资源简介

1.1 认识实数
学习目标
了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应。
会对实数按照一定的标准进行分类，培养分类能力。
掌握实数的相反数、绝对值、倒数等概念，并能进行相关运算。
理解有理数的运算律和运算法则在实数范围内仍然适用，并能运用它们进行实数的运算。
知识点讲解
（一）无理数
定义：无限不循环小数叫做无理数。
例如：，等都是无理数。
注意：常见的无理数有三种形式：
开方开不尽的数，如，等。
含有的数，如，，等。
有规律但不循环的无限小数，如（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1）。
（二）实数
定义：有理数和无理数统称为实数。
实数的分类
按定义分类：
有理数：整数（正整数、(0)、负整数）和分数（正分数、负分数）统称为有理数。
无理数：无限不循环小数。
按正负分类：
正实数：正有理数（正整数、正分数）和正无理数。
(0)。
负实数：负有理数（负整数、负分数）和负无理数。
（三）实数与数轴的关系
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的。
在数轴上，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。
（四）实数的相关概念
相反数：实数 (a) 的相反数是 (-a)，(a) 与 (-a) 互为相反数。例如，的相反数是，(0) 的相反数是 (0)。
绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；(0) 的绝对值是 (0)
倒数：如果，那么 (a) 的倒数是。例如，的倒数是，(3) 的倒数是。
（五）实数的运算
有理数的运算律和运算法则在实数范围内仍然适用。
加法交换律：。
加法结合律：。
乘法交换律：。
乘法结合律：。
乘法分配律：。
实数的运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。
例题解析
（一）无理数的判断
下列数中，哪些是无理数？
(3.14159)，，，(0)，，（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1），，
解析：
(3.14159) 是有限小数，属于有理数。
是分数，属于有理数。
是开方开不尽的数，属于无理数。
(0) 是整数，属于有理数。
，是整数，属于有理数。
（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1）是有规律但不循环的无限小数，属于无理数。
，是整数，属于有理数。
是含有的数，属于无理数。
所以无理数有，（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1），。
（二）实数的分类
将下列实数按要求分类：
(-3)，，，(0)，，，(3.14)，，，
正实数：
负实数：
有理数：
无理数：
解析：
先对部分数化简：，。
正实数：，，，(3.14)，，
负实数：(-3)，，
有理数：(-3)，，(0)，，(3.14)，，
无理数：，，
（三）实数的相关概念
求下列各数的相反数、绝对值和倒数。
（1）
（2）
解析：
（1）的相反数是；
绝对值是；
倒数是。
（2）的相反数是；
绝对值是；
倒数是。
（四）实数的运算
计算：
（1）
（2）
解析：
（1）
（2）
巩固练习
（一）选择题
下列实数中，是无理数的是（ ）
A. (0)
B.
.
. (-3)
的相反数是（ ）
A. (3)
B. (-3)
C.
.
下列说法正确的是（ ）
A. 无限小数都是无理数
B. 带根号的数都是无理数
C. 无理数都是无限小数
D. 有理数只是有限小数
（二）填空题
写出一个大于 (2) 且小于 (3) 的无理数：______。
的绝对值是______，的倒数是______。
比较大小：。
（三）解答题
计算：
已知 (a) 是的整数部分，(b) 是的小数部分，求的值。
巩固练习答案
（一）选择题
答案：C
解析：(0) 是整数，属于有理数；是分数，属于有理数；是开方开不尽的数，属于无理数；(-3) 是整数，属于有理数，所以选 C。
答案：B
解析：，(3) 的相反数是 (-3)，所以选 B。
答案：C
解析：无限不循环小数才是无理数，无限循环小数是有理数，所以 A 错误；带根号且开方开不尽的数才是无理数，如是有理数，所以 B 错误；无理数是无限不循环小数，所以无理数都是无限小数，C 正确；有理数包括有限小数和无限循环小数，所以 D 错误，选 C。
（二）填空题
答案：（答案不唯一）
解析：因为，，所以大于且小于的无理数如满足条件。
答案：；
解析：正数的绝对值是它本身，所以的绝对值是；的倒数是。
答案：>
解析：因为，，所以。
（三）解答题
解析：
解析：
因为 (4<7<9)，所以，即，所以 ，。1.1 认识实数
学习目标
了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应。
会对实数按照一定的标准进行分类，培养分类能力。
掌握实数的相反数、绝对值、倒数等概念，并能进行相关运算。
理解有理数的运算律和运算法则在实数范围内仍然适用，并能运用它们进行实数的运算。
知识点讲解
（一）无理数
定义：无限不循环小数叫做无理数。
例如：，等都是无理数。
注意：常见的无理数有三种形式：
开方开不尽的数，如，等。
含有的数，如，，等。
有规律但不循环的无限小数，如（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1）。
（二）实数
定义：有理数和无理数统称为实数。
实数的分类
按定义分类：
有理数：整数（正整数、(0)、负整数）和分数（正分数、负分数）统称为有理数。
无理数：无限不循环小数。
按正负分类：
正实数：正有理数（正整数、正分数）和正无理数。
(0)。
负实数：负有理数（负整数、负分数）和负无理数。
（三）实数与数轴的关系
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的。
在数轴上，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。
（四）实数的相关概念
相反数：实数 (a) 的相反数是 (-a)，(a) 与 (-a) 互为相反数。例如，的相反数是，(0) 的相反数是 (0)。
绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；(0) 的绝对值是 (0)
倒数：如果，那么 (a) 的倒数是。例如，的倒数是，(3) 的倒数是。
（五）实数的运算
有理数的运算律和运算法则在实数范围内仍然适用。
加法交换律：。
加法结合律：。
乘法交换律：。
乘法结合律：。
乘法分配律：。
实数的运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。
例题解析
（一）无理数的判断
下列数中，哪些是无理数？
(3.14159)，，，(0)，，（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1），，
（二）实数的分类
将下列实数按要求分类：
(-3)，，，(0)，，，(3.14)，，，
正实数：
负实数：
有理数：
（三）实数的相关概念
求下列各数的相反数、绝对值和倒数。
（1）
（2）
（四）实数的运算
计算：
（1）
（2）
巩固练习
（一）选择题
下列实数中，是无理数的是（ ）
A. (0)
B.
.
. (-3)
的相反数是（ ）
A. (3)
B. (-3)
C.
.
下列说法正确的是（ ）
A. 无限小数都是无理数
B. 带根号的数都是无理数
C. 无理数都是无限小数
D. 有理数只是有限小数
（二）填空题
写出一个大于 (2) 且小于 (3) 的无理数：______。
的绝对值是______，的倒数是______。
比较大小：。
（三）解答题
计算：
已知 (a) 是的整数部分，(b) 是的小数部分，求的值。

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