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专题20 二次函数新定义探究
第一部分：基础知识储备
二次函数相关新定义问题，千变万化，没有万能的方法，但是有章可循，所有新定义问题最后还是会回归到常见的数学知识和基本解题思想中，其核心考察的是数学思想和学科素养。比如新定义的阅读理解能力、基础知识的迁移能力、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想、方程函数思想。
这一类题通常以代数体系内的综合居多，比如一次函数反比例函数和二次函数的结合；二次函数图像性质区间最值应用；二次函数图像的几何变换再与直线或者线段交点问题，阴影部分面积问题等。若是二次函数与几何的综合，其重心和难点在几何，主要要熟练掌握四边形、三角形、圆相关的辅助线。
主要思路：
1、务必多读题，理解新定义概念，加深对其理解。
2、思考题目考察的本质是什么，与平常所学知识的联系与区别。
3、熟练运用常见数学思想、基本解题手段，回头再看定义。
第二部分：典型例题分析
例 1(关联抛物线)如果抛物线C 的顶点在抛物线C 上，抛物线C 的顶点也在抛物线C 上时，那么我们称抛物线C 与C “互为关联”的抛物线.如图1，已知抛物线 与 是“互为关联”的抛物线，点A，B分别是抛物线C ，C 的顶点，抛物线C 经过点D(6，-1).
(1)直接写出A，B的坐标和抛物线C 的解析式；
(2)抛物线C 上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形 如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)如图2,点F(-6,3)在抛物线C 上,点M,N分别是抛物线C ,C 上的动点,且点M,N的横坐标相同,记△AFM面积为S (当点M与点A,F重合时S =0),△ABN的面积为S (当点N与点A,B重合时， 令 ，观察图象，当 时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最大值.
【解答】由抛物线 可得A(-2,-1),将A(-2,-1),D(6,-1)代入 得 解得
(2)易得直线AB的解析式：y=x+1,
①若B为直角顶点，
直线BE解析式为y=-x+5联立 解得x=2,y=3或： ;
②若A为直角顶点，
同理得AE解析式：y=-x-3,联立
解得x=-2,y=-1或x=10,y=-13,
∴E(10,-13);
③若E为直角顶点，设
由AE⊥BE得 即
(m-2) (m-6)(m+2)=-16(m+2)(m-2),(m+2)(m-2)[(m-2)(m-6)+16]=0,∴m+2=0或m-2=0,或(m-2)(m-6)+16=0(无解),
解得m=2或-2(不符合题意舍去)，
∴点E的坐标E(6,-1)或E(10,-13);
设 且-2≤t≤2,
易求直线AF的解析式:y=-x-3,
过M作x轴的平行线MQ交AF于Q，
则
设AB交MN于点P,易知P(t,t+1),
当t=2时,S的最大值为16.
例 2(友好同轴抛物线)定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数.例如： 的友好同轴二次函数为
(1)函数 的对称轴为 直线x = \frac{1}{2}_.其友好同轴二次函数为 .
(2)已知二次函数 (其中a≠0且a≠1且 ，其友好同轴二次函数记为(
①若函数 的图象与函数 的图象交于A、B两点(点A的横坐标小于点B的横坐标)，求线段AB的长；
②当-3≤x≤0时,函数 的最大值与最小值的差为8，求a的值.
【解答】(1)函数 的对称轴为直线
因为1-(-2)=3,
所以设函数 的友好同轴二次函数为 所以 解得
所以函数 的友好同轴二次函数为
故答案为：直线
(2)①二次函数
则设C :y=(1-a)(x+2) +b=(1-a)x +4(1-a)x+4-4a+b,
所以4-4a+b=4,解得b=4a,所以(
联立 得： 解得x=0或x=-4,
当x=0时,y=4;当x=-4时,y=16a-16a+4=4,
所以A(-4,4),B(0,4),所以AB=0-(-4)=4;
②函数 的对称轴为直线x=-2，
(Ⅰ)当a<1且a≠0且 时，抛物线的开口向上，
当-3≤x≤-2时,y随x的增大而减小;当-2则当x=-2时，y取得最小值，最小值为4a，
当x=0时，y取得最大值，最大值为4，
所以4-4a=8,解得a=-1,符合题设;
(Ⅱ)当a>1时，抛物线开口向下，
当-3≤x≤-2时,y随x的增大而增大;当-2则当x=-2时，y取得最大值，最大值为4a，
当x=0时,y取得最小值,最小值为4,所以4a-4=8,
解得a=3，符合题设；综上，a的值为-1或3.
