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2025-2026学年河北省承德市双滦实验中学高二（上）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线l经过点，倾斜角是直线的倾斜角的，则直线l的方程为( )
A. B.
C. D.
2.直线：，：，若与只有一个公共点，则( )
A. B.
C. D.
3.过，两点的直线l的倾斜角为，则m的值为( )
A. 或2 B. 2 C. D.
4.若直线与圆相离，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.直线l的方程为，则圆C：上到直线l距离为1的点的个数为( )
A. 4 B. 2 C. 1 D. 3
6.已知圆E：，圆F：，则这两圆的位置关系为( )
A. 内含 B. 相切 C. 相交 D. 外离
7.当方程所表示的圆取得最大面积时，直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
8.已知直线：和：的交点为P，则点P到直线的距离的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.圆( )
A. 关于点对称 B. 关于直线对称
C. 关于直线对称 D. 关于直线对称
10.已知直线l过点，且直线l与圆C：相切，则直线l的方程可能是( )
A. B.
C. D.
11.对于直线：，：以下说法错误的有( )
A. 的充要条件是 B. 当时，
C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知的三个顶点分别是，，，则边AB上的中线所在直线方程为______.
13.已知与有且只有两条公切线，则实数m的取值范围是______.
14.已知的顶点，高CD所在直线方程为，的平分线BE所在直线方程为，则B点的坐标为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
已知圆C的方程为
求实数m的取值范围；
若圆C与直线l：交于M，N两点，且，求m的值.
16.本小题15分
已知圆C过两点，，圆心在直线上.
求圆C的方程；
若过点的直线与圆C交于点M，N两点，且，求直线的方程；
若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程.
17.本小题15分
已知圆C：，点，圆D与直线相切.
若圆C与圆D相交，求r的取值范围；
若圆C与圆D公共弦的长度为，求r的值.
18.本小题17分
已知两直线：，：
求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程；
已知两点，，
①判断直线与以A，B为直径的圆D的位置关系；
②动点P在直线运动，求的最小值.
19.本小题17分
已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线l：上.
求圆C的标准方程.
若直线PQ的端点P的坐标是，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为直线的倾斜角为，
又直线l的倾斜角是直线的倾斜角的，
所以直线l的方程为，即
故选：
先求出倾斜角，再根据点斜式方程即可求出其方程．
本题主要考查了直线的倾斜角与斜率关系的应用，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查直线的一般式方程，注意直线的一般式方程判定直线位置关系的方法，属于基础题.
根据题意，分析可得直线与相交，结合直线的方程分析可得，变形可得，即可得答案．
【解答】解：根据题意，若与只有一个公共点，即直线与相交，
又由：，：，
则有，即，
故选
3.【答案】B
【解析】解：由题知，直线l的斜率k存在，所以A点和B点的横坐标不一样，即，
又因为直线的倾斜角为，可得，
整理可得：，
解得或，
又，所以
故选：
根据斜率和倾斜角的关系，列出等式求解即可．
本题考查直线的斜率的求法，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：圆的圆心为，半径，
因为直线与圆C相离，
所以点C到直线的距离，解得，
结合，，可得
故选：
根据题意，圆心C到直线的距离大于半径，从而根据点到直线的距离公式列式算出答案．
本题主要考查圆的方程、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：由题意圆C：可化为，故圆心为，半径为3，
则圆心到直线的距离为，
又，故过点C作CD垂直l与圆C交于点D，在CD上取点M，使得，
过点M作，交圆C于点A，B，
所以圆C：上到直线l距离为1的点的个数为3，分别为A，B，D三点．
故选：
求出圆心和半径，得到到的距离为，从而得到到直线l距离为1的点的个数为
本题考查了直线与圆的位置关系，是中档题．
6.【答案】A
【解析】解：根据题意，化简得E：，圆心为，
圆F：，圆心为，半径
可得圆心距，因为，所以两圆内含．
故选：
根据两圆的方程确定出它们的圆心与半径，然后根据圆心距离与半径的关系判断出两圆的位置关系．
本题主要考查圆的方程及其性质、两圆的位置关系的判定等知识，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：圆的方程可化为其中，
当时，圆的半径最大，即圆的面积最大，
此时直线，即直线的斜率为1，即倾斜角为
故选：
将圆的一般式化为标准式，根据面积最大得，进而判断直线的斜率和倾斜角．
本题主要考查直线方程的应用，考查计算能力，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：联立，解得，，即点P的坐标为，
点到直线l：的距离，
当时，，恒有，于是，
当时，，
综上，点P到直线l的距离的取值范围是
故选：
联立直线方程求得点P的坐标，对k的取值分情况讨论，并结合点到直线的距离公式，进而求得点P到直线的距离的取值范围．
本题主要考查点到直线距离公式的应用，考查计算能力，属于基础题．
9.【答案】ABC
