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第四章图形的相似单元检测卷北师大版2025—2026学年九年级数学上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
2．如图，，若，则为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，点D是的边上一点，，，如果的面积为4，那么的面积为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．6
4．若，面积比为，则与的周长比为（　 ）
A． B． C． D．
5．如图，平行四边形的对角线、交于点，是的中点，连接交于点，，则=（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，是边上的中线，将绕着点C顺时针旋转，得到，连接，交于点F．若，，则（ ）
A． B． C．9 D．
7．如图，与位似，位似中心为点O，且的面积等于面积的，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，平分，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．如图，中，，点O是的外心，且，延长交于点D，若，则 ．
10．如图，若，如果，那么 ．
11．若，则 ．
12．如图，在平行四边形中，的平分线与交于点E，与的延长线交于点F，M为的中点，N为的中点，连接并延长，交于点P，的延长线交于点Q．若 ，则的值为 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，在矩形中，，点P为边上一动点（不与点A，B重合），交于点E．
(1)求证：．
(2)当时，求线段的长度．
(3)当点P在线段的垂直平分线上时，求的值．
14．在平面直角坐标系中，已知，，点P从点O开始沿边向点A以的速度移动；点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动．如果P、Q同时出发，用表示移动的时间．
(1)用含t的代数式表示：线段 ； ．
(2)求当t为何值时，四边形的面积为．
(3)当与相似时，求出t的值．
(4)求当t为何值时，线段分三角形的面积比为．
15．某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题．
(1)【图形认知】如图①，在正方形中，，交于点，则 （填比值）；
(2)【探究证明】如图②，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、，求证：；
(3)【结论应用】如图③，将矩形沿折叠，使得点和点重合，若，．求折痕的长；
(4)【拓展运用】如图④，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，点落在点处，得到四边形，若，，，请求点P到直线的距离．
16．在菱形中，连接交于点F，连接并延长交于O，交于点P．
(1)求度数；
(2)求证：是的平分线；
(3)当的值最小时，求点P所在的位置．
17．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，．
(1)请画出关于x轴对称的；
(2)与的位似比为，请画出；
(3)求与的面积比，即________（不写解答过程，直接写出结果）．
18．【初步感知】如图1，已知正方形，E是对角线上一点．连接，．则与的数量关系是 ；
【尝试探索】如图2，．判断的形状，请说明理由；
【拓展应用】如图3，F是延长线上一点，交于点G，，．求的值．
参考答案
一、选择题
1．C
2．D
3．B
4．A
5．B
6．D
7．A
8．A
二、填空题
9．
10．6
11．
12．
三、解答题
13．【解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵ ，
∴，
∴，即，
解得；
（3）解：连接，
∵点P在线段的垂直平分线上，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
∴
，
解得，
∴，
∴．
14．【解】（1）解：，，
故答案为：，；
（2），
∴，
解得：或3，
∴当或3时，四边形的面积为；
（3），，
∴或，
①当时，
则，
∴，
②当时，
则，
∴，
综上所述，当或1时，与相似；
（4）当线段分三角形的面积比为时，
则，或，
∴，或，
方程，解得或3，
方程，无解，
∴当或3时，线段分三角形的面积比为．
15．【解】（1）解：由题意知，，
又∵，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）证明：如图②，过作交于，过作交于，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴四边形、均为平行四边形，
∴，，
同（1）可得，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：由矩形的性质可得，
由勾股定理得，
由（2）可知，，即，解得，
∴的长．
（4）解：如图④，延长到，过作于，
由（2）可知，，即，解得，
∴在中，由勾股定理得，
由折叠的性质可得，，，，
设：，则，
∴在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴点到直线的距离为．
16．【解】（1）解：四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
在和中，
，
，
；
（2）如下图，延长至点G，使得，连接，
，且，
是等边三角形，
，
是菱形，
，
是等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
是的平分线；
（3），
，
，
，
，
，
，
，
∴当时最小，
，
如下图，过点O作于点M，设，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，即，解得，
，
，
，
点P在中点．
17．【解】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）解：如图所示：即为所求；
（3）解：∵将的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以，得到对应的点，
∴与的相似比为：，
∴．
故答案为：．
18．【解】解（1）；理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
∴；
（2）是等腰三角形，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（3）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴的值为．
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