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1.4线段垂直平分线与角平分线课后培优提升训练苏科版2025—2026学年八年级数学上册
一、选择题
1．如图，，，是某景区临近的三座山的山顶，为了促进当地旅游发展，要在三个山顶组成的三角形平面内修建一个空中观景台．要使这个空中观景台到三个山顶的距离相等，应选择的位置是（ ）
A．各边垂直平分线的交点 B．中线的交点
C．高的交点 D．内角平分线的交点
2．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．的三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点
3．工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线便是角平分线．在证明时运用的判定定理是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，平分，，，于D，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ）
A．12 B．18 C．24 D．36
6．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为13，则的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．如图，点是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④．四个结论中成立的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③
8．如图，是中的角平分线，于点E，，则长是（ ）．
A．3 B．4 C．6 D．5
二、填空题
9．如图，点D、F分别为的边、的中点，，，的周长为16，，则 ．
10．如图，已知的面积是，分别平分和，于，且，则的周长 ．
11．如图，点为的角平分线上一点，过任作一直线分别与的两边交于、，为的中点，过作的垂线交于点，，则 ．
12．如图，是中的平分线，于点E，于点F，，，，则的长为 ．
三、解答题
13．如图，已知平分，于E，于F，且．求证：
(1)；
(2)若，，求的长．
14．如图，在中，．
(1)作的平分线交于点D（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，求的面积．
15．已知点是平分线上的一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，且，过点作，垂足为．
(1)如图，当点在线段上时，求证：；
(2)如图，当点在线段的延长线上时，探究线段，与之间的等量关系，并说明理由；
(3)如图，在（2）的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点，若，，求线段的长．
16．如图，已知在四边形中，平分．
求证：
(1)；
(2)．
17．如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于．求证：
(1)；
(2)若，，求长．
18．人教版八年级上册数学教材第页第题如下，如图的三角形纸片中,．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长．
解：∵是由折叠得到的，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴的周长为．
【知识应用】在中,，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P，连接．
（1）如图1，①若，求的面积；
②求证：平分．
【拓展应用】
（2）如图2，过点P作．若，直接写出的长．
参考答案
一、选择题
1．A
2．C
3．A
4．C
5．B
6．C
7．A
8．B
二、填空题
9．3
10．
11．
12．
三、解答题
13．【解】（1）证明：∵平分，于E，于F，
∴，，
∴在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，
则在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴，
14．【解】（1）解：即为的平分线，如图所示．
（2）解：如图，作于点H．
因为平分，
所以，
所以
．
15．【解】（1）证明：如图，过点作，垂足为，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴（）
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，过点作，垂足为，
∵平分，，，
∴，，
∵，
∴
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，在上截取，连接，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴（）
∴，，
∵是的平分线，是的平分线，
∴是的平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴．
16．【解】（1）证明∶如图，过C作，交的延长线于F点，
平分，
．
，，
，．
，
．
．
，
．
（2）证明∶已知，
．
，，
．
，，
．
．
，，
．
17．【解】（1）证明：如图，连接，
∵，D为中点，
∴，
∵，，
且平分，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．【解】（1）①由题可知，，
∴
．
②如图，过点P分别作边的垂线，垂足分别为点F，S，M，
由题可知，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平分．
（2）如图，过点P分别作边的垂线，垂足分别为点G，N，连接，
由题可知，，
∴，由②可知，
∴，
∵，
∴，
即，
解得．
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