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专题18 二次函数与三角函数
第一部分：基础知识储备
二次函数与三角函数问题通常会涉及相似、线段倍数关系和取值范围问题，不清楚的先学前面对应方法。初中锐角三角函数是定义在直角三角形中，所以遇见三角函数常见方法有两种：
一、作垂直构造直角三角形。
可以过不同顶点来作，所以辅助线通常不止一种。
二、转化等角。
等角的三角函数值必然相同，这两个等角所在直角三角形必然相似。所以有三角函数的地方经常会出现相似三角形和勾股定理。
常见的转化等角的方法：
1、对顶角、内错角、同位角相等；
2、等边对等角；
3、作对称；
4、同角的余角(补角)相等；
5、三角形内角和180°和一个外角等于不相邻两个内角和；
6、同弧所对圆周角相等；
7、中间量等角转化；
第二部分：典型例题分析
例1(山东日照)已知：抛物线 经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1,点P为直线BC上方抛物线上任意一点,连PC、PB、PO,PO交直线BC于点E,设 k，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值；
(3)如图2，点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D.
①求 的周长及 的值；
②点M是y轴负半轴上的点，且满足 (t为大于0的常数)，求点M的坐标.
【解答】(1)∵抛物线 c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3),∴设y=a(x+1)(x-3),,将C(0,3)代入，得a(0+1)(0-3)=3,解得： ∴抛物线的解析式为
(2)如图1,过点P作. 轴交直线BC于点H，： , 设直线BC的解析式为y= kx+n,∵B(3,0),C(0,3), 解得：
∴直线BC的解析式为y=-x+3,设点 则
∴当 时，k取得最大值 此时，
(3)①如图2,过点Q作( 于点T，则∠ -4,∴抛物线对称轴为直线x=1,∴Q(1,0),∴OQ=1,BQ=OB-OQ=3-1=2,∵点C关于x轴的对称点为点D,∴D(0,-3),∵B(3,0),∴OB=OD=3,∵∠BOD=90°,∴DQ=√OQ +OD = 的周长： 在 中,∵∠BOD=90°,OB=OD,∴∠DBO=∠BDO=45°,∵∠BTQ=90°,∴△BQT是等腰直角三角形，.
②设M(0,-m),则OM=m,BM=√OB +OM = +m = +m ,MQ= Q +OM =
艮
整理得， 即
当 即 时，
或
例 2 (广州二模)在平面直角坐标系xOy中，( ：二次函数 的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)且.AB=4,，与y轴交于点C.
(1)求二次函数的表达式；
(2)将△ACB绕AB的中点Q旋转180°,得到△BDA,若点M是线段AD上一动点,MB⊥NB交直线AC于点N，点P为线段MN的中点，当点M从点D向点A运动时.
①求tan∠NMB的值如何变化 请说明理由；
②求点到达点A时，直接写出点P经过的路线长.
【解答】 当x=-1时,y=0,∴A(-1,0),∵AB=4,A(-1,0),∴抛物线对称轴为:
∴抛物线 的表达式为
(2)①tan∠NMB的值为定值,不发生变化;
如图1中，
Rt△AOC中,OA=1,OC= ,∴∠ACO=30°,∠OAC=60°,Rt△BCO中,OB=3,
∴BC=
由旋转得:∠D=∠ACB=90°,∠ABD=∠OAC=60°,D(2, ),∴∠CBD=90°,
∴四边形ADBC是矩形,∵B(3,0),D(2, ),∴BD=√(3-2) +( ) =2,∵∠MBN=∠DBC=90°,
∴∠DBM=∠CBN,∵∠MAN=∠MBN=90°,∴M,A,N,B四点共圆,∴∠DMB=∠BNC,
∴tan∠NMB的值为定值，不发生变化；
②如图2，当M在点D时，P与Q重合，当M与A重合时，P在直线AC上，∴点P经过的路线长是线段PQ的长,Rt△MBN中,. ∵Q是AB的中点,P 是MN的中点,∴PQ是△ABN的中位线, 即点M到达点A时，点P经过的路线长是
例 3 (辽宁丹东一模)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点，A点坐标为(-4,0),,与y轴交于点C,且C点坐标为(0,2).
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点D为第二象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE⊥x轴于点E，交AC于点F，当线段CD=CF时，求点D的坐标；
(3)在(2)的条件下，设抛物线上点A与点D之间有一点P(包括A、D两点)，在线段EA上是否存在点Q，使得以P、Q、E为顶点的三角形与 相似 如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由；
(4)设过点C的射线与CA的夹角为α，且 请直接写出该射线与抛物线的交点M的坐标.
