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2.3.1 乘方
有理数乘方的概念
1．45表示（　　）
A．4个5相乘 B．5个4相乘
C．5与4的积 D．5个4相加的和
【答案】B
【解析】解：45表示5个4相乘．
故选：B．
2．代数式可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了乘方的意义：表示几个相同因数的积的运算；由乘方的意义即可求解．
【解析】解：，
故选：C．
3．比较和，下列说法正确的是（ ）
A．它们底数相同，指数也相同 B．它们底数相同，但指数不相同
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查有理数乘方计算，乘方定义：根据乘方的底数及指数定义判断A，B；计算乘方，由此判断C，D．
【解析】，，
∴它们底数不相同，指数相同，，
故A，B，D错误，C正确；
故选：C．
4．对于式子，下列说法不正确的是（ ）
A．指数是3 B．底数是 C．结果为 D．表示3与相乘
【答案】D
【分析】本题考查有理数的乘方，根据有理数的乘方的定义解答．
【解析】解：式子中：
指数是3，故A选项正确；
底数是，故B选项正确；
结果为，故C选项正确；
表示3个相乘，故D选项错误；
故选D．
5．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么．
(1) (2) (3)
【答案】(1)底数是，指数是3
(2)底数是，指数是4
(3)底数是m，指数是
【分析】本题主要考查了乘方的意义，解题的关键是掌握乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．表示n个a相乘．
（1）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可；
（2）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可；
（3）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可．
【解析】（1）解：，底数是，指数是3．
（2）解：，底数是，指数是4．
（3）解：，底数是m，指数是．
有理数乘方的运算
6．下列各式中，正确的是 ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据有理数的乘方法则逐项判断即可得．
【解析】解：A、，则此项错误，不符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；C、，则此项错误，不符合题意；
D、，则此项正确，符合题意；故选：D．
7．下列各对数中，数值相等的是（　　）
A．﹣27与（﹣2）7 B．﹣32与（﹣3）2
C．3×23与32×2 D．﹣（﹣3）2与（﹣2）3
【答案】A
【解析】解：A、﹣27＝（﹣2）7＝﹣128，相等，符合题意；
B、﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，不相等，不合题意；
C、3×23＝24，32×2＝18，不相等，不合题意；
D、﹣（﹣3）2＝﹣9，（﹣2）3＝﹣8，不相等，不合题意，
故选：A．
8．已知，，，求
【答案】4或
【分析】本题考查了求代数式的值，有理数的乘法法则，有理数的加法法则，乘方的运算及绝对值等知识，正确理解绝对值的性质和乘法法则是解本题的关键．
根据有理数的乘法法则和绝对值的性质判求出a，b的值，再将a，b的值代入所求的代数式进行计算即可．
【解析】解：∵，，
∴，
∵，
∴或，
∴或，
故答案为：4或．
9．绝对值等于本身的数有 ；相反数等于本身的数有 ；倒数等于本身的数有 ；平方等于本身的数有 ；立方等于本身的数有 ．
【答案】 正数和0 0 1和0 和0
【分析】本题考查了有理数的乘方、倒数、绝对值、相反数，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
根据有理数的乘方、倒数、绝对值、相反数的运算法则及定义解答即可．
【解析】解：绝对值等于本身的数有正数和0；相反数等于本身的数有0：倒数等于本身的数有；平方等于本身的数有1和0；立方等于本身的数有和0．
故答案为：正数和和和0．
10．计算：
(1)； (2)； (3)； (4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据有理数乘方计算即可．
