，求A处测速仪探头旋转角∠CAD的度数.
21.(本小题10分)
【阅读下列材料】：
若a＞0，b＞0，则，，∴.（注：）∵≥0，a+b-2≥0，∴a+b≥2.“a+b≥2”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题.（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当a=b时，取等号.）
【例】：若a＞0，b＞0，ab=16，求a+b的最小值.
解：∵a＞0，b＞0，ab=16，∴a+b-2≥0，
∴a+b≥2=8.
∴a=b=4时，a+b的最小值为8.
【解决问题】
（1）用篱笆围成一个面积为100m2的长方形菜园（一面靠墙，墙足够长），当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少；
（2）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOD、△BOC的面积分别为2和3，求四边形ABCD面积的最小值.
22.(本小题10分)
如图1，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F.
（1）试说明OE=OF；
（2）如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出说明理由；如果不成立，请说明理由.
23.(本小题12分)
数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.
（1）判断
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM.
根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______.
（2）迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ.
①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ=______°，∠CBQ=______°；
②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由.
（3）拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为10cm,当FQ=2cm时，直接写出AP的长.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】D
10.【答案】A
11.【答案】x≥1且x≠2
12.【答案】b
13.【答案】5
14.【答案】6
15.【答案】（4，2）或（-4，2）或（2，-2）
16.【答案】
17.【答案】2；

18.【答案】解：∵a=+2，b=-2，
∴ab=（+2）（-2）=7-4=3，
a+b=+2+-2=2，
a-b=（+2）-（-2）=4，
（1）ab2+ba2=ab（b+a）=6；
（2）a2-2ab+b2=（a-b）2=16；
（3）a2-b2=（a+b）（a-b）=8．
19.【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，DO=BO，
又∵DH⊥AB，
∴DO=BO=OH，∠BDH+∠DBH=90°=∠DBH+∠HAO，
∴∠OHD=∠ODH，∠BDH=∠HAO，
∴∠OHD=∠OAH；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，DO=BO=3，AO=CO=4，
∴AB===5，
∵S△ADB=×BD×AO=×AB×DH，
∴6×4=5DH，
∴DH=，
∴BH===．
20.【答案】解：（1）火车限速为180km/h，则每秒限速为180000÷3600=50m/s，
过A作AE⊥MN于E，
∵∠ABC=45°，∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠ABE=45°，
∴AE=BE=AB=300m，
在Rt△ACE中，∠ACE=180°-∠ACB=60°，
∴CE=AE=100m，
∴BC=（300-100）m，
则该火车速度为（300-100）÷2=150-50（m/s），
∵150-50＞50，
∴该火车超速了；
（2）作DF⊥AC于F，
由（1）知，△ACE中，CE=100m，∠CAE=30°，
∴AC=2CE=200（m），
在Rt△CDF中，CD=2BC=600-200（m），
∴∠CDF=30°，
∴CF=300-100（m），
∴DF=CF=300-300（m），
∴AF=AC-CF=200-（300-100）=300-300（m），
∴AF=DF，
∵∠AFD=90°，
∴∠CAD=∠ADF=45°．
21.【答案】这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；
．
22.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形
∴∠BOE=∠AOF=90°，
OB=OA，
又∵AM⊥BE，
∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，
∴∠MEA=∠AFO，
∴Rt△BOE≌Rt△AOF，
∴OE=OF；
（2）OE=OF成立；
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA，
又∵AM⊥BE，
∴∠F+∠MBF=90°=∠B+∠OBE，
又∵∠MBF=∠OBE，
∴∠F=∠E，
∴Rt△BOE≌Rt△AOF，
∴OE=OF．
23.【答案】∠ABP（或∠PBM，∠MBC，∠BME）；
①15，15；
②∠MBQ=∠CBQ；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BAD=∠C=90°，
由折叠的性质得：AB=BM，∠BAD=∠BMP=90°，
∴BM=BC，∠BMQ=∠C=90°，
∵BQ=BQ，
在Rt△BQM和Rt△BQC中，
，
∴Rt△BQM≌Rt△BQC（HL），
∴∠MBQ=∠CBQ；
或
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