例3 (衍生抛物线)小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：
求解体验：
(1)已知抛物线 经过点(-1,0),则b= ,顶点坐标为 ,该抛物线关于点(0,1)成中心对称的抛物线表达式是 .
抽象感悟：
我们定义：对于抛物线 以y轴上的点M(0，m)为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线，则我们又称抛物线为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”.
(2)已知抛物线 关于点(0，m)的衍生抛物线为y'，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围.
问题解决：
(3)已知抛物线
①若抛物线y的衍生抛物线为 两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a，b的值及衍生中心的坐标；
②若抛物线y关于点( 的衍生抛物线为y ，其顶点为. ；关于点( 的衍生抛物线为y ， 其顶点为 ；关于点 的衍生抛物线为 ,其顶点为 An,…(n为正整数). 求. 的长(用含n的式子表示).
【解答】解：求解体验：(1)∵抛物线 经过点(-1,0),∴-1-b-3=0,∴b=-4,
∴抛物线解析式为 ∴抛物线的顶点坐标为(-2，1)，
∴抛物线的顶点坐标(-2,1)关于(0,1)的对称点为(2,1),
即：新抛物线的顶点坐标为(2，1)，令原抛物线的x=0，∴y=-3，
∴(0,-3)关于点(0,1)的对称点坐标为(0,5),
设新抛物线的解析式为
∵点(0,5)在新抛物线上,.
∴新抛物线解析式为
抽象感悟：(2)∵抛物线 ，∴抛物线的顶点坐标为(-1，6)，设衍生抛物线为
∵抛物线 关于点(0,m)的衍生抛物线为y',∴a=1,
∴衍生抛物线为
联立①②得， 整理得，
∵这两条抛物线有交点,∴10-2m≥0,∴m≤5;
问题解决：
(3)①抛物线 ∴此抛物线的顶点坐标为(-1，-a-b)，
∵抛物线y的衍生抛物线为
∵两个抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点， 联立③④,∴a=0(舍)或a=3,∴b=-3,
∴抛物线y的顶点坐标为(-1，0)，抛物线y的衍生抛物线的顶点坐标为(1，12)，
∴衍生中心的坐标为(0，6)；
②抛物线 的顶点坐标为(-1,-a-b),
∵点(-1,-a-b)关于点 的对称点为(
∴抛物线 yn的顶点坐标. 为
同理：An +2.
例4(同轴对称抛物线)定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”.
例如： 的“同轴对称抛物线”为
(1)请写出抛物线 的顶点坐标 ；及其“同轴对称抛物线” 的顶点坐标 ；写出抛物线 的“同轴对称抛物线”为 .
(2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线. 上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点B'、C',连接BC、CC'、B'C'、BB',设四边形BB'C'C的面积为S(S>0).
①当四边形BB'C'C为正方形时，求a的值.
②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内(不包括边界)共有11个横、纵坐标均为整数的点时，请求出a的取值范围.
【解答】解:(1)由 知顶点坐标为(1，-2)，由 知顶点坐标为(1，2)，
∴抛物线 的“同轴对称抛物线”为
故答案为：
(2)①当x=1l时,y=1-3a,∴B(1,1-3a),∴C(1,3a-1),∴BC=|1-3a-(3a-1)|=|2-6a|,
∵抛物线L的对称轴为直线 ∴点B'(3,1-3a),∴BB'=3-1=2,
∵四边形BB'C'C是正方形， 即 解得：a=0(舍)或
②抛物线L的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,1-4a),
∵L与“同轴对称抛物线”关于x轴对称，∴整点数也是关于x轴对称出现的，
∴封闭区域内在x轴上的整点可以是3个或5个，L与x轴围成的区域内整点个数为4个或3个，
∵L开口向上,与y轴交于点(0,1),
∴封闭区域内在x轴上只可能有3个整点，两个区域内各有4个整点，
∴当x=1时,-2≤1-3a<-1,当x=2时，-3≤1-4a<-2,解得：
综上所述：
例5 (孔像抛物线)二次函数 的图象交x轴于原点O及点A.