【解析】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
有理数乘方的逆运算
11．若，，且，则的值等于（ ）
A．1或5 B．1或 C．或 D．或5
【答案】A
【分析】根据绝对值的意义以及乘方的逆运算得出的值，代入求值即可，注意分类讨论．
【解析】解：∵，，
∴，
∵，
∴，即，
当时，；
当时，；
综上，的值等于或，
故选：A．
12．已知，若，则的值（ ）
A．86.2 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两式结果相差2位小数点，利用乘方的意义即可求出x的值．
【解析】解：∵，，
∴，
则．
故选C．
13．已知，则 ．
【答案】8或/或8
【分析】本题考查有理数的乘方，先计算出x和y的值，再进行乘方运算．
【解析】解：，
，
当时，，
当时，，
故答案为：8或．
14．已知，解答下列问题：
(1)由，可得_____， _____．
(2)若，求的值．
【答案】(1)，
(2)2
【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值的定义，有理数的乘法和加法，解题的关键是掌握有理数的乘方，绝对值的定义，有理数的乘法和加法．
（1）根据绝对值的定义和有理数的乘方的定义即可得出答案；
（2）由得出，或，，代入计算即可得出答案．
【解析】（1）解：∵，
∴，；
（2）解：由（1）得，，
又∵，
异号，
∴，或，；
或，
综上所述，．
乘方的符号规律
15．对于，若m＝2025，则其结果为（　　）
A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定
【答案】B
【解析】解：（﹣3）m，
∵负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数，
∴m＝2025时，（﹣3）m是负数，
故选：B．
16．若 ，则一定有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是乘方运算的符号规律，分别根据，，进行探究即可得到答案．
【解析】解：当，则，
当，则，
当，则，则，
∴当，则，
故选：C
17．负数的奇次幂是 ，负数的偶次幂是 ；正数的任何次幂都是 ；0的任何正整数次幂都是 ．
【答案】 负数 正数 正数 0
【分析】根据有理数乘方的法则解答即可．
【解析】解：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0，
故答案为：负数；正数；正数；0．
18．当整数为 时，；若是正整数，则 ．
【答案】 奇数 0
【分析】的奇次方为，的偶次方为；再分类讨论即可得到答案．
【解析】解：当整数为奇数时，；
当整数为奇数时，则为偶数，
∴，
当整数为偶数时，则为奇数，
；
故答案为：奇数，0
19．你能迅速的判断下列各幂的正负吗？
(1)； (2)．
【答案】(1)正，正，负，正，负，正
(2)正，正，既不为正也不为负，正，正
【分析】（1）根据正数的乘方为正数，负数的偶数次方为正数，奇数次方为负数即可求解．
（2）根据正数的乘方为正数，负数的偶数次方为正数，奇数次方为负数即可求解，0既不是正数，也不是负数．
【解析】（1）解：根据正数的乘方为正数，负数的偶数次方为正数，奇数次方为负数，则：16为正，故为正；
25为正，故为正；
为负，且9为奇数，故为负；
为负，6为偶数，故为正；
-1为负，101为奇数，故为负；
为负，50为偶数，故为正．
（2）根据正数的乘方为正数，负数的偶数次方为正数，奇数次方为负数，
0.01为正，故为正；
为负，2为偶数，故为正；
，0既不是正数也不是负数；
为正，故为正；
为负，2为偶数，故为正．
含乘方的有理数混合运算
20．计算：（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可，掌握运算顺序是解本题的关键．
【解析】解：，
故选C
21．某同学设计了一个算式：，若要使得该算式值最大，你应在“□”里填入（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，掌握相关运算法则成为解题的关键．
分别将代入计算，然后比较即可解答．
【解析】解：当填入“”时，；
当填入“”时，；
当填入“”时，；
当填入“”时，；
显然A选项结果最大．
