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第2章《实数》单元测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，在数轴上手掌处表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法中正确的有（ ）
A．4的平方根是 B．的算术平方根是
C．负数没有立方根 D．带根号的数都是无理数
3．若是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列各根式中，是同类二次根式的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
6．有下列实数：，，，0，，，0.31（31循环），0.1010010001…（每两个1之间多一个0），其中无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是64，则输出的的值是（ ）
A． B． C．2 D．3
9．规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则a的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
10．用表示不超过的最大整数，例如：．已知，，则（　　）
A．4 B．2 C．-4 D．2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．比较大小： ．
12．若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ．
13．如图，正方形的面积为，点表示的数为，以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于，两点（点在点的左侧），则点表示的数为 ．
14．如图，从一个大正方形中裁去两个面积分别为和的小正方形，已知，则留下的阴影部分的面积为 ．
15．有三根长度分别为的木棒，已知为整数，若这三根木棒能围成三角形，则的值为 ．
16．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”．若是“完美实数”，则 ；若与都是“完美实数”，则的平方根为 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．计算：
(1)； (2)
18．（1）计算： （2）解方程：．
19．把下列各数填入相应的集合内（填序号）．
①，②，③，④，⑤，⑤0，⑦，⑧（每相邻两个1之间0的个数逐次加．
(1)无理数集合{ …}；
(2)分数集合{ …}；
(3)负实数集合{ …}．
20．已知：且的立方根是它本身，的算术平方根是3．
(1)直接写出： ， ；
(2)求的平方根；
(3)若的整数部分是，小数部分是，求的值．
21．请观察图形并分析下列各式，然后解答问题．

……
(1)请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律： ， ；
(2)若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？
(3)求出的值．
22．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫作奇异三角形．例如，某三角形的三边长分别是2，和，因为，所以这个三角形是奇异三角形．
(1)若 ABC的三边长分别是3，5和，判断此三角形是不是奇异三角形，说明理由．
(2)若 ABC是奇异三角形，且其中有两条边长分别为3、4，求出第三条边长．
23．我们知道，因此，像这样通过分子、分母同乘一个式子，把无理数的分母化成有理数的变形叫做分母有理化．请你通过分母有理化完成以上各小题．
(1)计算：；
(2)比较：与的大小；
(3)化简：．
24．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：______；
(2)写出第个等式：______；（用含的等式表示）
(3)根据上面的结论计算：
25．定义：若二次根式可以表式成的形式（其中，，，都是整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根．
(1)判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由；
(2)若完整根式的完整平方根是，请用含，的代数式分别表示，；
(3)若是完整根式，证明：一定是完全平方数．
参考答案
一、选择题
1．B
【分析】本题考查实数与数轴的对应关系以及无理数的估算，解题的关键是估算出各选项中无理数的取值范围，并结合数轴判断．
先估算出每个选项中数的大致范围，再根据数轴上手掌遮挡点的位置判断该点表示的数的范围，最后对比得出答案．
【详解】解：根据题意得：在数轴上手掌处表示的数大于和小于，
∵，
∴，故C，D选项不符合题意；
∴，故A选项不符合题意；B选项符合题意；
故选：B．
2．A
【分析】本题考查平方根，立方根和无理数，根据平方根、算术平方根、立方根及无理数的定义逐一判断各选项的正误即可．
【详解】A、 4的平方根是，正确；
B、的算术平方根是3，错误；
C、负数也有立方根，负数的立方根仍为负数，如的立方根是，错误，
D、带根号的数都是无理数，错误，例如为有理数，故带根号的数不一定是无理数．
故选：A．
3．D
【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．要使为整数，需满足是完全平方数，由，即可确定n的最小值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵是整数，且n是整数，
则是完全平方数，
∴n的最小值为：6．
故选：D．
4．D
【分析】本题考查了二次根式的运算
根据二次根式的乘法法则对A选项进行判断；根据二次根式的减法运算对B选项进行判断；根据二次根式的性质对C选项进行判断；根据二次根式的除法法则对D选项进行判断．
【详解】解：A.，所以A选项不符合题意；
B.，所以B选项不符合题意；
