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2026届湖南省邵阳市高三上学期高考学情调研数学试卷【一】
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题（本大题共8小题，共40分）
1．[5分]已知复数，则（ ）
A． B． C． D．1
2．[5分]集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．[5分]如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为（ ）
A． B．2 C． D．
4．[5分]已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
5．[5分]如图所示，已知和交于点E，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
6．[5分]已知集合，，则满足的集合的个数为（ ）
A．4 B．7 C．8 D．15
7．[5分]已知定点，圆与轴相切，直线是圆的一条对称轴．若圆上存在两点使得，则圆圆心的横坐标的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．[5分]已知直线与抛物线相交于两点，若直线OA与OB的斜率之和为4，O为坐标原点，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题（本大题共3小题，共15分）
9．[5分]下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
10．[5分]已知，，动点满足，记的轨迹为，若过点的直线与交于，两点，直线与的另外一个交点为，则（ ）
A．的面积的最大值为12
B．，关于轴对称
C．当时，
D．直线的斜率的取值范围为
11．[5分]下列命题中正确的有（ ）
A．与向量共线的一个单位向量为
B．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面．
C．正四面体OABC的棱长为，则．
D．若，向量为单位向量，，向量在向量方向上投影的数量-2．
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12．[5分]已知随机变量服从正态分布，且，，则 ．
13．[5分]为吸引顾客，某大型超市开业期间租了含甲、乙在内的五个迎宾机器人，现将这五个机器人分别分配到一、二、三楼担任迎宾工作，若要求每个楼层至少分配一个机器人，一个机器人只能去一个楼层，且机器人甲、乙不在同一个楼层，则不同的分配方法种数为 .(用数字作答)
14．[5分]各项均为正数的等比数列中，且，，则等于 .
四、解答题（本大题共5小题，共80分）
15．[18分]在四棱锥中，底面是梯形，，，平面平面，，.
（1）求证：；
（2）求与平面所成角的正弦值；
（3）若线段上存在一点E，使得截面将四棱锥分成体积之比为的上下两部分，求点P到截面的距离.
16．[14分]如图，四棱锥中，平面平面，平面，，．点为的中点，点在上，且．

（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
17．[14分]已知函数在区间上有最大值4和最小值1．
（1）求a，b的值；
（2）若存在，对任意的都成立；求m的取值范围；
（3）设，若不等式在上有解，求实数k的取值范围．
18．[16分]已知A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角，向量，且.
（1）求角C的大小：
（2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且，求边c的长．
19．[18分]已知椭圆的离心率为，焦距为，以为三边的三角形面积为
（1）求C的方程；
（2）过右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，求四边形面积的最小值
参考答案
1．【答案】D
【详解】由.
故选D
2．【答案】B
【详解】根据对数函数定义域可得
由指数函数的值域可得
所以，
故选B.
3．【答案】C
【详解】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为．
圆柱的表面积，
球的表面积，
所以圆柱的表面积与球的表面积之比为.
故选C
4．【答案】D
【详解】对于A：若，，则或，又，则或与相交，故A错误；
对于B：若，，则或，又，则或与相交，故B错误；
对于C：若，，则，又，则与平行或异面，故C错误；
对于D：若，，则或，
若，则在平面内存在直线，使得，又，则，
又，所以；
若，又，所以；
综上可得，由，，，可得，故D正确.
故选D
5．【答案】B
【详解】设，由图可知，
，
则，解得.
故选B.
6．【答案】B
【详解】方法一：的含义是有的都有，有的都有，但不能等于．
因为集合，，
所以集合可为，共7个．
方法二：集合中有2个元素，中有5个元素，则集合可以是集合的任意一个真子集与集合并集组成，
所以满足的集合有（个）．
故选B．
7．【答案】D
【详解】由题意作图，由于圆心在直线上，设，
又圆与轴相切，所以圆的半径.
当点在圆上或圆内时，显然存在满足条件，此时，
当点在圆外时，
经分析，当与圆相切时，取最大值，
由已知时，，此时，
所以
所以，
整理得，所以，
即圆圆心的横坐标的取值范围为.
故选D.