【解析】解：圆，即圆，它的圆心为，半径等于，
故圆关于点对称，且关于经过的直线对称，
故选：
把圆的一般方程华为标准方程，可得结论．
本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：圆C：化为标准方程：，
可得圆心，半径，
当直线l的斜率不存在时，直线方程为，点C到直线的距离为1，不符合题意，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，
由直线l与圆C相切得：，解得或，
所以直线l的方程为：或
故选：
求出圆C的圆心和半径，再按直线l的斜率是否存在分类，结合圆的切线性质求解．
本题考查直线与圆位置关系的综合应用，是中档题．
11.【答案】AC
【解析】解：由题意直线：，：，
当时， 解得 或，
当时，两直线为，符合题意；
当时，两直线为，，符合题意，故A错误；
当时，两直线为，，，
所以，故B正确；
直线：即直线，故直线过定点，故C错误；
因为直线：过定点，当直线：与点和的连线垂直时，
到直线的距离最大，最大值为，
故D正确．
故选：
求出的充要条件即可判断A；验证时，两直线斜率之积是否为，判断B；求出直线经过的定点即可判断C；判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断
本题考查了直线的方程，两直线平行，点到直线的距离，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：，，，
AB的中点坐标为，
则，故边AB上的中线所在直线方程为，
即，
故答案为：
根据中点坐标以及中点坐标公式即可根据点斜式方程求解．
本题主要考查了直线方程的求解，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：由题可得的圆心，半径
将化为标准方程得，
易知的圆心，半径
又两圆只有两条公切线，故两圆相交，即，显然，
则，即，
解得，
故实数m的取值范围是
故答案为：
由题可得两圆相交，据此可得答案．
本题主要考查两圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：法的高CD所在直线方程为，
可得直线AB的斜率，
又的顶点，直线AB的方程为，即，
又的平分线BE所在直线方程为，
联立，得，
点坐标为
法且AB所在的直线与CD垂直，
设直线AB的方程为，
将点代入可得，可得，
即AB所在的直线方程为，
又因为点B在直线BE上：，
联立，解得，即点
故答案为：
法由垂直求得直线AB的方程，列方程组求得B点的坐标．
法由点法式方程，设直线AB的方程，将点A的坐标代入直线的方程，可得参数的值，与直线BE的方程联立可得点B的坐标．
本题考查两条直线垂直的充要条件的应用及两条直线的交点坐标的求法，属于基础题．
15.【答案】解：已知圆C的方程为，
方程可化为，
因为此方程表示圆，所以，即，
故实数m的取值范围是；
若圆C与直线l：交于M，N两点，
由可得圆心，半径，
如图，过点C作于点A，则，
圆心到直线l：的距离为，
由图可得：，即，
解得：，
即m的值为
【解析】将圆的方程配方，由题意得，求解即得；
结合图形，由垂径定理求出，在中列出方程，求解即得．
本题考查了直线与圆相交的性质，属于中档题．
16.【答案】解：依题意，设圆心，半径为r，则，
即，解得，
所以，，得圆C：
设圆C到直线的距离为d，由，得，
若直线的斜率不存在，即直线为，符合题意，
若直线的斜率存在，设，即，
由圆心C到直线的距离为1，即，得，
所以直线方程为，
综上，所求直线的方程为或
依题意设，由两圆外切，可知，
所以，解得或，
所以或，
所以圆D的方程为或
【解析】依题意，设圆心，半径为r，，列得关于a的方程，解得即可．
弦长可得圆C到直线的距离为，分斜率不存在和存在，分别求解即可．
依题意设，由两圆外切，可知，所以，解得m即可．
本题考查了求圆的标准方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，属于中档题．
17.【答案】解：由题意可得圆D的半径为，则，
所以圆D的方程为，
圆C：，圆心，半径r，
圆心距，
要使两个圆相交，可得，
可得，
即实数r的取值范围为；
联立，整理可得：，
即两个圆的相交直线方程为：，
设圆心D到直线的距离，
所以相交弦长，
即，整理可得，
解得或，
解得或
【解析】本题考查直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，属于中档题.
根据直线与圆相切求出圆的半径，根据两圆相交求出r的范围；
两圆方程联立相减求出公共弦所在直线的方程，再利用圆的弦长公式求出r的值.
18.【答案】
①相离；②
【解析】解：两直线：，：联立方程，解得，；如图，
所求直线垂直于直线，所求直线的斜率为，
故所求直线方程为，即；
①以、为直径的圆的方程为：，
整理得，故该圆的圆心为，半径为，
故圆心到直线的距离为，
故直线与圆D的位置关系为相离．
②设点关于直线对称的点为，
则，解得，，即；，
则，
故的最小值为
求出两直线的交点，利用垂直得出斜率，点斜式可得方程；
①根据圆心到直线的距离与半径的大小关系可判断位置关系；②求出点A的对称点，利用两点之间线段最短可求答案．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
19.【答案】；
轨迹方程是，轨迹是以为圆心，为半径的圆
【解析】线段AB的中点D的坐标为，
直线AB的斜率为，
所以线段AB的垂直平分线的斜率为，
所以线段AB的垂直平分线的方程为，
由
解得，，所以，，所以圆C的标准方程为
设，由于M是线段PQ的中点，，
所以，将Q点的坐标代入原C的方程得，
整理得M点的轨迹方程为：，
轨迹是以为圆心，为半径的圆．
先求得线段AB的垂直平分线的方程，通过联立垂直平分线的方程和直线l的方程求得圆心的坐标，进而求得半径，从而求得圆C的标准方程．
设出M点的坐标，求得Q点的坐标，将Q点的坐标代入圆C的方程，化简求得M点的轨迹方程．
本题主要考查轨迹方程的求法，圆的标准方程的求法，考查运算求解能力，属于中档题．

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