故选：A．
22．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，数轴上表示m的点与表示的点距离5个单位长度，则 ．
【答案】2或
【分析】本题主要考查了相反数的定义，倒数的定义，数轴上两点之间的距离，解题的关键是掌握相反数相加得0，乘积为1的两个数互为倒数，以及数轴上两点之间距离的表示方法．根据题意得出，，或，将其代入求解即可．
【解析】解：∵a、b互为相反数，
∴，
∵c、d互为倒数，
∴，
∵数轴上表示m的点与表示的点距离5个单位长度，
∴或，
∴，
或，
故答案为：2或．
23．计算：．
芳芳在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
(1)如果被污染的数字是，请计算．
(2)如果计算结果等于4，求被污染的数字．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用；
（1）根据有理数的混合运算进行计算即可求解；
（2）设，进而解关于的一元一次方程，即可求解．
【解析】（1）解：
（2）由题意可得，
设，
，
，
，
，
，
，
即被污染的数字是．
24．计算：
（1）﹣5﹣（﹣16）+（﹣21）； （2）（﹣1）2023（1）÷（﹣3）2；
（3）（﹣2）4+（﹣4）×（）2﹣（﹣1）3； （4）（﹣1）4﹣（1﹣0.5）[2﹣（﹣3）2]．
【答案】见详解
【解析】解：（1）﹣5﹣（﹣16）+（﹣21）
＝﹣5+16﹣21
＝11﹣21
＝﹣10；
（2）（﹣1）2023（1）÷（﹣3）2
＝﹣1（）÷9
＝﹣1（）
＝﹣1
；
（3）（﹣2）4+（﹣4）×（）2﹣（﹣1）3
＝16+（﹣4）（﹣1）
＝16+（﹣1）+1
＝16；
（4）（﹣1）4﹣（1﹣0.5）[2﹣（﹣3）2]
＝1（2﹣9）
＝1（﹣7）
＝1
．
偶次方的非负性运用
25．若a，b为有理数，下列判断正确的个数是（ ）
（1）总是正数；（2）总是正数；（3）的最大值为5；（4）的最大值是3．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据绝对值，偶次方的非负性进行判断即可.
【解析】∵，∴>0，即总是正数，(1)正确；
∵， ，∴当即a=0时，，故是正数；
当时，则，即，故是正数；故（2）正确；
的最小值为5，故（3）错误；的最大值是2，故（4）错误．故选：B.
26．已知（x+2）2+|y﹣3|＝0，则xy＝　 　 ．
【答案】﹣8．
【解析】解：∵|x+2|+|y﹣3|＝0，
∴x+2＝0，y﹣3＝0，
解得：x＝﹣2，y＝3，
故xy＝（﹣2）3＝﹣8．
27．若，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方与绝对值的非负性，有理数的乘方．解题的关键在于正确的求解．由解出的值，代入求解即可．
【解析】解：由题意知解得
∴故答案为：．
28．已知（a﹣1）2022+|2b﹣3|+（c+1）2＝0，求a3 b2 c2024的值．
【答案】．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．
【解析】解：∵（a﹣1）2022+|2b﹣3|+（c+1）2＝0，
∴a﹣1＝0，2b﹣3＝0，c+1＝0，
∴a＝1，b，c＝﹣1，
∴a3 b2 c2024．
乘方的实际应用
29．小明的文档中有一个如图1的实验中学，他想在这个文档中用1000个这种，设计出一幅如图2样式的图案．他使用“复制粘贴”（用鼠标选中，右键点击“复制”，然后在本文档中“粘贴” 的方式完成，则他需要使用“复制粘贴”的次数至少为（　　）
A．9次 B．10次 C．11次 D．12次
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的乘方，理解题意是解题的关键．根据复制粘贴呈2倍的速度增加，所以求2的幂运算．
【解析】解：，，故选：B
30．一张纸的厚度大约为，如图，将其对折、压平，称作第1次操作，再将其对折、压平，称作第2次操作…假设这张纸足够大，每一次也能压得足够平整，如此重复，则第10次操作后的厚度最接近于（ ）
A．数学课本的厚度 B．姚明的身高
C．一层楼房的高度 D．一支中性笔的长度
【答案】D
【分析】本题考查数字变化的规律，依次求出每次操作后纸张的厚度，发现规律即可解决问题．
【解析】解：由题知，
第1次操作后的厚度为：；
第2次操作后的厚度为：；