8．【答案】A
【详解】法一：由，其中，得，
整理得，设，
因为直线OA与OB的斜率之和为4，由韦达定理，，解得.
法二：设A，B，且，
因为直线OA与OB的斜率之和为4，
所以，
可得，即（*），
联立且，消去，得，
由韦达定理，，
代入（*），可得，解得.
故选A
9．【答案】BC
【详解】对于A，因为，故不是偶函数，故A错误；
对于B，由二次函数性质知，图象关于轴对称，且在区间上单调递增，故B正确；
对于C，因为的定义域为，且，所以函数为偶函数，在区间上单调递增，故C正确；
对于D，，显然在区间上单调递减，故D错误.
故选BC．
10．【答案】ABD
【详解】设，由可得，
，即，
所以的轨迹是以为圆心，3为半径的圆，记圆的圆心为，半径为．
对于A选项，，选项A正确；
对于B选项，如图，圆关于轴对称，，在轴上，
直线与圆交于，两点，直线与圆交于，两点，
由题可知，，
由角分线定理逆定理得，故，
又根据圆的对称性可知，，关于轴对称，选项B正确；
对于C选项，当时，，
而，则为等腰三角形，
过作于，则，
则，由垂径定理可得，选项C错误；
对于D选项，当直线与圆相切时，连接，
得到，此时，，由勾股定理得，
由锐角三角函数的定义得，
由斜率的几何意义得此时直线的斜率为，根据圆的对称性可知，
得到直线斜率的取值范围为，选项D正确．
故选ABD．
11．【答案】ABD
【详解】选项A：因为，所以，
与向量共线的单位向量为，
所以一个单位向量为，故A正确；
选项B：若，且，
所以P，A，B，C四点共面，故B正确；
选项C：因为正四面体OABC，所以两两夹角为，
所以
，
所以，故C错误；
选项D：向量在向量方向上投影的数量为，
故D正确.
故选ABD
12．【答案】/
【详解】已知，所以该正态分布曲线关于直线对称.
因为正态分布曲线关于直线对称，与关于对称，所以.
由于随机变量取所有可能值的概率之和为，即.
将，代入上式可得：，即，解得.
13．【答案】114
【详解】所有可能的分配方法数为：若一个楼层分配三个机器人，其余两个楼层分配一个，
则总数为种，
若一个楼层分配一个机器人，其它两个楼层每层分配两个机器人，
则分配方法的总数为种，两者相加可得所有分配方法总数为种.
甲、乙在同一个楼层的分配方法可计算如下：
先从三个楼层中选一个楼层安排机器人甲、乙，有种分法，
若剩下三个机器人分配到其余两个楼层，
可以先在三个机器人中选择两个一组，再在两个楼层中选择一层楼分配这两个机器人，
有种分法，
若剩下的三个机器人分配到三个楼层，有种分法，
故甲、乙在同一个楼层的不同的分配方法种数为种，
所以甲、乙不在同一个楼层的不同分配方法数为种.
14．【答案】27
【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为，根据题中条件，求出公比，进而可求出结果.
【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为，
因为，，
所以，，，或（舍），
.
15．【答案】（1）见详解；
（2）；
（3）
【详解】（1）取的中点，连，，由，，得四边形为平行四边形，
由，得平行四边形为矩形，则，
由平面平面，平面平面，平面，得平面.
又平面，则，由，，得，
由，，得，则，即，
而，平面，
因此平面，而平面，
所以.
（2）由，，，平面，
得平面，平面，则，
以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量，则，令，得，
设与平面所成角为，，
即与平面所成角的正弦值为.
（3）设截面交于，由，面，面，得平面，
又平面，平面平面，则，
依题意，，则，
设，则，
，
，，
到的距离，
截面的面积为，
设平面的法向量，
则，取，得，
则到平面的距离，
于是，解得，
所以点到截面的距离为.
16．【答案】（1）见详解
（2）
【详解】（1）证明：因为平面平面，因为，可得，
又因为平面平面，且平面，所以平面，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
可得，，，，，，
所以，，
则，所以，所以.
（2）解：由已知得平面的一个法向量为，
因为，又由，
设平面的法向量，则，
取，可得，所以，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17．【答案】（1）；（2） ；（3） ；
【详解】（1）
∵，∴在上单调递增,
（2）由（1）得：，当时，
又∵存在，对任意的都成立，
∴对任意的都成立
即对任意的都成立，其中看作自变量，看作参数，
即，解得：
（3）
令则
,因为不等式在区间上有解
，又
而
,即实数的取值范围是
18．【答案】（1）；（2）6.
【详解】试题分析：（1）由向量数量积坐标运算得，又三角形的三个内角，所以有，因此，整理得，所以所求角的大小为；（2）由等差中项公式得，根据正弦定理得，又，得，由（1）可得，根据余弦定理得，即，从而可解得.
（1）
在中，由于，所以.
又，，又，.
而，.
（2）成等差数列，，由正弦定理得.
，.由（1）知，所以.
由余弦定理得，，.
.
考点：1.正弦、余弦定理；2.向量数量积.
19．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由已知可得，
则所求椭圆方程．
（2）当直线的斜率不存在时，，
此时的长即为椭圆长轴长，，
从而．
设直线的斜率为，则，直线的方程为：，
直线的方程为，
设，，，，
由，消去得，
所以，，
从而，
由，消去得，
所以，，
从而，
所以，
因为，则，则，
所以.
当且仅当，即时取得最小值，
所以四边形面积的最小值为．

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