【解答】(1)把A点坐标为(-4,0),C点坐标(0,2)代入表达时得 解得
∴解析式为
(2)过点C作( 于点G，
设直线AC表达式为y= kx+b,
将A(-4,0),C(0,2)代入得:
直线AC表达式为
设D点坐标为
则F点坐标为 G点坐标为(m,2)
∵当CD=CF时,1 (舍去),
∴D点坐标为(-2,3).
(3)由 得 点坐标为(1,0),
∵
为直角三角形，且两直角边的比为
①以点E为直角顶点，此时点P与点D重合，当
此时Q点坐标为(-3.5,0).当2PE=QE,QE=2×3=6,此时点Q不在线段AE上，不符合题意.
②以点Q为直角顶点，设P点坐标为 点坐标为(n,0)
当 (舍去), 此时Q点坐标为(-3,0).
当 舍去)， 此时Q点坐标为
③以点P为直角顶点，
当PE=2PQ,由②中结论可知
此时不存在符合题意的点Q，当2PE=PQ,由②中结论可知QH=2PH=4HE=4,
∴QE=5>2，此时也不存在符合题意的点Q.
综上,符合题意的点Q有(-3.5,0),(-3,0),(-1- ,0)
(4)如图所示，作PN⊥CA，点Q是点P关于点N的对称点，
设PN=t,则AN=2t,CN=3t,AC=5t,
∴由勾股定理得：
∴点P为(-2,0),
设射线CP的表达式为:y= kx+2,将点P代入表达式,得到y=x+2,
∵点M 为射线CP与抛物线的交点，
解得：
∴点.
在直角△ANP中，由勾股定理求出点N到x轴的距离为 ，则点N的坐标为
∵点Q是点P关于点N的对称点，
∴点Q的坐标为 同理求出射线 的表达式为：
∵点 为射线CP与抛物线的交点，
解得：
∴点 故
例 4 (湖北武汉实外)如图，已知抛物线 的顶点坐标为(0,-2),且经过点A(-2,2),动直线l的解析式为:y=-4x+e.
(1)求抛物线( 的解析式；
(2)将抛物线( 向上平移两个单位得到新抛物线( ，过点A的直线交抛物线( 于M、N两点(M位于点N的左边)，动直线经过点 M，与抛物线( 的另一个交点为点P，求证：直线PN恒过一个定点.
(3)图3中，在(1)的条件下，x轴正半轴上有一点B(1，0)，M为抛物线( 上在第一象限内的点，若∠MAB为锐角,且tan∠MAB>2,直接写出点M的横坐标x的取值范围 .
【解答】(1)∵抛物线 的顶点坐标为(0，-2)，∴可设抛物线( 的解析式的顶点式为y ,将点A(-2,2)代入得:( 解得a=1，故抛物线 的解析式为
(2)由题意得：抛物线( 的解析式为 即 设点M、N、P的坐标为 设直线MN的解析式为y=kx+b，将点. 代入得解得 则直线MN的解析式为
同理可得：
∵直线PM为动直线y=-4x+e,∴m+p=-4,∴p=-4-m,
即：
又∵点A在直线MN上,∴-2(m+n)-mn=2,∴mn=-2m-2n-2,
即：
当x=-2时,
即无论m取何值，直线PN恒过定点(-2，6)；
(3)过B点作BD⊥AB,取BD=2AB,作AE⊥x轴,DF⊥x轴,垂足分别为:E、F;
,
∵∠DBF+∠ABE=90°,∠DBF+∠BDF=90°,∴∠BDF=∠ABE
∴OF=OB+BF=6,∴D点坐标为(5,6),∴直线AD解析式为:
当 时， 即tan∠MAB=2时,当M的横坐标为
作AG垂直AB交抛物线 与 点，又∴
即G点坐标为 ∴直线AG解析式为： 当 时， 即∠MAB=90°时,当M的横坐标为
综上所述：若∠MAB为锐角，且tan∠MAB>2，M的横坐标x的取值范围为：
第三部分：针对提高训练
练 1 (山东烟台)如图，抛物线 经过点A(-2,0),B(4,0),与y轴正半轴交于点C,且OC=2OA.抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E.直线y=mx+n经过B，C两点.
(1)求抛物线及直线BC的函数表达式；
(2)连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的 Rt△PEQ,且满足tan∠EQP=tan∠OCA. 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
练 2 (上海市九年级期中)如图，抛物线 与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴与BC相交于点E，与x轴相交于点F.
