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第1章《勾股定理》单元测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．5，12，11 B．6，8，10
C．， 2， D．15，17，18
2．如图，若正方形A，B的面积分别为25和9，则正方形C的面积是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
3．如图，在 ABC中，，，，则点到的距离是（ ）
A．4 B．6 C． D．
4．已知，，是 ABC的三条边，则下列条件能判定 ABC为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．一个直角三角形，若三边的平方和为，则斜边长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，一棵树在一次强台风中，从离地面的点C处折断，倒下后树顶端着地点B与树底端A相距，则这棵树在折断前的高度是（ ）．
A． B． C． D．
7．《九章算术》中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何？意思是：今有门，不知其高宽，不知其长短．将一根竿子横放，竿比门宽长出4尺；竖放竿比门高长出2尺，斜着放，竿与门对角线恰恰相等．问门高、宽、对角线长分别是多少．若设门对角线长为尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（ ）
A．三角形内角和定理 B．勾股定理
C．三角形全等判定 D．等腰三角形判定
9．如图，在中，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边于点E，交边于点F，则的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
10．如图，在水平直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别为，，，，则（ ）
A．5 B．6 C．4 D．8
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．在中，，，则 ．
12．如图，在 ABC中，，，，在上截取；在上截取，则 ．
13．如图，在3×3的网格上标出了和，则 ．
14．某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为120元，则购买地毯需花费 元．
15．如图，在中，，，分别以为直径作半圆，面积分别记为，则 ．
16．如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离为，摆至最高位置时与最低位置时的高度之差为，则该秋千的绳长为 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．在中，，三条边长如图所示，求的值．
18．为了求出湖两岸，两点之间的距离，观测者小林在点设桩，使 ABC恰好为直角三角形，如图所示，通过测量得长为，长为，请求出图中、两点之间的距离．
19．如图，在中，，垂足为．
(1)若，，直接写出的值为 ；
(2)若，，求的长
20．如图，一架长米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙米．
(1)此时梯子顶端A离地面多少米？
(2)若梯子顶端A下滑米到C，那么梯子底端B将向左滑动多少米到D？
21．如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度运动，设运动的时间为（）．
(1)求边的长；
(2)当为直角三角形时，求t的值．
22．八年级开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是：
①先裁下了一张长，宽的长方形纸片；
②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处．
请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长．
23．阅读与理解阅读下面材料，在理解的基础上解决下列问题．
勾股数，也称为毕达哥拉斯数，是指满足勾股定理的三个正整数a，b，c．其中a和b是直角三角形的两条直角边长，c是斜边长． 勾股数可以通过以下公式生成：，，，其中m和n都是正整数，且． 例如，当，时，，，．因此，是一组勾股数．
(1)使用勾股数生成公式，当，时，求对应的勾股数．
(2)若小明通过材料中的勾股数生成公式得到勾股数，请你计算他代入的正整数m和的值．
24．【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程．
【变式探究】
（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．-
【拓展应用】
（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算）
25．我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：．
(1)请你将数学家赵爽的说理过程补充完整：
已知：在中，，，，．求证：．
证明：由图1可知，
，______，
正方形边长为______，
，
即．
(2)如图2，在 ABC中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E．你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明；
(3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到如图3所示的“数学风车”． 若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积．
参考答案
一、选择题
1．B
【分析】本题考查勾股数，熟知勾股数的定义是正确解答此题的关键．
根据勾股数的定义，三个正整数满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，即为勾股数．逐一验证各选项即可．
【详解】解：A．，而 ，故不是勾股数，不符合题意；
B．，而 ，故是勾股数，符合题意；
C．，均非正整数，故不是勾股数，不符合题意；
D． ，而 ，故不是勾股数，不符合题意．
故选：B．
2．D
【分析】本题考查了勾股定理的几何应用，熟知勾股定理是解题的关键．
根据题意，得出，再根据勾股定理，得出，再结合正方形的面积，得出，进而即可得出答案．
【详解】解：如图，
由题意得，
，
四边形都是正方形，
，，，
正方形A、B的面积分别为25和9，
，，
，
正方形C的面积为：
故选：D．
3．D
【分析】本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键有两点：①利用勾股定理求出，②利用面积表达式求解．
【详解】解：在中，，过点作的垂线交于点，
即为点到的距离，
，，，
．
故选：D．
4．B
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形的内角和定理，熟练应用勾股定理逆定理是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理逐项分析判断即可解答．
