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5 三元一次方程组
【北师大版·八年级上册】
01
经历三元一次方程组解法的探索过程，进一步体会“化未知为已知”的化归思想.
02
会用代入消元法和加减消元法解三元一次方程组，进一步体会“消元”的思想.
学习目标
复习导入
1.含有______未知数，并且_________________的次数是一次的_______方程叫作二元一次方程.
2.共含有____________的两个___________所组成的一组方程，叫作二元一次方程组.
3.二元一次方程组中各个方程的__________叫作这个二元一次方程组的解.
两个
一次方程
所含未知数的项
整式
两个未知数
公共解
4. 解二元一次方程组有哪几种方法？
代入消元法和加减消元法
消元
5. 解二元一次方程组的基本思路是什么？
二元一次方程组
一元一次方程
代入
加减
化二元为一元
化归转化思想
题目大意：有上禾3束，中禾2束，下禾1束，可得米39斗；上禾2束，中禾3束，下禾1束，可得米34斗；上禾1束，中禾2束，下禾3束，可得米26斗. 上、中、下禾每束各可得米多少斗？
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗. 问：上、中、下禾实一秉各几何？（选自《九章算术》）
如何解决这个问题呢？
知识点一
三元一次方程（组）的概念
新课探究
题目大意：有上禾3束，中禾2束，下禾1束，可得米39斗；上禾2束，中禾3束，下禾1束，可得米34斗；上禾1束，中禾2束，下禾3束，可得米26斗. 上、中、下禾每束各可得米多少斗？
分析：设每束上禾可得米x斗，每束中禾可得米y斗，每束下禾可得米z斗.
3x + 2y + z = 39
2x + 3y + z = 34
x + 2y + 3z = 26
观察列出的三个方程，你有什么发现？
②含有三个未知数
③未知数的次数都是1
3x + 2y + z = 39
2x + 3y + z = 34
x + 2y + 3z = 26
①都是整式
你能根据二元一次方程的定义，试着给上述三个方程下定义吗？
含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作三元一次方程.
那么方程组 应该叫作什么方程组？
3x + 2y + z = 39
2x + 3y + z = 34
x + 2y + 3z = 26
①
②
③
三元一次方程组：
三元一次方程组必须满足的三个条件：
共含有三个不相同的未知数.
未知数的项的次数都是1.
共有三个一次方程.
共含有三个未知数的三个一次方程所组成一组方程.
< 针对训练 >
下面方程组为三元一次方程组的是（ ）
C
知识点二
三元一次方程组的解法
三元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个三元一次方程组的解.
怎么解三元一次方程组？
3x + 2y + z = 39
2x + 3y + z = 34
x + 2y + 3z = 26
①
②
③
能不能像解二元一次方程组一样“消元”，把“三元”化为“二元”呢？
解方程组：
3x + 2y + z = 39
2x + 3y + z = 34
x + 2y + 3z = 26
①
②
③
解：由①得 z = 39 - 3x - 2y . ④
把④分别代入②③并化简，得
x - y = 5 ⑤
8x + 4y = 91 ⑥
解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得
x =
y =
把 x = ， y = 代入④，得 z =
经检验， x = ， y = ，z = 满足原方程组.
所以原方程组的解是
y =
z =
x =
检验时可以口算或在草稿纸上演算，以后可以不写.
“三元”化为“二元”
（1）解上面的方程组时，你能用代入消元法先消去未知数 x（或 y），从而得到方程组的解吗？
（2）你还有其他方法吗？与同伴交流各自的解法，并思考不同方法之间的区别和联系.
尝试·交流
回顾二元一次方程组和三元一次方程组的求解过程，说说求解三元一次方程组的基本思路，并与同伴进行交流.
解三元一次方程组的基本思路仍然是“消元”——把“三元”化为“二元”，再化为“一元”.
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
思考·交流
消元
消元
知识点三
用三元一次方程组求解实际问题
小明从家到学校的路程为3.3 km，其中有一段上坡路、平路和下坡路.如果保持上坡路每小时行3 km，平路每小时行4 km，下坡路每小时行5 km，那么小明从家到学校要1 h，从学校到家要44 min.小明从家到学校经过的上坡路、平路、下坡路各是多少千米
上坡路 + 平路 + 下坡路 = 3.3km
从家到学校：上坡时间 + 平路时间 + 下坡时间 = 1h
从学校到家：上坡时间 + 平路时间 + 下坡时间 = h
等量关系
解：设小明从家到学校经过的上坡路是 x km，平路是 y km，下坡路是 z km.
x + y + z = 3.3，
根据题意，得 解得
答：小明从家到学校经过的上坡路是2.25 km，平路是0.8 km，下坡路是0.25 km.
1. 已知 |x - 6y| + 2(4y - 1)2 + |3x - 6z| = 0，则 x + y + z = .
2. 解方程组
要使运算简便，消元应选（ ）
A. 先消x B. 先消y
C. 先消z D. 先消常数项
2x-y+3z=3，
-4x+y+2z=11，
5x+y+7z=1.
B
随堂演练
3. 某次知识竞赛共出了30个试题，评分标准如下:
答对一题加4分，答错一题扣1分，不答记0分，已知小刚同学不答的题比答错的多3题，他的总分为81分，则他答对了（ ）
A.19题 B.20题
C.21题 D.22题
C
4. 解方程组：
x+y+z = 26，
x-y = 1，
2x-y+z = 18.
x = 10 ，
y = 9 ，
z = 7 .
【选自教材P136 随堂练习 第1题】
5. 一个三位数，各数位上的数字之和是14，个位数字、百位数字的和等于十位数字，百位数字的7倍比个位数字、十位数字的和大2. 求这个三位数.
【选自教材P136 随堂练习 第2题】
等量关系
列方程组求解
个位数字 + 十位数字 + 百位数字 = 14
十位数字 = 个位数字 + 百位数字
7×百位数字 - 2 = 十位数字 + 个位数字
分析：
解：设个位数字是 x，十位数字是 y，百位数字是 z，
x+y+z=14 ， ① x=5,
由题意得 x+z=y ， ② 解得 y=7,
7z=x+y+2 ， ③ z=2.
所以，这个三位数是275.
间接设元法
不直接设要求的三位数，而是分别设百位、十位、个位上的数字为未知数.
解三元一次方程组的基本思路：
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
“代入”或“加减”
“代入”或“加减”
课堂小结
1.阅读教材P136阅读·思考内容；
2.从课后习题中选取；
3.完成练习册本课时的习题.
课后作业

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