(1)求线段DE的长.
(2)联结OE，若点G在抛物线的对称轴上，且△BEG与△COE相似，请直接写出点G的坐标.
(3)设点P为x轴上的一点,且∠DAO+∠DPO=∠α,tanα=4时,求点P的坐标.
练 3 (辽宁盘锦)如图，抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，直线y=x-2与y轴交于点D，与x轴交于点E，与直线BC交于点F.
(1)点F的坐标是 ;
(2)如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q， 于点M， 于点.N, 求点P的坐标；
(3)如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E出发，沿射线DE方向以每秒 个单位长度的速度运动，当SE=SG,且 时，求点G的运动时间.
专题18二次函数与三角函数
【练1】(1)由点A的坐标知,OA=2,∵OC=2OA=4,∴点C的坐标为(0,4),将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：
解得 ∴抛物线的表达式为
将点B、C的坐标代入一次函数表达式得： 解得
∴直线BC的表达式为y=-x+4;
(2)存在,理由:
设点P的坐标为 点Q的坐标为((t,-t+4),
①当点Q在点P的左侧时，
如图2，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为N、M,
由题意得:∠PEQ=90°,∴∠PEN+∠QEM=90°,
∵∠EQM+∠QEM=90°,∴∠PEN=∠EQM,
∴∠QME=∠ENP=90°,∴△QME∽△ENP,
则 EN=m-1,QM=-t+4,
解得 (舍去负值)，
当 时，
∴点P的坐标为
②当点Q在点P的右侧时，
分别过点P、Q作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为N、M,
则
PN=m-1,
同理可得:△QME∽△ENP,
解得 (舍去负值)，
∴点P的坐标为
∴ 点 P 的 坐 标 为 或
【练2】由抛物线 可知,C(0,3),令y=0,则
解得x=-1,x=3,∴A(-1,0),B(3,0);
∴顶点x=1,y=4,即D(1,4);∴DF=4
设直线BC的解析式为y= kx+b,代入B(3,0),C(0,3),得 解得 ∴解析式为y=-x+3,当x=1时,y=-1+3=2,∴E(1,2),∴EF=2,∴DE=DF-EF=4-2=2;
(2)如图,连接OE,
∵E(1,2),C(0,3),B(3,0),
∵OB=OC,DE∥y轴,∴∠EOC=∠BOG=45°,
∵△BEG与△COE相似，点G在抛物线的对称轴上，
∴①若
则 即
②若 则 即EG'=6,
∵2-6=-4,∴G'(1,-4),∴点G的坐标为 或(1,-4);
(3)如图2,过点作DF⊥x轴于F,连接OD,
∵D(1,4),∴tan∠DOF=4,
又∵tan∠α=4,∴∠DOF=∠α,
∵∠DOF=∠DAO+∠ADO=∠α,
∴OP=19,
同理，当点P在原点左侧，OP=17.
∴点P的坐标为(19,0)或(-17,0).
【练3】解:(1)在抛物线 中，令y=0,则 解得:x=-2或x=6,∴A(-2,0),B(6,0),令x=0,则y=6,∴C(0,6),在直线y=x-2中,令y=0,则x=2,
∴E(2,0),令x=0,则y=-2,∴D(0,-2),设直线BC的解析式为y= kx+b,将B(6,0),C(0,6)代入,得：∴直线BC 的解析式为y=-x+6,联立 解得
∴F(4,2),故答案为:(4,2);
(2)如图1,过点P作PG⊥x轴于点G,过点F作FH⊥x轴于点H,
又 P点纵坐标为 令 解得:x (均满足x>0),∴点P 的坐标为
(3)如图2,过点S作SK⊥EG于点K,SH⊥x轴于点H,交EG于点L,
由题意得，
∵SE=SG,SK⊥EG,∴EK=GK= EG=2 t,∵在Rt△SEK中, ∴SK= t,∵E(2,0),D(0,-2),∴OE=OD,∴△ODE是等腰直角三角形,∴∠OED=45°,
∴∠KEH=∠OED=45°,∴△EHL为等腰直角三角形,∴∠SLK=∠ELH=45°,∴△SLK为等腰直角三角形， .EL=EK-LK= t,∴EH=LH=t,∴OH=OE+EH=t+2,SH=SL+LH=3t,∴S(t+2,3t),将S(t+2,3t)代入 得 ,解得:t=2或t=-8(舍)，∴点G的运动时间为2s.

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