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专题17 二次函数与取值范围问题
第一部分：基础知识储备
这种求取值范围的问题类型种类其实较多，常见的类型及方法有以下几种
1、求范围其实就是求最大值最小值，如果是用字母表示出来，则可以利用函数性质来解决。前面已经讲过二次函数区间最值，如果是特别复杂的可能会涉及到基本不等式，下面简单说明一下
可推导出 对于任意的x，y都成立。
我们再做一个基本变形，对于任意的正数x，y，则有 当且仅当x=y的时候等号成立。
这个式子在高中会学习，但是初中也可以掌握，复杂的式子变形之后可以利用此方法解决最值范围。
2、图像恒成立问题相关的取值范围，通常要分类讨论和数形结合，观察函数图像顶点与其他函数的交点这些临界值。
3、确定了三角形的形状，求点坐标或者参数相关最值。最核心是找到临界值，即直角的时候。可以利用勾股定理、构造相似三角形等来求解。方法二是直接利用钝角三角形，两小边平方和<最大边的平方。锐角三角形，两小边平方和>最大边的平方。这种方法思路简单，但是一般计算量稍大。
4、单条线段取值范围，最根本的方法是两个，一个是利用垂线段最短，一个是利用三角形中三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。中间可能会涉及到动点的轨迹问题，常见的两种轨迹类型是圆或圆弧，还有一种是直线或者线段。圆或圆弧主要是找定点定长或者定长定角或者定角定高等，主要的辅助线是作三角形的外接圆。直线或者线段主要是找起始点或者定角、定线，可以利用旋转相似或三角函数来求。
第二部分：典型例题分析
例 1 如图，平面直角坐标系中，抛物线 经过A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,-3)，点D是抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式；(2)设P(m，n)为对称轴上一点，若∠PCD为钝角，求n的取值范围.
【解答】(1)由已知,设y=a(x+1)(x-3),
把C(0,-3)代入,得-3a=-3,a=1,
∴y=(x+1)(x-3),即
(2)由 得
∴顶点D(1,-4). 过点D作DH⊥y轴于点H,连接BC交对称轴于点E，连接DC.
∵B(3,0),C(0,-3),D(1,-4),
∴OB=OC=3,CH=DH=1,
∴∠BCO=∠DCH=45°,∴∠DCE=90°,由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y=x-3，当x=1时,y=-2,故点E(1,-2),由∠PCD为钝角,得n>-2.
例2 (河池)在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点(A在B的右侧)，与y轴交于点C.
(1)求直线CA的解析式；
(2)直线y= nx+n与抛物线交于 两点，其中 若 且 结合函数图象，探究n的取值范围.
【解答】(1)在 中,令x=0得y=3,令y=0得x=-1或3,∴A(3,0),B(-1,0),C(0,3),设直线CA的解析式为y= kx+b,则 解得 ∴直线CA的解析式为y=-x+3;(2)由 得 或
①若3-n>-1,即n<4,如图:
且 且 解得0②若3-n<-1,即n>4,同理可得:-1-(3-n)>3且( 解得n>7,综上所述，n的取值范围是07.
例3 (雅安)已知二次函数
(1)当该二次函数的图象经过点A(1，0)时，求该二次函数的表达式；
(2)若对满足x≥1的任意实数x，都使得y≥0成立，求实数b的取值范围.
【解答】(1)把点A(1,0)代入 得:1+2b-3b=0,解得:b=1,∴二次函数的表达式为:
(3)①∵二次函数 的图象开口向上，
∴当二次函数 的图象与x轴没有交点或只有1个交点时，x≥1总有y≥0成立(如图2);此时△≤0,即 解得-3≤b≤0;
②当二次函数 的图象与x轴有2个交点时， ,可得b>0或b<-3，设此时两交点为 则
要使x≥1的任意实数x，都有y≥0，需 即 (如图3),
且 且-3b-(-2b)+1≥0,解得-1≤b≤1,∴此时0总上所述，对满足x≥1的任意实数x，都使得y≥0成立，则-3≤b≤1.
例 4 (成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为(2，-1).点B为抛物线上一动点，连接AP，AB，过点B的直线与抛物线交于另一点C.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点B的横坐标与纵坐标相等，∠ABC=∠OAP，且点C位于x轴上方，求点C的坐标；
(3)若点B的横坐标为t，∠ABC=90°，请用含t的代数式表示点C的横坐标，并求出当t<0时，点C的横坐标的取值范围.
