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第四章《一次函数》单元测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是一次函数的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2 E．1
2．下列各图给出了与自变量之间的对应关系，其中能表示是的函数的是（ ）
A．②④ B．①③ C．①④ D．③④
3．一次函数与的图象在轴上相交于同一点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，一个长方形菜园，其中一边为足够长的墙，另外三边用一根长的篱笆围成（接口处忽略不计）．设边的长为，边的长为，则与的关系式为（ ）
A． B． C． D．
5．若点都在函数（k为常数）的图象上，则m和n的大小关系（ ）
A． B． C． D．不能确定
6．如图，在平面直角坐标系中，把直线沿轴向下平移后得到直线，如果点是直线上的一点，且，那么直线的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
7．关于函数，给出下列结论：
①当时，此函数是一次函数；
②无论k取什么值，函数图象必经过点；
③若图象经过二、三、四象限，则k的取值范围是；
④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
8．如图，直线与x轴、y轴交于A，B两点，在y轴上有一点，动点M从A点出发以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．当移动到与全等时，移动的时间t是（ ）
A．2秒 B．4秒 C．2秒或4秒 D．2秒或6秒
9．如图①，在长方形中，动点P从点A出发，匀速沿的路径运动，到点A处停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的关系如图②所示，那么长方形的面积是（ ）

A．12 B．14 C．24 D．28
10．小强将一长方体石块从玻璃器皿的上方向下缓慢移动浸入水里做浮力实验，如图①，在此过程中拉力与石块下降的高度之间的关系如图②（提示：当石块位于水面上方时，当石块入水后，），则以下说法正确的是（ ）
A．当石块下降时，石块在水里
B．当时，与之间的函数关系式为
C．石块下降时，石块所受的浮力是
D．当弹簧测力计的示数为时，石块距离水底
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．在正比例函数图象上，则 ．
12．表示一次函数，则m等于 ．
13．一棵小树苗高15厘米，如果以后每年长高10厘米，则高度（厘米）与生长时间（年）之间的关系式为 ．
14．如图，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，若，，则关于x的方程的解为 ．
15．在同一平面直角坐标系中，正比例函数和的图象如图所示，则的大小关系是 ．（用“”连接）
16．在平面直角坐标系中，已知点，点，点在直线上第一象限内的一个动点，当 ABC为等腰三角形时，则点的坐标可以是 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．已知与成正比例，当时，．
(1)求与之间的函数表达式；
(2)试判断点是否在该函数的图像上．
18．已知：一次函数的图象与直线平行，且通过点．
(1)求一次函数的解析式．
(2)若点和在一次函数的图象上，求m，n的值．
19．如图，在三角形中，为边上的高，，，P为线段上一动点（不与点B，C重合）．连接，随着长度的变化，三角形的面积也在变化．
(1)若设，三角形的面积为y，请写出y与x之间的表达式．
(2)当时，求三角形的面积．
20．如图，直线分别与轴、轴相交于点和点，直线与直线相交于点，与轴相交于点，已知点的纵坐标为3．
(1)求直线对应的函数表达式；
(2)求的面积．
21．一辆货车和一辆轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一条公路相向而行，匀速驶向各自的目的地乙地和甲地．行驶了一段时间，轿车出现故障停下维修，货车遇到轿车后立即停下帮助维修，故障排除后，两车立即以各自原速度继续行驶．两车之间的距离和货车行驶时间之间的函数图象如图①所示．
(1)货车的速度为________ ，轿车的速度为________ ；
(2)求线段表达式；
(3)在图②中，画出货车离乙地的距离和行驶时间之间的函数图象．
22．某商业集团准备购进A，两款口袋打印机在甲、乙两个商场进行销售，这两款口袋打印机每台的利润如表：
打印机 利润 商场 甲商场 乙商场
A款（元/台） 95 60
款（元/台） 70 45
为迎接双十二，该商业集团新进了40台A款，60台款调配给甲，乙两个商场，其中70台给甲商场，30台给乙商场．
(1)设该集团调配给甲商场A款台，求总利润与的函数关系式．
(2)①若这100台口袋打印机全部销售出去，如何调配才能让商业集团的利润最大，并求出利润的最大值．
②为了促销，该商业集团决定对甲商场的A款，款每台分别让利元和元（），其他销售利润不变，当天结算时发现销售总利润与调配方案无关．当总利润最大时，求此时的值．
23．浮箭漏（如图①）由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．研究小组每记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到如表：
供水时间 0 2 4 6 8
箭尺读数 6 18 30 42 54
(1)如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，描出以表格中数据为坐标的各点，并连线；
(2)观察描出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的______函数，请结合表格数据，求出该函数解析式；
(3)应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午那么当箭尺读数为时是几点？