【感知特例】
(1)当m=1时，如图1，抛物线 上的点B，O，C，A，D分别关于点A中心对称的点为.B',O',C',A',D',如表:
B(-1,3) O(0,0) A( 2 , ) D(3,3)
… O'(4,0) A'(2,0)
①补全表格；
②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L'.
【形成概念】
我们发现形如(1)中的图象L'上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称L'是L的“孔像抛物线”.例如，当m=-2时，图2中的抛物线L'是抛物线L的“孔像抛物线”.
【探究问题】
(2)①当m=-1时，若抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为 ;
②若二次函数 及它的“孔像抛物线”与直线y=m有且只有三个交点，直接写出m的值 ;
③在同一平面直角坐标系中，当m取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数 的所有“孔像抛物线”L'都有唯一交点，这条抛物线的解析式为 .
【解答】解：(1)①∵点A是对称中心，∴点A关于点A的对称点A'就是点A本身，
故答案为:2;0;
②在坐标系内描出各点，用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L'如图：
(2)①当m=-1时,抛物线L的解析式为:
∵l>0，∴抛物线L开口向上，当x≤-1时，函数值y随着x的增大而减小，
∵A(-2,0),抛物线L的对称轴为直线x=-1,顶点为(-1,-1),
∴抛物线L的“孔像抛物线”L'的对称轴为直线x=-3，顶点为(-3，1)，
∴抛物线L的“孔像抛物线”L'的解析式为：
∵-1<0，∴抛物线L'的开口向下，当x≥-3时，函数值y随着x的增大而减小，
∴当-3≤x≤-1时，抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小，故答案为:-3≤x≤-1.
∴抛物线L的顶点坐标为 ,对称轴为直线x=m,A(2m,0),
∴抛物线L的“孔像抛物线”L'的对称轴为直线x=3m，顶点为(
∴抛物线L的“孔像抛物线”L'的解析式为： 由题意得:m≠0.
∵直线y=m是纵坐标为m且与x轴平行的直线，
二次函数 及它的“孔像抛物线”与直线y=m有且只有三个交点，
∴直线y=m必经过这两条抛物线中的一条的顶点，
当直线y=m经过( 时， 或m=0.
当直线y=m经过( 时， 或m=0.
综上,m的值为:±1或0.
∴抛物线L的顶点坐标为 对称轴为直线x=m,A(2m,0),
∴抛物线L的“孔像抛物线”L'的对称轴为直线x=3m，]顶点为
∴抛物线L的“孔像抛物线”L'的解析式为：
设这条抛物线的解析式为
令
整理得：
∵这条抛物线与抛物线L的所有“孔像抛物线”L'都有唯一交点，
展开得：
∵当m取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数 的所有“孔像抛物线”L'都有唯一交点，
∴△的取值与m无关， 解得：
∴这条抛物线的解析式可能是 故答案为：
例 6 (伴随抛物线)定义：如图，若两条抛物线关于直线x=a成轴对称，当x≤a时，取顶点x=a左侧的抛物线的部分；当x≥a时，取顶点在：x=a右侧的抛物线的部分，则我们将像这样的两条抛物线称为关于直线：x=a的一对伴随抛物线.例如：抛物线 与抛物线 就是关于直线x=0(y轴)的一对伴随抛物线.
(1)求抛物线 关于直线x=1.5的“伴随抛物线”所对应的二次函数表达式.
(2)设抛物线 交y轴于点A，交直线x=4于点B.
①求直线AB平行于x轴时的m的值.
②求 是直角时抛物线 关于直线x=4的“伴随抛物线”的顶点横坐标.
③已知点C、D的坐标分别为(8，2)、(8，0)，直接写出抛物线 及其关于直线x=4的“伴随抛物线”与矩形OACD不同的边有四个公共点时m的取值范围.
【解答】(1)∵抛物线 的顶点坐标((-13),
关于直线x=1.5的对称点坐标为(4，3)
∴“伴随抛物线”所对应的二次函数表达式为：
(2)①∵抛物线 交y轴于点A,∴点A(0,2),
∵直线AB平行于x轴，抛物线交直线x=4于点B.