【解答】(1)∵抛物线 ,顶点P的坐标为(2,-1),∴h=2,k=-1,即抛物线
+k为 ∵抛物线 经过O，即 的图象过(0,0),
解得 ∴抛物线的函数表达为
(2)在 中,令y=x得 解得x=0或x=8,∴B(0,0)或B(8,8),
①当B(0,0)时,过B作BC∥AP 交抛物线于C,
此时∠ABC=∠OAP,如图:
在 中,令y=0,得
解得x=0或x=4,∴A(4,0),
设直线AP解析式为y= kx+b,
将A(4,0)、P(2,-1)代入得: 解得
∴直线AP解析式为
∴设直线BC解析式为 将B(0,0)代入得b'=0,
∴直线BC解析式为 由 得 此时为点O，舍去)或
②当B(8,8)时,过P作PQ⊥x轴于Q,过B作BH⊥x轴于H,作H关于AB的对称点M，作直线BM交抛物线于C，连接AM，∵P(2,-1),A(4,0),∴PQ=1,AQ=2,Rt△APQ中, ∵B(8,8),A(4,0),
∴AH=4,BH=8,Rt△ABH中,
∴∠OAP=∠ABH,∵H关于AB的对称点M,∴∠ABH=∠ABM,∴∠ABM=∠OAP,即C是满足条件的点,设M(x,y),∵H关于AB的对称点M,∴AM=AH=4,BM=BH=8,
两式相减变形可得x=8-2y，代入即可解得 (此时为H，舍去)或 设直线BM解析式为y= cx+d,将 B(8,8)代入得;解得
∴直线BM解析式为 解 得 或 (此时为B，舍去)， 综上所述，C坐标为(6，3)或
(3)设BC交y轴于M,过B作BH⊥x轴于H,过M作MN⊥BH于N,如图:
∵点B的横坐标为t， 又A(4,0),∴AH=|t-4|,BH=| t -t|,OH=|t|=MN,
∵∠ABC=90°,∴∠MBN=90°-∠ABH=∠BAH,且∠N=∠AHB=90°,∴△ABH∽△BMN,
即
设直线BM解析式为
将 代入得
∴直线BC解析式为
由 得，
解得 的横坐标)，
∴点C的横坐标为
当t<0时，
时，xc最小值是12，此时t=-4,
∴当t<0时，点C的横坐标的取值范围是
第三部分：针对提高训练
练 1 如图，二次函数 的图象与x轴交于点A、B，已知A(-1,0),,与y轴交于点C(0,3),该抛物线的顶点为点D.
(1)二次函数的表达式为 ，点D的坐标为 ；
(2)连接BC.①在抛物线上存在一点 P，使得 求点P的坐标；
②若Q是抛物线上动点，则是否存在点 Q，使得 若存在，直接写出点Q的横坐标的取值范围；若不存在，说明理由.
练 2 如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，点B在点A的右侧，抛物线与y轴正半轴交于点C，连接CA、CB，已知
(1)求抛物线的对称轴与抛物线的解析式；
(2)设D为抛物线对称轴上一点，
①当 的外接圆的圆心在 的边上时，求点D的坐标；
②若 是锐角三角形，直接写出点D纵坐标的取值范围.
练 3 (花都区三模)如图，抛物线 经过A(-1,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在y轴上是否存在点 P使得 若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)点M是BC为直径的圆上的动点，将点M绕原点O顺时针旋转 得点N，连接NA，求NA的取值范围.
练 4 (顺德区二模)已知抛物线 交x轴于点A、B，交y轴于点C，顶点为D，对称轴与x轴相交于点E.
(1)直接写出 的值 ；
(2)点P在射线ED上，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；
(3)点M在线段BC下方的抛物线上，当 为锐角三角形时，求M点横坐标的取值范围.
专题17：二次函数与取值范围
【练1】解:(1)把A(-1,0),C(0,3)代入: +c,得到解得 2x+3,顶点D(1,4). 故答案为: (1,4).
(2)①如图1中，对于抛物线 ,令y=0,得到 解得x=-1或3,∴B(3,0),∵C(0,3),∴直线BC的解析式为y=-x+3,∵PD∥BC,∴直线DP 的解析式为y=-x+b,∵点D坐标为(1,4),∴4=-1+b,∴b=5,∴直线PD的解析式为y=-x+5,
由 解得 或 点P坐标为(2,3).
