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3.3探索与表达规律课后培优提升训练北师大版2025—2026学年七年级数学上册
一、选择题
1．根据规律：，，，，，_______，，则横线上应填的数为（ ）
A． B． C． D．
2．《棋盘上的米粒》故事中，皇帝往棋盘的第1格中放1粒米，第2格中放2粒米，在第3格上加倍至4粒，…，以此类推，每一格均是前一格的双倍，那么他在第12格中所放的米粒数是（ ）
A．22粒 B．24粒 C．粒 D．粒
3．如图，将一列有理数按如图规律排列，请回答下列问题：
数对应A，B，C，D的位置对应的字母是（ ）
A．A B．B C．C D．D
4．下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第（1）个图形中一共有6个小圆圈，其中第（2）个图形中一共有9个小圆圈，其中第（3）个图形中一共有12个小圆圈…，按此规律排列，则第（17）个图形中小圆圈的个数为（ ）
A．51 B．52 C．53 D．54
5．观察下列一组数：，，，，，…，根据该组数的排列规律，可推出第 个数是（ ）
A． B． C． D．
6．将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中的一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中的一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形如此下去，则第8个图中共有正方形的个数为（ ）
A．16 B．19 C．22 D．25
7．观察规律并计算：（ ）
A． B． C． D．
8．a是不为2的有理数，我们把称为的“哈利数”，如3的“哈利数”是，的“哈利数”是．已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则 ( )
A．3 B． C． D．
二、填空题
9．如图是用棋子摆成的“”字，第个“”字有 个黑点．
10．如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第n个图案中白色瓷砖块数为 ．（用含n的代数式表示）
11．已知：，若（a，b为整数），则 ．
12．一列数，，，，，其中，，，，，请通过一定的计算量找出规律后求出 ．
三、解答题
13．观察下列各等式，并回答问题（是正整数）：
；；；；．
(1)填空：______；
(2)计算：______；
(3)计算：______．
14．观察下面算式：
解答下面的问题：
(1)的结果为________．
(2)若表示正整数，请用含的代数式表示的值为______；
(3)请用上述规律计算：的值（要求写出详细的解答过程，结果中可保留平方形式的数）．
15．把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，…如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“归一数”，例如：
所以31和19都是“归一数”．
(1)32______（填“是”或“不是”）“归一数”；最小的三位“归一数”是______；
(2)若一个两位“归一数”经过两次运算后结果为1，求出这个“归一数”；
(3)请证明任意一个“归一数”经过若干次运算后都不可能得到16．
16．观察下面三行数：
，9，，81，…；………………………第①行
1，，9，，…；………………………第②行
，10，，82，…．……………………第③行
(1)第①行数按什么规律排列？
(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？
(3)设x，y，z分别为第①②③行的第2025个数，求的值．
17．观察下面一列数：1，，2，，1，3，，，，4，，，1，2，5，，…（已写出了第1至第16个数）
(1)第7，第8，第9，第10个数的积是 ，前16个数的积是 ；
(2)按此规律，第30个数是 ；
(3)在上面这列数中，从左起第m个数记为，当时，求m的值．
18．（1）活动一：
①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动个单位长度，再向正方向移动个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是______
A．
B．
C．
D．
②一机器人从原点开始，第次向左跳个单位，紧接着第次向右跳个单位，第次向左跳个单位，第次向右跳个单位，，依此规律跳，当它跳次时，落在数轴上的点表示的数是______．
（2）活动二：
①若折叠纸条，表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合；
②若数轴上，两点之间的距离为点在的左侧，且折痕与折痕相同，且，两点经折叠后重合，则点表示______，点表示______．
（3）活动三：一条数轴上有点，，，其中点，表示的数分别是、，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点，且点与点两点之间的距离为，求点表示的数．
参考答案
一、选择题
1．A
2．C
3．B
4．D
5．C
6．C
7．C
8．A
二、填空题
9．
10．
11．91
12．
三、解答题
13．【解】（1）解：由题中给出的规律可得：；
（2）解：
；
（3）解：
．
14．【解】（1）解：，
故答案为：196；
（2）解：，
故答案为：；
（3）解：
．
15．【解】（1）解：；
故32是“归一数”；
∵；
故最小的三位“归一数”是；
（2）∵一个两位“归一数”经过两次运算后结果为1，
∴该两位数经过一次运算为10或100，
∵，，
∴这个“归一数”为13、31、68或86．
（3）∵
，
故16不是“归一数”，
∵任意一个“归一数”经过若干次运算后得到的数均为归一数，
∴任意一个“归一数”经过若干次运算后都不可能得到16．
16．【解】（1）解：∵，9，，81，，729…；
∴第①行数是：，，，，…，
即第①行数按（n为正整数）规律排列；
（2）解：第②行数是第①行数相应位置的数乘，即；
第③行数比第①行数相应位置的数大1，即；
（3）解：∵，，，
∴
．
17．【解】（1）解：；
；
故答案为：1，；
（2）解：由题意，原数据可写成：，
即分子分母和为2的数有1个，和为3的数有2个，和为4的数有3个，每个组合中分子从1开始逐渐增大，分母逐渐减小至1，
故分子分母和为的数有个，分母从开始逐渐减小至1，分子从1开始逐渐增大到，
∵，
∴第29个数开始，分子分母的和为9，且第一个数为，
∴第30个数为；
（3）解：由（2）可知：所在的组合的数的分子分母的和为，前一个组合中的数的分子分母的和为2028，共有2027个数，
故．
18．【解】（1）①根据移动过程可得：，
故答案为：D；
②如果向左为“”，向右为“”，
机器人跳动过程可以用算式表示为：
，
当机器人跳次时，落在数轴上的点表示的数是；
故答案为：；
（2）①若折叠纸条，表示的点与表示的点重合，
折痕处的点表示的数为，
，
表示的点与表示的点重合；
故答案为：；
数轴上、两点之间的距离为，
A、两点到折痕处的距离都是，
点表示数为，点表示的数为；
故答案为：，；
（3）当点在的左侧时，
，点表示的数为，
表示的数为，
以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在数轴上，
点表示的数为：；
当点在的右侧时，
，点表示的数为，
表示的数为，
以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在数轴上，
点表示的数为：；
综上所述：点表示的数或．
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