24．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且经过定点，直线与交于点．
(1)填空：______，______，______；
(2)求的面积；
(3)若动点在射线上从点开始以每秒1个单位长度的速度运动，连接，设点的运动时间为秒，是否存在的值，使和的面积比为？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
25．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在y轴正半轴上，把沿折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点D处．直线交直线于点M．点P是y轴正半轴上的一动点，点Q是直线上的一动点．
(1)填空：点A，B，C坐标分别为A_______，B_______，C______．
(2)求的面积，
(3)连接．与 BPQ全等（点P与点C不重合），直接写出所有满足条件的点Q坐标．
参考答案
一、选择题
1．C
【分析】本题考查一次函数定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数的定义（形如，），逐一判断即可．
【详解】解：①可化为，符合一次函数定义；
②不符合一次函数定义；
③可化为，符合一次函数定义；
④化简为（），定义域不全为实数，不符合一次函数定义；
⑤展开化简为，符合一次函数定义；
⑥不符合一次函数定义．
综上，①、③、⑤符合条件，共3个，选C．
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了函数的概念，函数图象的识别，根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，即可解答．
【详解】解：①对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故①符合题意；
②对于自变量的每一个值，因变量不是都有唯一的值与它对应，所以不是的函数，故②不符合题意；
③对于自变量的每一个值，因变量不是都有唯一的值与它对应，所以不是的函数，故③不符合题意；
④对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故④符合题意；
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了一次函数的性质，由得，当时，，由得，当时，，又一次函数与的图象在轴上相交于同一点，则有，然后化简即可，掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：由得，当时，，
由得，当时，，
∵一次函数与的图象在轴上相交于同一点，
∴，
∴，
故选：．
4．B
【分析】本题主要考查了求函数解析式，解题的关键是理解题意，熟练掌握矩形周长公式．
根据矩形周长公式写出y与x之间的函数关系式即可．
【详解】解：∵三边总长恰好为，
设边的长为，边的长为，
．
故答案为：B．
5．A
【分析】本题考查了一次函数的性质以及偶次方的非负性，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．利用偶次方的非负性可得出，进而可得出，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，再结合，即可得出．
【详解】解：，
，
，
随的增大而减小．
又点，都在函数为常数）的图象上，且，
．
故选：A．
6．B
【分析】本题考查了一次函数图象的平移，直线平移时的值不变，只有的值发生变化．由直线平移时值不变，设直线的函数表达式为，再将代入，得到，结合已知条件，求出的值，即可得答案．
【详解】解：∵直线沿轴向下平移后得到直线，
∴设直线的函数表达式为，
∵点是直线上的一点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴直线的函数表达式为．
故选：B．
7．D
【分析】本题考查根据交点坐标确定解析式字母系数的取值及分类讨论思想的运用，①根据一次函数定义即可求解；②根据即可求解；③图象经过二、三、四象限，则，，即可求解；④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则，即可求解．
【详解】解：①根据一次函数定义：函数为一次函数，故正确；
②，
当时，，
故函数过，故正确；
③图象经过二、三、四象限，则，，解得：，故正确；
④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则，解得：，故正确．
故选：D．
8．D
【分析】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定与性质；由直线的函数解析式，令求A点坐标，求 B点坐标，根据题意可知，，分为两种情况：①当M在上时，②当M在的延长线上时，再结合全等三角形性质计算即可．
【详解】解：∵直线与x轴、y轴交于A，B两点，
∴当时，；
当时，，
∴，
∴，
∴必有，
分为两种情况：
①当M在上时，，
∴，
动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动2个单位，所需要的时间是2秒钟； ∴，
②当M在的延长线上时，，
则，
此时所需要的时间秒，
故选：D．
9．D
【分析】本题考查动点的函数图象，当点P从A运动到B时，y随x的增大而增大，从B运动到C时，y保持不变，观察图象的横坐标得出长方形的长和宽，即可求出面积．
【详解】解：由图可知，，，
长方形的面积是，
故选：D．
10．D
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象待定系数法求得线段的解析式，进而逐项分析判断即可求解．求得函数解析式，数形结合是解题的关键．
【详解】解：A、由题图可知，石块下降到时，石块正好接触水面，故选项A说法错误，不符合题意；
B．当时，设所在直线的函数表达式为：，
则，
解得，
