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望城二中高三10月月考数学试卷
本试卷共4页.全卷满分120分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题
1.已知集合，则( )
A． B． C． D．
2.已知为虚数单位，则( )
A． B． C． D．
3.已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
4.已知，则( )
A． B． C． D．
5.已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开图是圆心角为的扇环，则该圆台的体积为( )
A． B． C． D．
6.已知函数，则不等式的解集为( )
A． B．
C． D．
7.若函数至少存在一个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8.已知函数，若，且，则的最小值为( )
A． B． C． D．
二、多选题
9.如图，已知正方体中，分别为棱、的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．四点共面 B．与异面
C． D．RS与所成角为
10.已知函数，则下列结论正确的是( )
A． ，使得
B． 函数的图象是一个中心对称图形
C． 曲线有且只有一条斜率为的切线
D． 存在实数，，使得函数的定义域，值域为
11.已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论错误的是（ ）
A．的最小值为2
B．抛物线C关于x轴对称
C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条
D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4
三、填空题
12.如图,在平面直角坐标系 中, 为椭圆 的四个顶点, 为其右焦点,直线 与直线 相交于点 ,线段 与椭圆的交点 恰为线段 的中点,则该椭圆的离心率为__________.
13.已知抛物线的准线为，点在上，直线，点到直线的距离与到直线的距离之和的最小值是_________.
14.函数在处取得极大值，则实数的取值范围为 ．
四、解答题
15.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．
（1）求角A；
（2）点M在线段上，且满足．若，求的面积．
16.已知双曲线实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线C交于另一点，已知的面积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过点的直线与双曲线C交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由．
17.如图，在四棱锥中，侧棱长均为，四边形是矩形，.
（1）证明：平面平面.
（2）求二面角的正弦值.
18.已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若函数的图象与轴相切于原点.
(i)求的解析式，并证明：对任意的，恒成立;
(ii)若在上有唯一实根，求实数的取值范围.
19..已知数列是公差不为零的等差数列，且，，成等差数列，，，（）成等比数列，．
(1)求的值及的通项公式；
(2)令，，求证：．
第2页，共2页望城二中高三10月月考数学试卷
题号 一 二 三 四 总分
得分
一、单选题
1.已知集合，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，所以，故选C.
2.已知为虚数单位，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以.
故选：B.
3.已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
【答案】B
【解析】`
由，且与的夹角为，
所以
.
故选：B.
4.已知，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意结合诱导公式得，
由二倍角的余弦公式得，故B正确.
故选：B
5.已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开图是圆心角为的扇环，则该圆台的体积为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得圆台的上、下底面半径分别为1和2，
因为圆台的侧面展开图是圆心角为的扇环，
所以圆台的母线长度为，
设圆台的高为，由勾股定理得，
由圆台的体积公式得体积为，故A正确.
故选：A
6.已知函数，则不等式的解集为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】易知函数定义域为，
又，故为偶函数，
当时，，所以，
令，结合对勾函数在单调递增，在单调递增，
由复合函数的单调性可知：在上单调递增，
又在上单调递增，
故在上单调递增，
易知在上单调递增，
结合函数为偶函数，
所以由可得，
平方得：，
解得或，
所以不等式的解集为，
故选：D
7.若函数至少存在一个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数至少存在一个零点
所以有解
即有解
令，
则
因为，且由图象可知，所以
所以在上单调递减，令得
当时，单调递增
当时，单调递减
所以
且当时
所以的取值范围为函数的值域，即
故选：A
8.已知函数，若，且，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，定义域为 ，关于原点对称，
且 ，故 为奇函数；
则 ，
，故
；
因为为增函数，故 ，即 ，
，故与同号，显然它们都是正数
；
当且仅当 ，即时等号成立；
故选： D.
二、多选题
9.如图，已知正方体中，分别为棱、的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．四点共面 B．与异面
C． D．RS与所成角为
【答案】AC
【解析】以D为坐标原点，分别以所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系：
设正方体的棱长为2，
则，
因为分别为棱、的中点，
所以，
对于A，因为，所以，
所以，所以四点共面，正确；
对于B，因为，所以，
所以，且，所以四边形为平行四边形，
所以，错误；
对于C，因为，所以，
所以，即，正确；
对于D，因为，
所以，，
所以，
设RS与所成角为，，则，所以，
即与所成角为，错误.
故选：AC。
10.已知函数，则下列结论正确的是( )
A． ，使得
B． 函数的图象是一个中心对称图形
C． 曲线有且只有一条斜率为的切线
D． 存在实数，，使得函数的定义域，值域为
【答案】ABD
【解析】因为，
当，所以，可得，且，所以，使得，A选项正确；
，所以函数的一个中心对称为，B选项正确；
，又因为，所以，所以函数没有斜率为的切线，C选项错误；
令，，所以，
有两个交点，所以存在实数，，使得函数的定义域，值域为，D选项正确；
故选：ABD.