第3次操作后的厚度为：；
，
所以第次操作后的厚度为：；
当时，
，
所以第10次操作后的厚度最接近于一支中性笔的长度．
故选：D．
31．细菌是靠分裂进行生殖的，也就是1个细菌分裂成2个细菌，分裂完的细菌长大以后又能进行分裂．例如，图中所示为某种细菌分裂的电镜照片，显示这种细菌每20分钟就能分裂一次．1个这种细菌经过3个小时可以分裂成 个细菌．

【答案】512
【分析】先根据题意求出分裂的次数，再根据有理数的乘方进行计算即可．
【解析】解：3小时=180分钟，（次）．
即1个这种细菌经过3个小时可以分裂成的细为：（个）．
故答案为：512．
32．在日常生活中，我们最熟悉最常用的是十进制，逢十进一，计算技术中广泛采用的是二进制，是用0和1两个数字计数是逢二进一，十进制和二进制可以相互转化，如将二进制1101换算成十进制数应为，按此方式，把二进制数转化为十进制数结果是 ．
【答案】19
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，由题意知可表示为，然后根据含乘方的有理数混合运算法则计算即可．
【解析】解：由题意得，
即转化为十进制数结果是19，
故答案为：19．
33．某种球形病毒，直径是0.01纳米，每一个病毒每经过一分钟就能繁殖出9个与自己同样的病毒，假如这种病毒在人体内聚集到一定数量，按这样的数量排列成一串，长度达到1分米时，人就会感到不适．（1米＝109纳米）
（1）那么人从感染到第一个病毒后，5分钟后体内病毒的长度是多少纳米？
（2）经过多少分钟人会感到不适．
【答案】见详解
【解析】解：（1）0.01×1×105＝103（纳米）；
（2）∵第9分钟病毒数量长度是：0.01×1×109＝107（纳米）（米）（分米），
第10分钟病毒数量长度是：0.01×1×1010＝108（纳米）（米）＝1（分米），
∴经过10分钟人会感到不适．
34．为响应国家创业号召，小李准备新开一家拉面馆，选址后对这一地区的人流量进行了统计．以500人为标准，超过即为正，低于即为负．一周内同一位置同一时刻的人流表如图．
星期 一 二 三 四 五 六 日
人数 ﹣80 ﹣30 ﹣50 ﹣60 +160 +300 +180
（1）这一周人数最多的一天比人数最少的一天多 　 　 人．
（2）若这些人中有30%的人来吃面，按照每人一碗，每碗面14元，则平均每天的销售额是多少？
（3）如图，拉面是将一根较粗的面条先对折成两根，再拉开，然后将两端捏紧，再对折成四根，再拉开，一直重复这个流程．面条的数量会不断增多，也会不断变细，拉面师傅一般重复该流程八次可做一碗拉面，拉面师傅拉完八次后有 　 　 根面．
【答案】（1）380；
（2）平均每天的销售额是2352元；
（3）256．
【分析】（1）由表格列式计算即可得出答案；
（2）先计算出平均每天的游客人数，再根据这些人中有30%的人来吃面，按照每人一碗，每碗面14元，列式计算即可得出答案；
（3）根据题意得出第n次捏合后可以拉出2n根，再令n＝8，计算即可得出答案．
【解析】解：（1）由表格可得：这一周人数最多的一天比人数最少的一天多300﹣（﹣80）＝380（人），
故答案为：380；
（2）（﹣80﹣30﹣50﹣60+160+300+180）÷7+500＝560（人）
560×30%×14＝2352（元）
答：平均每天的销售额是2352元．
（3）由题意得：
第1次捏合后可以拉出2根，
第2次捏合后可以拉出22＝4根，
第3次捏合后可以拉出23＝8根，
第4次捏合后可以拉出24＝16根，
…，
第n次捏合后可以拉出2n根，
∴拉面师傅拉完八次后有28＝256根面．
故答案为：256．
程序流程图与有理数的计算
35．按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为1的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】此题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，把各自的值代入运算程序中计算，使其结果为1即可，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【解析】解：A、把，输入，，则，故A不符合题意；
B、把，输入，，则，故B不符合题意；
C、把，输入，，则，故C不符合题意；
D、把，输入，，则，故D符合题意；
故选：．
36．按如图所示的程序计算，当输入x的值为时，输出的值为（ ）
A．63 B．8 C．64 D．80