∴点B(4,2),. (舍去),
②如图1和图2，
∴点B在x轴上,∴点B的坐标是(4,0),把(4,0)代,入 中，得 解得， 或
的顶点横坐标为：
即抛物线 的顶点横坐标为 或
则抛物线 关于直线x=4的“伴随抛物线”的顶点横坐标为：
或
∴“伴随抛物线”的顶点横坐标为 或
③如图3和图4，
∵点C、D的坐标分别为(8,2)、(8,0),A(0,2),抛物线 及其关于直线x=4的“伴随抛物线”与矩形OACD不同的边有四个公共点，∴点B在x轴下方，
设B(4,n),则n<0,把B(4,n)代入 中，得
∴由二次函数 图象可知，
当m<0时,若n<0,则 当m>0时，若n<0,则
又 且m≠4,故 或 且m≠4.
当点B在线段AC上时， 解得m=2,
此时抛物线的顶点的纵坐标小于0，不符合题意，
综上所述，满足条件的m的值为 或 且m≠4.
例7(美丽抛物线)如图，抛物线 的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以AC为对角线的正方形ABCD的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为美丽抛物线，正方形ABCD为它的内接正方形.
(1)当抛物线 是美丽抛物线时，则 ；当抛物线 是美丽抛物线时，则k= ;
(2)若抛物线 是美丽抛物线时，则请直接写出a，k的数量关系；
(3)若 是美丽抛物线时，(2)a，k的数量关系成立吗 为什么
(4)系列美丽抛物线 (n为小于7的正整数)顶点在直线 上，且它们中恰有两条美丽抛物线内接正方形面积比为1：16.求它们二次项系数之和.
【解答】(1)函数 的图象如下：
①抛物线 是美丽抛物线时，则AC=1,
∵四边形ABCD为正方形，则点D的坐标为
将点D的坐标代入 得： 解得a=-2;
②同理可得，点D的坐标为
将点D的坐标代入 得：
解得k=0c=0(不合题意)或-4;
(2)由(1)知,点D的坐标为 将点D的坐标代入 得 解得ak=-2;
(3)答:成立.
∵美丽抛物线沿x轴向右或向左平移后得到的抛物线仍然是美丽抛物线.
∴美丽抛物线 沿x轴经过适当平移后为抛物线
(4)设这两条美丽抛物线的顶点坐标分别为 和 (k，m为小7的正整数，且k∴这两条美丽抛物线分别为 和
第三部分：针对提高训练
练 1 新定义：我们把抛物线 (其中ab≠0)与抛物线 称为“关联抛物线”.
例如：抛物线 的“关联抛物线”为 已知抛物线 (a>0)的“关联抛物线”为( 与y轴交于点E.
(1)若点E的坐标为((0,-1),求 的解析式；
(2)设 的顶点为F，若 是以OF为底的等腰三角形，求点E的坐标；
(3)过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线( 于点M,N.
①当.MN=6a时，求点P的坐标；
②当a-4≤x≤a-2时， 的最大值与最小值的差为2a，求a的值.
练 2【概念感知】
我们把两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的二次函数称为“友好对称二次函数”.例如： 的“友好对称二次函数”为
【特例求解】
的“友好对称二次函数”为 ；y = \frac{1}{3}x^{2} + x - 5的“友好对称二次函数”为 ；
【性质探究】
(2)关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是 .(请填入正确的序号)
①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数；
②二次项系数为 的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身；
的“友好对称二次函数”为
④任意两个“友好对称二次函数”与y轴一定有交点，与x轴至少有一个二次函数有交点.
【拓展应用】
(3)如图，二次函数 与其“友好对称二次函数”L 都与y轴交于点A，点B，C分别在 上，点B，C的横坐标均为m(0①若a=3,且四边形.BB'C'C为正方形，求m的值；
②若m=1,，且四边形.BB'C'C邻边之比为1：2，直接写出a的值.
练 3 我们定义：对于抛物线 ，以y轴上的点M(0，m)为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y'，则我们又称抛物线y'为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”.
(1)已知抛物线 经过点(-1,0),则b= ,顶点坐标为 .该抛物线关于点(0,1)成中心对称的抛物线的表达式是 .
(2)已知抛物线 关于点(0，m)的衍生抛物线为y'，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围.