11.已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论错误的是（ ）
A．的最小值为2
B．抛物线C关于x轴对称
C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条
D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4
【答案】AB
【解析】设，则，，又抛物线的焦点为，
对A，由题可知，时，等号成立，所以的最小值是1，A错；
对B，抛物线的焦点在轴上，抛物线关于轴对称，B错；
对C，由题知点在抛物线的内部（含有焦点的部分），因此过与对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，其他直线与抛物线都有两个公共点，C正确；
对D，记抛物线的准线为，准线方程为，
过作于，过作于，则，，
所以当三点共线，即与重合时，最小，最小值为．D正确．
故选：AB．
三、填空题
12.如图,在平面直角坐标系 中, 为椭圆 的四个顶点, 为其右焦点,直线 与直线 相交于点 ,线段 与椭圆的交点 恰为线段 的中点,则该椭圆的离心率为__________.
【解析】直线 的方程为: ;
直线 的方程为: ,
二者联立解得: ,
则 在椭圆 上,
,
解得:
【分析】考查椭圆的基本性质, 如顶点、焦点坐标, 离心率的计算等. 以及直线的方程.
13.已知抛物线的准线为，点在上，直线，点到直线的距离与到直线的距离之和的最小值是_________.
【答案】3
【解析】由题意，抛物线的焦点为，
由抛物线的定义知，点到直线的距离等于点到点的距离，
因此点到直线的距离与到直线的距离之和的最小值，
即为点到直线的距离，即为.
14.函数在处取得极大值，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】f（x）的导数为f′（x）＝[ax2﹣（2a+1）x+2]ex＝（x﹣2）（ax﹣1）ex，
若a＝0则x＜2时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞2，f′（x）＜0，f（x）递减．
x＝2处f（x）取得极大值，满足题意；
若a，则f′（x）（x﹣2）2ex≥0，f（x）递增，无极值；
若a，则2，f（x）在（，2）递减；在（2，+∞），（﹣∞，）递增，
可得f（x）在x＝2处取得极小值；不满足题意．
当0＜a，则2，f（x）在（2，）递减；在（，+∞），（﹣∞，2）递增，
可得f（x）在x＝2处取得极大值，满足题意；
若a＜0，则x＜2时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞2，f′（x）＜0，f（x）递减．
x＝2处f（x）取得极大值，满足题意；综上可得，a的范围是：（﹣∞，）．
故答案为．
四、解答题
15.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．
（1）求角A；
（2）点M在线段上，且满足．若，求的面积．
【解析】（1）由正弦定理可得：，
∵，∴，，即，
∵，∴，．
（2）令，，则．
又，四边形为菱形，为的角平分线．
，，
，即，
由余弦定理可得：，
即：，解得：，
∴．
16.（2024云南等地·期末）已知双曲线实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线C交于另一点，已知的面积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过点的直线与双曲线C交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由．
【解析】（1）解：因为双曲线的离心率为，可得，则，
则，可得，则，，
因此，双曲线C的方程为.
（2）证明：若直线与轴重合，则点，为双曲线C实轴的端点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点，，
联立，可得，
则，可得，
由韦达定理可得，，
直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得
，解得.
因此，点在定直线上.
17.如图，在四棱锥中，侧棱长均为，四边形是矩形，.
（1）证明：平面平面.
（2）求二面角的正弦值.
【解析】（1）证明：连接交于点，记的中点分别为，连接.
在中，是的中点，所以.
因为平面，所以平面.
因为平面，所以.
在矩形中，.因为平面，所以平面.
因为平面，所以.
，同理得，所以，即.
因为平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）作，垂足为.以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，
所以，.
所以.
设是平面的法向量，
则即可取.
设是平面的法向量，
则即可取.
，
.
故二面角的正弦值为.
18.已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若函数的图象与轴相切于原点.
(i)求的解析式，并证明：对任意的，恒成立;
(ii)若在上有唯一实根，求实数的取值范围.
【解析】解：（1）由题
若，则恒成立，此时在R上单调递增，
若则令则，
当，则在上单调递减，
当则在上单调递增．
（2）（i）由题：则解得
故因为
易知在上单调递减，上单调递增，
所以即恒成立.
（ii）由即
令，
所以
记
故
所以
①当时，
1）当时，
在上单调递增，又，，
唯一实数，使得
2）当时，
由1），2），
又，
，有
且当，
又
存在唯一实数，使得，满足题意.
②当时，
法一：易证在上恒成立，
时，，
记，，
则，由（i）可知，，在，
，即恒成立，
在上不存在零点，不满足.
法二：时，，
取则
在，在，
即有
在上不存在零点，不满足.
综上所述：
19.已知数列是公差不为零的等差数列，且，，成等差数列，，，（）成等比数列，．
(1)求的值及的通项公式；
(2)令，，求证：．
【解析】（1）设的公差为，
∵，，成等差数列，∴，
即，
考虑到，化简得，即
∴，∵，，（）成等比数列，
∴，即，
即，解得．
∵，∴，解得．
∴，∵，解得，．
∴．
（2）由（1）可知，
当时，
所以
．
第2页，共2页

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