∴，故选项B说法错误，不符合题意；
C．当石块下降的高度为时，即时，，
此时石块所受浮力是，故选项C说法错误，不符合题意；
D．当弹簧测力计的示数为时，，
解得，
石块距离水底的距离为，故选项D说法正确，符合题意；
故选：D．
二、填空题
11．
【分析】本题重点考查正比例函数图象上点的坐标特征，牢记正比例函数中比例系数为定值，并利用坐标代入求比值是解题的关键．
将代入，再求比值即可．
【详解】因为在正比例函数图象上，
所以，
所以，
故答案为：．
12．
【分析】此题考查了一次函数的定义：形如的函数是一次函数，熟记定义是解题的关键．
根据一次函数的定义解答．
【详解】解：∵表示一次函数，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了列函数关系式，正确理解题意是解题的关键．
先计算生长时间为x年时小树苗长高的高度，再将长高的高度与初始高度相加，即可得到高度h与生长时间x之间的关系式．
【详解】解：由题意得高度（厘米）与生长时间（年）之间的关系式为：，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，方程的解就是一次函数图象与x轴的交点的横坐标是解题的关键．
利用函数图象，函数值为0，则于x的方程的解为．
【详解】解：∵一次函数的图象与x轴相交于点，
∴关于x的方程的解为．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查正比例函数图象与性质，掌握正比例函数的性质是解题的关键．首先根据直线经过的象限判断的符号，再根据直线的平缓趋势判断的绝对值的大小，最后判断三个系数的大小．
【详解】解：由直线经过的象限知：，
∵根据直线越陡，越大，
，
∴，
故答案为：．
16．、或
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理求得两点距离，设，，根据两点距离公式分别求得，进而根据等腰三角形的定义，分类讨论，即可求解．
【详解】解：如图
∵点，点，
∴
∵点在直线上第一象限内的一个动点，
设，
∴
①当时，
解得：，
∴点的坐标，
②当时，
解得：（负值舍去），
∴点的坐标，
③当时，
解得：（负值舍去），
∴点的坐标，
综上所述，点的坐标为、或
故答案为：、或．
解答题
17．（1）解：设与的函数表达式为：，
把代入得：，
解得：，
，即，
与的函数解析式为：；
（2）解：点不在函数的图像上，理由如下：
令，则，
∵10≠4，
点不在该函数的图像上．
18．（1）解：∵一次函数的图象与直线平行，
设所求一次函数解析式为：，
将点代入，得，
解得，
∴一次函数解析式为：；
（2）解：将点和代入中，
得：；，
故，．
19．（1）解：∵在三角形中，为边上的高，
∴三角形的面积为，
即．
（2）解：∵，
∴将代入y与x之间的表达式中，得．
故当时，三角形的面积为12．
20．（1）解：∵直线分别与轴，轴相交于点和点，
∴，解得：，
∴直线的解析式为：．
∵点P的纵坐标为3，且直线经过P点，
∴，
解得：，
∴，
将代入，可得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
（2）解：∵直线的解析式为：，
当时，，
∴点C的坐标为,
∴,
∴的面积为：．
21．（1）解：由图象可知，货车的速度为，
轿车的速度为；
（2）解：根据题意知，轿车出现故障时行驶了，
轿车修好后到达甲地所需时间为，
，
，
货车2小时行驶的路程为，
，
，
设线段的函数表达式为，
把，坐标代入解析式得：，
解得，
线段的函数表达式为；
（3）解：由题意得，货车到达乙地的时间为，
时，，
时，，
货车离乙地的距离和行驶时间之间的函数．
图象如图②：
22．（1）解：设该集团调配给甲商场A款x台，根据题意得，
，
即，
，
∴，
∴；
（2）解：①∵，
∴y随x的增大而增大，
∴当时，y有最大值，其最大值为（元），
∴要使商业集团的利润最大，这100台打印机的调配方案为：甲商场A款40台，B款30台，乙商场A款0台，B款30台；
②
∵销售总利润与调配方案无关，
∴，，
∵，
∴当时，y的值最大，
∴，
∴．
23．（1）解：如图：
（2）解：根据图象可得它是一次函数，
设解析式为，
当，
则有：，
解得：，
∴解析式为：，
故答案为：一次，函数解析式为．
（3）解：当时，即，
解得：，
即经过，箭尺读数为，
∵本次实验记录的开始时间是上午，
∴当箭尺读数为时是．
24．（1）解：直线经过定点，
，
，
直线，
直线经过点，
，
，
把代入，得：，
解得：，
故答案为：；4；2；
（2）解：∵直线与轴交于点，
∴令时，则，
∴，
∴，
∵直线与轴交于点，
∴令时，则，
∴，
∴，
∴
∵
∴，
∴的面积为；
（3）解：存在，
动点在射线上从点开始以每秒1个单位的速度运动，直线，
，
，
，
点的运动时间为秒，
，
分两种情况：点在线段上，
和的面积比为，
，
，
，
；
点在线段的延长线上，
和的面积比为，
，
，
，
，
综上：存在的值，使和的面积比为，的值为或．
25．（1）解：在中，当时，，即，
当时，，解得，即，
∴，，
∴，
设，则，
由折叠的性质可得，，
∴，
由勾股定理可得：，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：设直线的表达式为，
由（1）可得：，，
代入表达式可得，
解得，
∴直线的表达式为，
联立，解得，
∴，
∴；
（3）解：由（1）（2）可得：，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴为直角三角形，且，
∵与 BPQ全等（点P与点C不重合），
∴当点在的延长线上时，当时，过点作轴，过点作轴，如图：
，
∵，
∴，
把代入可得，，
此时；
当点在的延长线上时，当时，过点作轴，如图：
，
由题意可得：，，
∴，
∵，
∴，
把代入可得，，
此时；
当点在上时，
∵点与点不重合，
∴不存在；
当点在上时，当，如图：
，
∵，
∴，
∴把代入可得，，
此时；
综上所述，所有满足条件的点Q坐标为或或．

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