【详解】解：A．由，设，则，即，能判定 ABC不是直角三角形，不合题意；
B．由可得，能判定 ABC是直角三角形，符合题意；
C．由可得，不能判定 ABC是直角三角形，不合题意；
D．由可得，不能判定 ABC是直角三角形，不合题意．
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了勾股定理，设直角三角形的三边长为，为斜边，利用勾股定理可得，据此解答即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
【详解】解：设直角三角形的三边长为，为斜边，
由勾股定理得，，
∵一个直角三角形的三边长的平方和为，
∴，
∴，
∴，
∴，
即斜边长为，
故选：．
6．C
【分析】本题考查了勾股定理，根据，且结合勾股定理列式代入数值计算，即可作答．
【详解】解：依题意，
则
∴
∴这棵树在折断前的高度是，
故选：C
7．C
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键．由题意可知：竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，然后运用勾股定理列方程即可．
【详解】解：设门对角线长为x尺，则竿的长度为x尺，门宽为尺，高为尺，
根据勾股定理可得：．
故选：C．
8．B
【分析】本题考查了勾股定理的证明．根据“弦图”说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理即可得出．
【详解】解：“弦图”说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理．
故选：B．
9．D
【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由题意得出，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：点D为的中点，
，
由折叠的性质可得，
设，则，
由勾股定理得，
，
解得：，
，
故选：D．
10．C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理和正方形的性质等知识点，先根据正方形的性质得到，，，再根据等角的余角相等得到，则可根据“”判断，于是有，然后利用勾股定理得到，代换后有，根据正方形的面积公式得到，，，所以，利用同样方法可得到，通过计算可得解，解答此题的关键是注意发现两个小正方形的面积和正好是中间的正方形的面积．
【详解】解：如图，
∵四边形为正方形，
∴∠ABD=90°，，
∴，
∵，
∴，
在 ABC和 BDE中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
同理可得，
∴，
故选：C．
二、填空题
11．
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握该知识点是解题关键．根据的度数确定为直角三角形，且为斜边，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：中，，
为直角三角形，且为斜边．
，
．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
由勾股定理求出，由题意知：，再根据求出，最后根据即可得解．
【详解】解：在中，，
由题意知：，
，
，
故答案为：．
13．
【分析】通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质将、转化为、，再通过计算三角形边长，判断三角形形状，进而求出的度数 ．本题主要考查了平行线的性质、勾股定理及其逆定理，熟练掌握平行线性质实现角的转化，运用勾股定理及其逆定理判断三角形形状是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
设每个小正方形的边长为a，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，即 ．
故答案为：．
14．8160
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先利用勾股定理求出台阶最上面和最下面的水平距离，再求出需要铺设的地毯面积即可得到答案．
【详解】解：由题意得，台阶最上面和最下面的水平距离为，
∴购买地毯需花费元，
故答案为：8160．
15．
【分析】本题主要查了勾股定理．根据勾股定理可得，再由，即可求解．
【详解】解：在中，，，
∴，
∴．
故答案为：
16．
【分析】本题考查了勾股定理的运用，理解图示，掌握勾股定理的计算是关键．
根据题意可证，，，设，则，在中，由勾股定理得，由此列式求解即可．
【详解】解：根据题意，，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
∴，整理得，，
解得，，
∴，
故答案为： ．
三、解答题
17．解：由勾股定理得
解得
∴的值为5．
18．解：由题意得，，，，
在中，．
答：点到点的距离为．
19．（1）解：在中，∵，，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴；
故答案为：；
（2）解：，，
，
，
，
在中，，
即，
在中，，
即，
在中，，
即，
解得．
20．（1）解：由题意得，在中，米，米，，
∴米，
∴梯子顶端A离地面米；
（2）解：在中，米，米，，
∴米，
∴米，
∴梯子底端B将向左滑动米到D．
21．（1）解：在中，
∴边的长为．
（2）解：由题意知，
①当为直角时，如图1，
点P与点C重合，，
即；
②当为直角时，如图2，，，．
在中，，
在中，，
即，解得．
综上所述，当为直角三角形时，或．
22．解：∵长方形，
∴，，
由折叠的性质可知，， ，
由勾股定理得，，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴，
∴．
23．（1）解：当，时，代入勾股数生成公式，
得，，．
对应的勾股数是．
（2）解：根据题意得，，．
．
又，m，n都是正整数，
，或，．
当，时，，不符合题意；
当，时，，，符合题意．
∴，．
24．解：（1）由题意得，
故答案为：；
（2）将圆柱体展开，由题意得
，
故答案为：；
（3）如图，
从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点，
，,
，
，
，
蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是．
25．（1）证明：由图可知，
，，
正方形边长为，
，
即．
故答案为：，；
（2）解： ∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又， ，
∴.
∴；
由题意，第一种方法：
；
第二种方法：
，
，
，
；
（3）由题意，如图，
∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，
，
设则，
在中，
，
将代入可得，
，
，
∴小正方形的边长等于，
∴风车的面积为：

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