(3)已知抛物线
①若抛物线y的衍生抛物线为 ，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a、b的值及衍生中心的坐标；
②若抛物线y关于点(0，k+1 )的衍生抛物线为y ，其顶点为A ；关于点( 的衍生抛物线为y ， 其顶点为A ；关于点( 的衍生抛物线为 yn，其顶点为 An，···(n为正整数).求 的长(用含n的式子表示).
练4 在平面直角坐标系中，有系列抛物线 (n为正整数).系列抛物线的顶点分别为
(1)下列结论正确的序号是 .
①系列抛物线的对称轴是直线
②系列抛物线有公共交点((-4,1)和(1,1);
③系列抛物线都是由抛物线 平移所得；
④任意两条相邻抛物线顶点的距离相等；
(2)对于任意一条与x轴垂直的直线x=a,a，与系列抛物线的交点分别为.
①当a=0时，
②试判断相邻两点之间的距离是否相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离. ；若不相等，说明理由；
③以 为边作正方形，若正方形的另两个点落在对称轴上，求a的值.
练5 我们把抛物线： 为正整数)称为“拉手系列抛物线”，为了探究它的性质，某同学经历如下过程：
(特例求解)
(1)当n=1时，抛物线y 的顶点坐标是 ；与x轴的交点坐标是 ；
(2)当n=2时，抛物线y 的顶点坐标是 ；与x轴的交点坐标是 ；
(3)当n=3时，抛物线y 的顶点坐标是 ；与x轴的交点坐标是 ；
(性质探究)
(4)那么抛物线： 为正整数)的下列结论正确的是 (请填入正确的序号).
①抛物线与x轴有两个交点；
②抛物线都经过同一个定点；
③相邻两支抛物线与x轴都有一个公共的交点；
④所有抛物线 yn的顶点都在抛物线 上.
(知识应用)
若“拉手系列抛物线”： 为正整数)，y 与x轴交于点O，. 顶点为 与x轴交于点A ,A ,顶点为D ,…, yn与x轴交于点. ，顶点为
(5)求线段, 的长(用含n的式子表示).
(6)若△D OA 的面积与 的面积比为1：125，求y 的解析式.
专题20：二次函数新定义探究
【练1】解:(1)∵C 与y轴交点的坐标为E(0,
的解析式为：
(2)根据新定义可得 的解析式为：
的顶点F的坐标为(-2,-3).∴点E(0,4a-3).OE的中点坐标为：
设OE垂直平分线的解析式为： 代入中点坐标得： 解得b=
∴点E的坐标为
(3)①设点P的横坐标为m.
∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线C ，C 于点M,N,
+4a-3).
解得m=-1或m=2. ∴P(-1,0)或(2,0).
.当x=-2时,y=-3. 当x=a-4 时,
当x=a-2时,
根据题意可知，需要分三种情况讨论：
Ⅰ. 当a-4<-2解得 或 (舍)或a=0(舍);
当1Ⅱ. 当-2≤a-4≤a-2时, 3]=2a,
解得 (舍)或a=0(舍);
Ⅲ. 当a-4≤a-2≤-2时,a≤0,不符合题意，舍去.综综以上分析，a的值为 或2一
【练2】解: ∴函数y= 的“友好对称二次函数”为
∴函数y= 的“友好对称二次函数”为y=
故答案为：
(2)∵1-1=0，∴二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”；
∴二次项系数为 的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身；
由定义， 的“友好对称二次函数”为 (这里缺少条件a≠1),故③错误;
若 则其“友好对称二次函数”为
此时这两条抛物线与x轴都没有交点，故答案为:①②;
(3)二次函数 的对称轴为直线 其“友好对称二次函数”.L :y
①∵a=3,∴二次函数. 二次函数 ∴点B的坐标为(m， 点C的坐标为 +1),
∴点B'的坐标为 ,点C'的坐标为
∵四边形BB'C'C为正方形,∴BC=BB',即 解得： (不合题意，舍去)，∴m的值为
②当m=1时,点B的坐标为(1,-3a+1),点C的坐标为(1,3a-2),