②如图2中，连接AD，设直线CQ交x轴于K.
当∠OCQ=∠DAB时,∵tan∠OCK=tan∠DAB=2,∴0K c=2,∵OC=3,∴OK=6,∴K(6,0),∴ 直线 CK 的解析 式为 由 解 得 或 作点K关于直线BC的对称点G(3，-3),可得直线CH的解析式为y=-2x+3,由 解得 或(4，-5)，设点Q的横坐标为t，观察图象可知，满足条件
【练2】解:(1)抛物线 根据对称轴公式，得对称轴为直线 点C坐标为(0,n), CO=BO,在RtΔCAO中, =3,即CO 由抛物线对称轴可得， 解得,n=3,将B(3,0)代入 ,得9m-12m+3=0,∴m=1，∴抛物线的解析式为：
(2)①当△BCD的外接圆的圆心在△BCD的边上时，△DCB是直角三角形，∵D为抛物线对称轴上一点，
设点D坐标为(2,a),∵点C坐标为(0,3),点B坐标为(3,0),
当点C为直角顶点，( ,解得a=5,∴点D坐标为(2,5);当点B为直角顶点， ,解得a=-1,∴点D坐标为(2,-1);
当点C为直角顶点，(
解得
∴点D坐标为
∴点D坐标为(2,5)或(2,-1)或 或
②由图形可知，当点D在D 、D 之间或在D 、D 之间时，
△BCD 是锐角三角形，设点D纵坐标为n，则 或
【练3】解:(1)将点A(-1,0),B(4,0)代入: bx+2,得 解得
(2)过点P作PH⊥BC交于点H,
设P(0,t),CH=x,∵C(0,2),B(4,0),∴BC=
∵∠OBP+∠OBC=45°,∴∠CBP=45°,∴HP=
在 RtΔCPH 中,
在 Rt△BOC 中,
P点关于x轴对称点为 此点也满足∠OBP+∠OBC=45°,
∴满足条件的P点坐标为 或
(3)当M点在B点处时
,N点在F(0,-4)处,当M点在C点处时,N点在E(2,0)处,
∵∠EOF=90°,EF=BC=2 ，可以判断N点在以EF为直径的圆上运动，连接OO'，
利用一箭穿心模型，当NA经过圆心O'时，NA有最大值和最小值,∴O'(1,-2),∵A(-1,0),
∴O'A=2 ，∴NA最大值为 NA 最小值为
【练4】解:(1 (1,-4). ∴OE=1,DE=4. 令x=0,则y=-3.
∴C(0,-3). ∴OC=3. 令y=0,则: 0. 解得:x =3,x =-1. ∴A(-1,0),B(3,0).
∴OA=1,0B=3. ∴在Rt△BCO中,tan∠ABC 故答案为：1.
(2)P为圆心,过P作PH⊥CD于H,连接PA,过点C作CF⊥DE于F,如图,
则EF=OC=3,CF=OE=1. ∴DF=DE-EF=1. ∴CF=FD. ∴△CDF为等腰直角三角形.
∴∠CDF=∠FCD=45°. ∵PH⊥CD,∴△PHD为等腰直角三角形. ∵点P在对称轴x=1上,∴设点P的坐标为(1,n).
则PE=-n,∴PD=DE-PE=4-(-n)=4+n.
∵以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，
解得： (正数不合题意，舍去).
(3)∵M在抛物线 上，∴设M(m,m -2m-3).
∵点M在线段BC下方的抛物线上，
由(2)知:∠DCG=45°,∵OB=OC=3,∴∠OCB=∠OBC=45°.
由上图可知，当M在CD下方的抛物线上时，∠MCB>90°,∴△MCB为钝角三角形.
当M与D重合时，△MCB为直角三角形.
∴若△MCB为锐角三角形，M应在直线DB下方的抛物线上.
∴m>1. ∵∠BDC为锐角,∴当点M接近点B时，∠BMC将变为钝角.
∴线段BD下方的抛物线上存在唯一的一个点M'，使∠BM'C=90°(如上图).
即点M在D与M'之间时，△BCM为锐角三角形.过M'作M'F⊥OB于F,M'H⊥OC于H,则
在Rt△M'BC中,: 3 .
整理得： 因式分解得：
解得： 或m= (不合题意，舍去).
∴当△MBC为锐角三角形时，M点横坐标的取值范围为大于1而小于

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