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第二章一元二次方程单元检测卷北师大版2025—2026学年九年级数学上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．在一次同学聚会时，大家相互握手问候．如果每人都和其他人握手一次，一共握了45次手，那么参加这次聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学有x人，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）．
A．2024 B．4 C．2022 D．0
4．在一幅长为，宽为的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．一元二次方程经过配方变形为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．已知点在第四象限，则一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等实根 B．有两个不等实根
C．没有实数根 D．无法判定
7．若，则的值是（ ）
A．或2 B．4 C．或4 D．2
8．关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　）
A． B．1 C．3 D．9
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
10．如图，这是2025年4月份的月历，在此月历表上按照如图所示的方式圈出4个数，若圈出的4个数中，最小的数与最大的数的乘积为153，则这个最小数为 ．
11．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 ．
12．如图，A、B、C、D是矩形的四个顶点， ，动点E从点A出发，以的速度向点D运动，直到点D为止；动点F同时从点C出发，以的速度向点B运动，与点E同时结束运动．当点E和点F之间的距离是时，运动时间为 s．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．解方程：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
14．综合与实践
已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围．
(2)当方程的判别式的值为时，且该方程的两根为，求代数式的值．
(3)在（2）的条件下，若为方程的两个根，且分别为菱形的两条对角线的长，求菱形的周长．
15．关于x的方程．
(1)有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
(2)该方程没有实数根，求k的取值范围；
(3)若0是该方程的一个根，请求出它的另一个根．
16．某商场销售一批品牌衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．设某天该衬衫每件降价元，则：
(1)该衬衫的销量为 件，每件可获利 元；
(2)如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利1200元，同时尽快减少库存，那么衬衫的单价应降多少元？
(3)商场销售这批衬衫能否通过降价每天盈利1500元？
17．已知关于x的一元四次方程．有实数根．
(1)求k的取值范围．
(2)若方程的所有实数根的积为，且m，n是其中的两个实数根，求的值．
18．综合与探究：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”．
(1)直接写出一个“邻根方程”为________
(2)已知关于x的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求的值．
(3)若关于x的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求c最小值．
参考答案
一、选择题
1．D
2．D
3．B
4．B
5．C
6．B
7．D
8．C
二、填空题
9．5
10．9
11．
12．或
三、解答题
13．【解】（1）解：，
，
则，
；
（2）解：整理为一般式，得，
，
，
，
或，
解得，；
（3）解：，
，
则或，
解得，；
（4）解：，
，
则，即，
，
则，．
14．【解】（1）解：根据题意得，
解得：．
（2）解：，
，
方程为，
根据根与系数的关系可得：，
．
（3）解：方程的两根为，
，
设两条对角线交于点，
，
，
，
，
菱形的周长为．
15．【解】（1）解：由题意得，，
解得：；
（2）解：由题意得，，
解得：；
（3）解：∵0是该方程的一个根，
∴，
解得：，
∴方程为：，
或，
∴，，
∴方程的另一个根为．
16．【解】（1）解：因为单价每降元，多售出件，降价元，
所以销量为件；
原来每件盈利元，降价元，
所以每件可获利元，
故答案为：，；
（2）解：根据题意，，
解得，．
因为要尽快减少库存，
所以．
答：衬衫的单价应降元．
（3）解：假设能盈利元，则，
展开得，
整理得，
两边同时除以得．
判别式，
所以方程无实数根，不能每天盈利元．
所以商场销售这批衬衫不能通过降价每天盈利1500元．
答：商场销售这批衬衫不能通过降价每天盈利1500元．
17．【解】（1）解：由原方程得 ，
即 ，
，
，
∴当方程有实数根时，原方程有实数根，
∴，
解得：；
（2）解：由条件得，m、n为方程的两个根，根据根与系数的关系得：，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
．
18．【解】（1）解：
则方程为，
展开得：，
故答案为：；
（2）解：设方程的较小的一根为，则另一根为，
∴，，
∴，
∴，
解得或；
（3）解：设方程的根为，，
则，，
将代入①得，
化简得，
，，
，
，
，
当时，取最小值为．
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