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2025-2026学年江西省景德镇市乐平中学高三（上）9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合 = { | = log2( 1)}， = { | 2 6 ≤ 0}，( ) ∩ =( )
A. ( 2,1] B. [ 2,1] C. [ 2,1) D. [1,3]
2.“ > ”是“ 2 > 2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.将函数 = 2 ( 3 ) cos(

6 + )( ∈ )的图象向右平移4单位，所得图象对应的函数的最小值等于
( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 5
4 = 3 , cos( ) = 1 0 < < 3 , 0 < < 3 .已知 3 3，且 4 4，则 =( )
A. 2 39 B.
5 3 3 5 3 3
9 C. 3 D. 9 或 3
5.已知定义在 上的函数 ( )满足 ( ) = ( )，且当 ∈ ( ∞,0)时， ( ) + ′( ) < 0 成立，若 =
(20.1) (20.1)， = ( 2) ( 2)， = ( 12 8 ) (
1
2 8 )，则 ， ， 的大小关系是( )
A. > > B. > > C. < < D. > >
6.已知直线 = + 与曲线 ( ) = 2 + 2 + 相切于点 (1,4)，则 + + =( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7.若 ( ) = ln| 12 1 + | + 为奇函数，则 (1) =( )
A. 3 B. 2 C. 3 D. 2
8.已知定义在 上的函数 = ( )对任意的 满足 ( + 1) = ( )，当 1 ≤ < 1， ( ) = 3，函数 ( ) =
| |, > 0
1 , < 0 ，若函数 ( ) = ( ) ( )在[ 6, + ∞)上有 6 个零点，则实数 的取值范围是( )
A. (0, 1 1 1 1 1 17 ) ∪ (7, + ∞) B. ( 9 , 7 ] ∪ [7,9) C. [ 9 , 7 ) ∪ (7,9] D. [ 9 , 1) ∪ (1,9]
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 > 0， > 0，且 + 2 = 2，则( )
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A. 的最小值是 1 B. 2 + 2 4的最小值是5
C. 2 + 4 1 2的最小值是 4 D. + 的最小值是 5
10.函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, < < 0)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. = 3
B. ( )的周期 =
C. ( ) 13 图象关于点( 12 , 0)对称
D. ( )在区间( 2 ,

3 )上递减
( 1 11 ( ) = 2 ) 1, 0,.已知函数 若关于 的方程 ( ) = 有 3 个实数解 1， 2， 3( 1 < 2 < 3)，则
( 2), > 0.
( )
A. 1 + 2 < 0
B. 1 < 1 + 2 + 3 < 2
C. 1 < 1 2 3 <
1
2
D.关于 的方程 ( ) = ( )恰有 3 个实数解
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12 2
2 1
.化简：tan( 4 )sin
2( 4+ )
= ______．
13.定义：如果函数 = ( ) [ , ] ∈ ( , ) ( ) = ( ) ( )在区间 上存在 0 满足 0 ，则 0称是函数 = ( )在
区间[ , ]上的一个平衡点.已知 ( ) = 9 2 3 在[0,1]上存在平衡点，则实数 的取值范围是______．
14.设函数 ( )是定义在整数集 上的函数，且满足 (0) = 1， (1) = 0，对任意的 ， ∈ 都有 ( + ) +
(12 2 2 2 ( ) = 2 ( ) ( ) +2 + +2023 +2024 )，则 (12)+ (22)+ + (20232)+ (20242) = ______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 ∈ ，命题 ： ∈ [1,2]， ≤ 2；命题 ： 0 ∈ ， 20 + 2 0 ( 2) = 0．
(1)若 是真命题，求 的最大值；
(2)若 、 中有且只有一个是真命题，求 的取值范围．
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16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3sin2 + 32 ．
(1) ∈ [ 若存在 3 ,

6 ]，使得 ( ) ≥ 成立，则求 的取值范围；
(2)将函数 ( ) 1的图象上每个点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的2，得到函数 ( )的图象，求函数 = ( ) +
1 [ , 2在区间 2 2 ]内的所有零点之和．
17.(本小题 15 分)
1
已知函数 ( ) = 2 + 2 ( ∈ 且 ≠ 0)是偶函数．
(1)求实数 的值；
(2)若 ( ) = ( ) 2 2 ，且对于 ∈ ，不等式 (
2 34 ) + (
2 + 2 + 4) > 0 恒成立，求整数
的取值集合．
18.(本小题 17 分)
在△ 中，三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 2 + 2 + = 2．
(Ⅰ)求角 ；
(Ⅱ)将射线 绕点 旋转 90°交线段 于点 ，已知 = 1．
( )若 = 3，求 ；
( )求△ 面积的最小值．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = + 1 2 ( + 1) + 32 2 ( ≠ 0)．
(1)求函数 ( )的单调区间；
(2)当 = 1 时，若 ( 1) + ( 2) = 0，求证： 1 + 2 ≥ 2；
(3)求证：对于任意 ∈ 都有 2 ( + 1) + 1 2 =1 ( ) > ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2
13.( 5, 1)
14. 11012
15.解：(1)根据题意，若 是真命题，即 ≤ 2( ∈ [1,2])恒成立，
当 ∈ [1,2]时， 2的最小值为 1，
所以 ≤ 1，即 的最大值为 1；
(2)若 是真命题， = (2 )2 + 4( 2) ≥ 0，解得 ≤ 2 或 ≥ 1，
由已知 、 一真一假，
≤ 1若 真 假，则 2 < < 1 2 < < 1，
> 1
若 假 真，则 ≤ 2 或 ≥ 1 > 1，
综上， > 1 或 2 < < 1，
故 的取值范围为{ | > 1 或 2 < < 1}．
16.解：(1) ( ) = 12 2 +
3
2 2 = sin(2 + 3 )，
若存在 ∈ [ , 3 6 ]，使得 ( ) ≥ 成立，则只需 ( ) ≥ 即可，
∵ 3 ≤ ≤ 6，
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∴ 3 ≤ 2 +
≤ 2 3 3，
∴ 2 + 当 3 =