C.，所以C选项不符合题意；
D. ，所以D选项符合题意；
故选：D
5．B
【分析】本题考查同类二次根式的概念，判断同类二次根式需化简为最简二次根式后比较被开方数，对各选项逐一判断即可．
【详解】A、 已是最简，，所以A选项不是同类二次根式；
B、 已是最简，，化简后被开方数均为2，所以B选项是同类二次根式；
C、，，被开方数分别为和，所以C选项不是同类二次根式；
D、 和 被开方数不同，所以D选项不是同类二次根式；
故选： B．
6．C
【分析】本题考查了无理数的定义，立方根，解题的关键是熟练掌握无理数的定义．
首先计算立方根，然后根据无理数的定义，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】，
∴其中无理数有，，0.1010010001…（每两个1之间多一个0），共3个．
故选：C．
7．A
【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质．先判断，然后根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：∵
∴
∴
．
故选A．
8．A
【分析】本题考查了无理数、算术平方根、立方根及计算程序的应用，正确理解计算程序图的计算步骤，会正确计算数的算术平方根及立方根，能正确判断有理数及无理数是解题的关键．根据题意，利用算术平方根及立方根的定义计算，直至结果为无理数即可，理解题干中的运算程序并进行正确的计算是解题的关键．
【详解】解：的算术平方根是，
∵是有理数，
∴取立方根为，
∵是有理数，
∴取算术平方根为，
∵是无理数，
∴．
故选：A．
9．D
【分析】本题考查算术平方根及立方根，根据“最美实数”的定义，可知或，求出a的值即可．
【详解】解：若是“最美实数”，
则有或，
若，解得，
若，解得，
综上，a的值为或，
故选：D．
10．A
【分析】本题考查新定义、无理数的估算，二次根式的混合运算，先估算出，根据题中新定义规定可求得和，进而求出的值，然后代入计算可得答案．
【详解】解：∵，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故选：A．
二、填空题
11．>
【分析】本题考查了实数的大小比较，利用作差法比较实数的大小是解题的关键．利用作差法比较实数的大小即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
故答案为：>．
12．2
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，同类二次根式的被开方数相等，据此列出方程求解．
【详解】解：与最简二次根式是同类二次根式，
，
解得，
故答案为：2．
13．
【分析】根据正方形的面积公式求出，从而求出，设点表示的数为，然后根据两点间的距离公式列出关于的方程，解方程求出即可．
本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式．
【详解】解：由题意可知：，
正方形的面积为，
，
设点表示的数为，
，
解得：，
点表示的数为：，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了平方差公式的应用，二次根式的运算，由图可知阴影部分是两个长为，宽为的长方形，利用平方差公式求出的值即可求解，正确识图是解题的关键．
【详解】解：由图可知，阴影部分是两个长为，宽为的长方形，
∴阴影部分的面积，
故答案为：．
15．2
【分析】本题主要考查了实数的运算，无理数的估算，三角形三边关系的应用，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此可得，再证明即可得到答案．
【详解】解：由三角形的三边关系可知，，即．
∵，
∴，
，且，
∴，
∴，
为整数，
的值为2，
故答案为：2．
16． 或 0或
【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根的计算，掌握其计算方法是关键．
根据算术平方根，立方根的计算方法求解即可．
【详解】解：一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”，
∵的算术平方根是，的立方根是，
∴这个实数可以是，
∴当时，，
当时，，
∴或；
若与都是“完美实数”，
∴或或或，
解得，或或或，
∴对应的或或或，
∴对应的平方根为或或或，
综上所述，的平方根为或；
故答案为：①或；② 或．
解答题
17．（1）解：
；
（2）解：
18．解：（1）原式
．
（2），
，
，
，
或，
或．
19．（1）解：，
无理数集合{②③⑦⑧}；
（2）解：分数集合{①④}；
（3）解：负实数集合{①②⑤⑦}．
20．（1）解：∵且的立方根是它本身，
，
∵的算术平方根是3，
∴，
，
故答案为：1，3．
（2），
，
的平方根为．
（3），
，
，
，
的整数部分为1，小数部分为，
，
则的值为．
21．（1）解：根据题中反映的规律可得：，
则；
故答案为：n；；
（2）解：，一个三角形的面积是，
，
∴，
故它是第32个三角形；
（3）解：=
．
22．（1）解：此三角形是奇异三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴此三角形是奇异三角形；
（2）解：设第三边为x，
当边长为4的边是最长边时，
∵ ABC是奇异三角形，
∴或，
解得或（舍去）；或（舍去）；
当边长为x的边是最长边时，
∵ ABC是奇异三角形，
∴，
解得或（舍去）；
综上所述，第三边的长为或或．
23．（1）解：；
（2）解：
∴；
（3）解：
．
24．（1）解：根据题意，可得；
故答案为：；
（2）根据题意，可得第个等式：；
故答案为：；
（3）原式
．
25．（1）解：（1）是的完整平方根，
理由如下：
即．
∴是的完整平方根．
（2）∵的完整平方根是，
∴．
∴．
∵，，，都是整数，
∴，．
（3）∵是完整根式，
∴不妨设，其中，都是整数．
由（2）得，，．
∴．
∵，都是整数，
∴为完全平方数．
∴一定是完全平方数．

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