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第一章二次函数单元检测试卷浙教版2025—2026学年九年级数学上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．当时，y随x的增大而减小 D．顶点坐标为
2．若二次函数满足，则其图象必经过点（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，是抛物线上的点，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．将抛物线向下平移2个单位长度后，再向左平移1个单位长度，所得新抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
5．二次函数的图像如图所示，对称轴是，下列结论：①；②；③；④正确的是（ ）
A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
6．如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知二次函数的图象在x轴上方，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
8．已知为抛物线与x轴交点的横坐标，，化简（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是 ．
10．若函数的图象与轴只有一个公共点，则实数的取值是 ．
11．如图，抛物线，顶点为，将抛物线沿水平方向向右平移个单位长度，得到抛物线，顶点为，与相交于点，若，则的值为 ．
12．已知二次函数，当时，的取值范围是 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．已知二次函数
(1)求函数图像的顶点坐标及图像与坐标轴的交点坐标．
(2)根据图像直接回答：
①当时，的取值范围；
②当时，的取值范围．
14．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数，它的图像如图如示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若商场销售该服装获得利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？
(3)若商场要使获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．
15．已知二次函数的图象经过点，顶点坐标为，与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求的面积．
16．如图，抛物线经过点和点，与轴交于点，点在直线下方的抛物线上，过点作轴交于点，设点的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式及点的坐标．
(2)当线段长等于2时，求点的坐标．
17．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且．
(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)判断的形状，证明你的结论；
(3)点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标．
18．如图，抛物线的顶点为，其坐标为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，已知．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，，判断的形状；
(3)若点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值．
参考答案
一、选择题
1．D
2．B
3．D
4．A
5．C
6．B
7．A
8．D
二、填空题
9．
10．或
11．
12．
三、解答题
13．【解】（1）解：二次函数，
∴顶点坐标为，
当时，，
∴函数图像与轴交于点，
当时，，
解得，，
∴函数图像与轴交于点，，
∴函数图像的顶点坐标为，图像与坐标轴的交点坐标为，，．
（2）解：二次函数的图像：
当时，的取值范围是；
当时，的取值范围是或．
14．【解】（1）解：设与的函数关系式为（） ，
由题意得，
两式相减：，解得．
将代入：，解得．
又∵成本为60元，获利不超45%，
∴，且，
故与的函数关系式为（）．
（2）解：由利润公式得
将代入：
整理为顶点式：
∵，二次函数开口向下，对称轴为，
又∵，
∴随增大而增大
当时，
答：利润与的关系式为（），销售单价定为87元时，商场可获最大利润．
（3）解：令，即，
整理得，
因式分解：，
解得．
又∵，
∴取交集得．
答：销售单价的范围是．
15．【解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，顶点坐标为，
设二次函数的解析为，
把代入解析式，
得，
解得，
所以，；
（2）解：令，则，
解得或，
，
．
16．【解】（1）解：∵抛物线经过点和点，
∴可得，
解得，
抛物线的解析式为，
当时，，
点的坐标为；
（2）解：设直线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
直线的解析式为；
轴，点的横坐标为，
，
，
解得或，
，
或．
17．【解】（1）解：∵点在抛物线上，
，
∴，
抛物线的解析式为，
顶点的坐标为；
（2）解：是直角三角形，证明如下：
在中，当时，，
，
∴；
在中，当时，，
解得，，
∴，
，，
∵，，，
，
是直角三角形；
（3）解：如图所示，作点关于轴的对称点，连接，则，
由轴对称的性质可得，
∴的周长，
∵点C和点D都是定点，
∴的长为定值，
∴当有最小值时，的周长有最小值，
∵两点之间线段最短，
∴当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，解得，
∴．
18．【解】（1）解：抛物线的顶点的坐标为，
设抛物线的表达式为．
又，
点的坐标为，
代入表达式，得，
解得，
抛物线的表达式为，即；
（2）解：令，则，
解得，
点的坐标为，
，
，
是直角三角形；
（3）解：设直线的表达式为，
将点，点的坐标代入，得：
，
解得，
直线的表达式为；
设，
如图，作轴交于点，则，
，
，
当时，有最大值为．
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