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的混合运算，读懂图表运算方法，准确列出算式是解题的关键．根据运算程序，把代入进行计算，然后和10比较逐步求解即可．
【解析】当输入x的值为时，，
∴，
∴
∴输出的值为63．
故选：A．
37．小明同学编写了一个加密数据的代码，如图是这个加密代码的运算程序，按照这个运算程序，当原始数据时，加密后的数据是253；当原始数据时，加密后的数据是235．如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217，那么原始数据的值可以是 ．
【答案】2或7或37
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题意列式计算求出符合题意的答案即可．
【解析】解：如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217，
则；
；
；
故答案为：2或7或37．
38．一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数：否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程……直到出现了与之前重复的数，那就输出此数作为最终结果，结束操作．
(1)上面的文字语言可以转化为流程图表达．如图是流程图的一部分，请把这个流程图补充完整．① ，② ，③ （在每空中填入题干中的关键词句，把这个运算程序补充完整）
(2)现在输入一个三位数，如123作为起始数，操作第3次后得到的数是多少？请你写出过程．
(3)继续第（2）问的运算，操作 次能够结束循环？最后输出的结果是 ．
(4)若起始数输入的三位数各位上的数字都是相同的数，如输入111，最后输出的结果是 ；输入222，最后输出的结果是 ．
【答案】(1)①是 3 的倍数吗？②把它除以 3 的商作为下一个数？③把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．
(2)49
(3)169
(4)1，169
【分析】本题主要考查了程序流程图、有理数的混合运算等知识点，掌握有理数的混合运算法则成为解题的关键．
（1）根据题意直接补全流程图即可；
（2）按照流程图进行列式计算即可；
（3）根据流程图进行列式计算即可；
（4）分别输入111，222并根据流程图进行计算即可．
【解析】（1）解：根据题意可得：①是3的倍数吗？②把它除以3的商作为下一个数？③把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．
故答案为：①是 3 的倍数吗？②把它除以 3 的商作为下一个数？③把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．
（2）解：第1次：123是3的倍数，；
第2次：41不是3的倍数，；
第 3 次：25不是3的倍数，，
所以操作第3次后得到的数是49．
（3）解：第4次：49不是3的倍数，；
第5次：169不是3的倍数，；
第6次：256不是3的倍数，，
∴169出现重复，即操作6次结束循环，最后输出结果是169，
故答案为：，．
（4）解：当输入111时，
第1次：111是3的倍数，；
第2次：37不是3的倍数，；
第3次：100不是3的倍数，；
第4次：1不是3的倍数，，出现循环；则最后输出的为：1．
当输入222时，
第1次：222是3的倍数，；
第2次：74不是3的倍数，；
第3次：121不是3的倍数，；
第4次：25不是3的倍数，；
第5次：49不是3的倍数，；
第5次：169不是3的倍数，；
第6次：256不是3的倍数，；出现循环，则最后输出的为：169．
故答案为：1，169．
39．按下列程序计算，并回答下列问题．
3 1 5 ﹣1
输出答案 1 1 ① ②
（1）表格中①的值为　　 ，②的值为　 ．
（2）根据上述计算，你发现了什么规律？
（3）请说明你发现的规律是正确的．
【答案】（1）1；1；
（2）计算结果都是1；
（3）见解析．
【分析】（1）根据题意，代入数据列式计算即可；
（2）根据所填的数据总结出规律即可；
（3）根据分式的运算法则进行计算并验证即可．
【解析】解：（1）根据题意：，
，
则表格中①的值为1，②的值为1；
故答案为：1，1；
（2）根据表格及（1）发现的规律是：计算结果都是1；
（3）原式
＝1，