2，
= 即 12时， ( )有最大值 1，
∴ ≤ 1，
(2) ∵ 1将函数 ( )的图象上每个点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的2，得到函数 ( )的图象，
∴ ( ) = sin(4 + 3 )，
∵ ( ) + 12 = 0，
∴ sin(4 + ) = 13 2，
∵ sin(4 + 1 3 ) = 2 在[ 2 , 2 ]上有 4 个零点， 1， 2， 3， 4，
4 + 1 3+4

2+3 4 +
+4 + 3 4
根据对称性有 2 = 2，
3 3
2 =
3
2，
∴ 1 + 2 +

3 + 4 = 6．
17.
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2 2
18.解：(Ⅰ)根据 2 + 2 + = 2，由余弦定理得 = +
2 1，
2 = 2
因为 ∈ (0, ) 2 ，所以 = 3；
(Ⅱ)( ) 2 由∠ = 3且 ⊥ ，可知∠ =
2
3
= 2 6．
在△ 中， = 3，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos∠ = 1 + 3 2 × 1 × 3 × 32 = 1，
所以 = ，可得∠ = ∠ = 6，
∠ = 2

又因为 3，所以
∠ = 6，可得 = = 3；
( ) ∠ = 2 ⊥ ∠ = 2 由 3且 ，可知 3 2 = 6，
1 1 1因为 △ = △ + △ ，所以2 ∠ = 2 + 2 ∠ ，
= 1 1 2 结合 ，可得2 3 =
1
2 +
1 3 8
2 6，整理得 2 = +
1
2 ≥ 2
1
2 = 2 ，解得 ≥ 3．
1
当且仅当 = 2 ，即 =
4 3，
3 =
2 3时，等号成立，
3
因此， △ =
1 2 = 3 ≥ 3 8 = 2 3，即△ 面积的最小值为2 3．2 3 4 4 3 3 3
19.解：(1)函数 ( )的定义域是(0, + ∞)．
2
( ) = + 1 = ( +1) + = ( 1)( )由已知得， ′ ．
①当 < 0 时，当 0 < < 1 时， ′′( ) < 0，当 > 1 时， ′( ) > 0，
所以 ( )的单调递减为(0,1)，单调递增区间为(1, + ∞)；
②当 0 < < 1 时，当 0 < < 或 > 1 时， ′( ) > 0， ( )单调递增，当 < < 1 时， ′( ) < 0，
所以函数 ( )的单调递增区间为(0, )和(1, + ∞)，单调递减区间为( , 1)；
③当 = 1 时，当 > 0 时， ′( ) > 0，所以 ( )的单调递增区间为(0, + ∞)，无递减区间；
④当 > 1 时，当 0 < < 1 或 > 时， ′( ) > 0，当 1 < < 时， ′( ) < 0，
所以函数 ( )的单调递减为(1, )，单调递增区间为(0,1)和( , + ∞)．
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综上，当 < 0 时，函数 ( )的单调递减为(0,1)，单调递增区间为(1, + ∞)；
当 0 < < 1 时，函数 ( )的单调递增区间为(0, )和(1, + ∞)，单调递减区间为( , 1)；
当 = 1 时，函数 ( )的单调递增区间为(0, + ∞)，无递减区间；
当 > 1 时，函数 ( )的单调递减为(1, )，单调递增区间为(0,1)和( , + ∞)．
(2)证明：当 = 1 时， ( ) = + 1 2 32 2 + 2，
由(1)知，函数 ( )在(0, + ∞)单调递增且 (1) = 0；
( ) = ( ) + (2 ) = + 1令 22 2 +
3
2 + ln(2 ) +
1
2 (2 )
2 2(2 ) + 32
= (2 ) + 2 2 + 1 = ln(1 ( 1)2) + ( 1)2，
令( 1)2 = ∈ (0,1]，从而 ln(1 ) + ≤ 1 1 + = 0，
所以 ( ) = ( ) + (2 ) ≤ 0 恒成立，
设 0 < 1 < 1 < 2， ( 1) + (2 1) ≤ 0 ( 1) ≥ (2 1) ( 2) ≥ (2 1)
2 ≥ 2 1 1 + 2 ≥ 2．
(3) 1 3证明：由(2)知： > 1 时 ( ) = + 22 2 + 2 > (1) = 0，
即 2 + 2 4 + 3 = 2 + ( 2)2 1 > 0，
故 2 + ( 2)2 > 1 在 > 1 时恒成立；
2 2所以 1+ (2 2)
2 = 2 21 + (
0 2
1 ) > 1，
2 3 3 2 3 1 22 + ( 2 2) = 2 2 + ( 2 ) > 1，
2 43 + (
4
3 2)
2 = 2 4 2 23 + ( 3 ) > 1，
…
2 +1 + ( +1 2)
2 = 2 +1 1 2 + ( ) > 1，
1
相加得：2 ( + 1) + =1 ( )
2 > ．
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