∴点B'的坐标为(3,-3a+1),点C'的坐标为(3,3a-2),∴BC=|3a-2-(-3a+1)|=|6a-3|,BB'=3-1=2. ∵四边形BB'C'C的邻边之比为1:2,∴BC=2BB'或BB'=2BC,即|6a-3|=2×2或2=2|6a-3|,解得:a = ∴a的值为 或 或 或
【练3】解:(1)∵抛物线 经过点(-1,0),∴-1-b-3=0,∴b=-4,
∴抛物线解析式为 +1,∴抛物线的顶点坐标为(-2,1),
∴抛物线的顶点坐标(-2，1)关于(0，1)的对称点为(2,1),
即：新抛物线的顶点坐标为(2,1), -3中,令x=0,∴y=-3,
∴(0,-3)关于点(0,1)的对称点坐标为(0,5),
设新抛物线的解析式为 ∵点(0，5)在新抛物线上， 1,
∴新抛物线解析式为 +5，故答案为
(2)∵抛物线
①,∴抛物线的顶点坐标为(-1,6),设衍生抛物线为
∵抛物线 关于点(0，m)的衍生抛物线为y',∴a=1,
∴衍生抛物线为 2x+2m-5②,
联立①②得， 整理得，
∵这两条抛物线有交点,∴10-2m≥0,∴m≤5;
(3)①抛物线 -b，∴此抛物线的顶点坐标为((-1,-a-b),
∵抛物线y的衍生抛物线为 ③
∵两个抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，
联立③④,∴a=0(舍)或a=3,∴b=-3,
∴抛物线y的顶点坐标为(-1，0)，抛物线y的衍生抛物线的顶点坐标为(1，12)，∴衍生中心的坐标为(0,6);
②抛物线 的顶点坐标为(-1，-a-b),
∵点(-1,-a-b)关于点(0,k+n )的对称点为(1,a+b+2k+2n ),
∴抛物线 yn的顶点坐标 An为(1,a+b+2k+2n ),同理:An+ (1,a+b+2k+2(n+1) )
【练4】解：(1)系列抛物线的对称轴是直线x= 故①正确；
4)+1,令 解得x=-4或x=1,∴系列抛物线有公共交点为(-4,1),(1,1),故②正确；
∵系列抛物线二次项的系数为 与抛物线 的系数不同，
∴系列抛物线不是由抛物线 平移所得，故③错误；
∴系列抛物线的顶点坐标为
即任意两条相邻抛物线顶点的距离都等于 故④正确；综上，正确的有①②④,
(2)当x=a时,
①当a=0时, 故答案为：1；
②相邻两点之间的距离相等，距离为
③∵系列抛物线的对称轴是直线
当a<-4时,
整理得， 解得 (舍去)或
当 时， -a,
整理得， 解得 或 (舍去);
当 时， 整理得， 解得 或 (舍去);
当a>1时,
整理得 解得 (舍去)或
综上，a的值为 或 或 或
【练5】解：(特例求解)对于 函数的对称轴为直线 当x=n2时, 故顶点坐标为(n ,n ),
令 解得 或
故当n=1时，顶点坐标为(1，1)；与x轴的交点为(0,0),(2,0);
当n=2时，顶点坐标为(4，4)；与x轴的交点为(2,0),(6,0);
当n=3时，顶点坐标为(9，9)；与x轴的交点为(6,0),(12,0);
故答案为:(1)(1,1);(0,0),(2,0);(2)(4,4);(2,0),(6,0);(3)(9,9);(6,0),(12,0);
(性质探究)
故抛物线与x轴有两个交点正确，符合题意；
②从特例求解看，抛物线都经过同一个定点不正确，故不符合题意；
③从特例求解看，相邻两支抛物线与x轴都有一个公共的交点正确，符合题意；
④从顶点坐标看，所有抛物线 yn的顶点都在抛物线y=x上，故④不正确，不符合题意；故答案为:①③;
(知识应用)
(5)由(特例求解)知顶点坐标为(n ，n )，抛物线和x轴交点的坐标为 或 则 An- An 的长：
(6)由(5)知,△D A - A 的顶点坐标为(k ,k ),A - A 的长=2k,
∵△D OA 的面积 ×1=1,而△D OA 的面积与 的面积比为1:125,则△D A A 的面积 解得k=5,即n=k=5，故抛物线的表达式为 600.

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