∴输入a≠0，计算结果都是1．
含乘方的规律探究问题
40．观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得尾数，，，的规律是4个数一循环，则的结果的个位数字与的个位数字相同，即可求解．
【解析】解：∵，，，，，，…，
∴尾数，，，的规律是4个数一循环，
∵，∴的个位数字是，
又∵，∴的结果的个位数字与的个位数字相同，
∴的结果的个位数字是．故选：A．
41．观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38 =6561，…，根据上述算式中的规律，221+311的末位数字是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】D
【分析】通过观察发现：的个位数字是2，4，8，6四个一循环，所以根据，得出的个位数字与的个位数字相同；以3为底的幂的末位数字是3，9，7，1依次循环的．即可知的个位数字，从而得到221+311的末位数字．
【解析】解：由题意可知，，，，，，，，，，
即末位数字是每4个算式是一个周期，末位分别为2，4，8，6，
，的末位数字与的末位数字相同，为2；
由题意可知，，，，，，，
以3为底的幂的末位数字是3，9，7，1依次循环的，，
所以的个位数字是7，所以的个位数字是9，故选：D．
42．观察下面一列数：，…，将这列数排成如图的图形．按照此规律排下去，那么第10行从左边数第1个数是 ，数2024是第 行从左边数第 个数．
【答案】 82 45 88
【分析】本题考查了数的规律的探索，乘方运算的符号规律，找到规律是解题的关键；观察知，从左边数，每行最后一个数是行数的平方，且奇数行符号为负，偶数行符号为正，据此可完成解答．
【解析】解：根据规律知，第9行最后一个数为，则第10行左边数第一个数为；
∵，
∴数2024是第45行左边数的倒数第二个数，
∵第45行共有：个数，
∴第45行倒数第二个数是从左边数第88个数；
故答案为：82；45；88．
43．探究规律：
(1)计算：
①
②
③
④
(2)根据上面结果猜想：
①
②
③
【答案】(1)①1；②1；③1；④1；
(2)①1；②1；③64
【分析】本题考查幂的运算，根据规律进行猜想，并对比分析将式子变形计算是解题关键．
（1）①简单计算即可得到结果；
②，代入计算即可；
③，代入计算即可；
④，代入计算即可．
（2）①根据（1）中，四个式子的计算结果，进行猜想即可；
②根据（1）中，四个式子的计算结果，进行猜想即可；
③对比规律可发现，需要将式子变形为： ，计算即可．
【解析】（1）解：（1）计算：①
②；
③ ；
④；
（2）①；
②；
③
=
=
=．
44．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题：
(1)观察算式：；；；．请根据你发现的规律填空：______；
(2)用含的等式表示上面的规律：______；（为正整数）
(3)利用找到的规律解决下面的问题：
计算：．
【答案】(1)9
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，有理数的计算：
（1）先计算出，再根据乘方的逆运算法则求解即可；
（2）观察可知等式左边第一个乘数为序号，第二个乘数为序号加2，加数为1，等式右边为序号加1的平方，据此规律求解即可；
（3）先把括号内的式子通分，再根据（2）的规律求解即可．
【解析】（1）解：由题意得，，
故答案为：9；
（2）解：；
；
；
；
……，
以此类推可知，第n个等式为，
故答案为：；
（3）解：
，
．
含乘方的规律探究问题
45．定义一种幂的新运算：xm*xn＝xm+n+xmn，则21*22的值为（　　）
A．32 B．10 C．12 D．16
【答案】C
【解析】解：∵xm*xn＝xm+n+xmn，
∴21*22
＝21+2+21×2
＝23+22
＝8+4
＝12，
故选：C．
46．定义一种新运算：a&b，则（1&4）&（﹣1）的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
【答案】D
【分析】利用题中的新定义计算即可得到结果．
【解析】解：∵a&b，
∴（1&4）&（﹣1）
＝（1×4+1﹣4）&（﹣1）
＝1&（﹣1）
＝4×1×（﹣1）﹣（﹣1）2
＝﹣4﹣1
＝﹣5．
故选：D．
47．对于有理数，，定义一种新运算，规定，则 ．
【答案】
【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义运算，熟练根据新定义列出常规的有理数运算式子是解题的关键．先利用新定义得出有理数混合运算的算式，再进行计算即可．
【解析】解：由，
得
48．如果，那么为的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示、两个量之间的同一关系．
(1)根据“劳格数”的定义，填空：　 　，______；
(2)“劳格数”有如下运算性质：若、为正数，则，；根据运算性质，填空：________．（a为正数）
(3)若，分别计算；．
【答案】(1)1，
(2)3
(3)0.6020，0.699．
【分析】本题考查新定义，有理数的运算；理解题意，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键．
（1），，则有；，，则有；
（2）根据，进行求解即可；
（3）由题意得：，．
【解析】（1）由题意得：，
，
；
由题意得：，
，
；
故答案为：1，；
（2）∵，，
∴
故答案为3；
（3），
，
．
24点问题
49．“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（ ）
A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8
【答案】A
【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答．
【解析】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意；
B项，，能算出结果为24，故不符合题意；
C项，，能算出结果为24，故不符合题意；
D项，，能算出结果为24，故不符合题意；
故选：A．
50．24点是棋牌类益智游戏，要求四个数字运算结果等于二十四，它以自己独具的数学魅力和丰富的内涵正逐渐被越来越多的人们所接受．小凡抽到如下四张扑克牌：凑成24的算式是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了“24点”运算．根据图片列出算式即可．
【解析】解：由图可知小凡抽到：2，3，4，5，
则凑成24的算式是，或，或，
故答案为：（答案不唯一）．
51．有一种“24”点游戏，其游戏规则是：任取一副扑克牌，我们约定A为1，并规定方块、红桃牌为正，黑桃、梅花牌为负．任取4张牌（可使用括号）．每个数用且只用一次，使其结果等于24．
如：抽出4张牌黑桃4、梅花2、方块4、红桃3，可做运算：．
(1)若抽出黑桃3，梅花1，方块5，红桃3，请写出1种算式，并写出计算过程，验证结果为24；
(2)若抽出黑桃3、梅花K、方块8、红桃Q，请写出2种不同的算式，并写出计算过程，验证结果为24；
(3)若抽出黑桃4、梅花7、方块2、红桃3，请设计1种含“乘方”的混合运算的算式，并写出计算过程，验证结果为24．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】此题考查有理数的混合运算，注意数字的正负，巧妙利用计算解决问题．
（1）所给的数字为：、、5、3；
（2）所给的数字为：、、8、12；
（3）所给的数字为：、、2、3；
利用数字特点，注意数字符号：选用运算符号解决问题即可．
【解析】（1）（1）答案不唯一，如
；
（2）①答案不唯一，如
；
②答案不唯一，如
；
（3）答案不唯一，如
．
乘方中的材料阅读问题
52．远古美索不达米亚人创造了一套以60进制为主的楔形文记数系统，对于大于59的数，美索不达米亚人则采用六十进制的位值记法，位置的区分是靠在不同楔形记号组之间留空，例如：，左边的表示2×602，中间的表示3×60，右边的表示1个单位，用十进制写出来是7381．若楔形文字记数，表示十进制的数为（　　）
A．4203 B．3603 C．3723 D．4403
【答案】A
【分析】根据题意，可以将楔形文字记数，表示十进制的数，然后列出算式1×602+10×60+3，再计算出结果即可．
【解析】解：由题意可得，
楔形文字记数，表示十进制的数为：1×602+10×60+3＝1×3600+600+3＝3600+600+3＝4203，
故选：A．
53．计算的值时，令，则，因此，所以．仿照以上推理，计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是将所求的式子整体进行扩大或缩小，要熟悉这种解题的思路．根据题目所给方法，令，表示出，相加得出的值，然后化简即可．
【解析】解：令
则
因此，
故答案为：．
54．综合与实践．
【课本再现】国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，ICME﹣14于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，互相交流各自的计算方法．
提示：八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法．每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为（011）2．
【观察发现】（1）从左起第二个符号表示的二进制数为　　 ；
【拓展延伸】二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为20，21，22，23，依此类推），然后相加．例如，（011）2＝0×22+1×21+1×20＝0+2+1＝3，（1101）2＝1×23+1×22+0×21+1×20＝8+4+0+1＝13．
（2）图2中的记数符号由四个二进制数组成，将它们依次转换为十进制数，得到一个四位数，求出这个四位数；
（3）仿照二进制的说明与算法，将八进制数（2025）8转换成十进制数，请直接写出结果．
【答案】（1）（111）2；
（2）3745；
（3）1045．
【分析】（1）根据【课本再现】即可以发现从左起第二个符号表示的二进制数；
（2）根据【拓展延伸】提供的方法分别将图2中的记数符号依次转换为十进制数，即可得到一个四位数；
（3）仿照二进制的说明与算法，转换成十进制的运算，即可解决问题．
【解析】解：（1）根据【课本再现】可以发现从左起第二个符号表示的二进制数为（111）2，
故答案为：（111）2；
（2）图2中的记数符号由四个二进制数分别为：（011）2，（111）2，（100）2，（101）2，
因为（011）2＝0×22+1×21+1×20＝0+2+1＝3，
（111）2＝1×22+1×21+1×20＝4+2+1＝7，
（100）2＝1×22+0×21+0×20＝4+0+0＝4，
（101）2＝1×22+0×21+1×20＝4+0+1＝5，
所以这个四位数为3745；
（3）1045．
理由：（2025）8＝2×83+0×82+2×81+5×80＝1024+0+16+5＝1045．
55．（概念学习）
规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．一般地，把记作a ，读作“a的圈n次方”．
（初步探究）
（1）直接写出计算结果：2③＝　　 ，　　 ．
（2）关于除方，下列说法错误的是 　　 ．
A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数．
B．对于任何正整数n，1 ＝1．
C．3③＝4④．
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
（深入思考）
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？
（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式（﹣3）④＝　　 ；5⑥＝　　 ；　　 ．
（4）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式是 　　 ．
（5）算一算：．
【答案】（1），4．（2）C．（3）（）2；（）4；28.（4）（）n﹣2；（5）．
【解析】解：（1）2③＝2÷2÷2，
（）④＝（）÷（）÷（）÷（）
2×2×2
＝4．
故答案为：，4．
（2）∵3③＝3÷3÷3，
4③＝4÷4÷4÷4，
由于，
∴3③≠4③
所以选项C错误
故选C．
（3）（﹣3）④＝（）4﹣2
＝（）2
＝（）2；
5⑥＝（）6﹣2
＝（）4；
（）⑩＝（﹣2）10﹣2
＝（﹣2）8
＝28；
故答案为：（）2；（）4；28；
（4）a ＝a÷a÷…÷a
＝1
＝（）n﹣2
故答案为：（）n﹣2；
（5）原式＝144÷（﹣3）2×（﹣2）﹣（﹣3）2÷34
＝﹣144÷9×2﹣32÷34
．
56．（2024·山东·中考真题）下列实数中，平方最大的数是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是实数的大小比较，乘方运算，先分别计算各数的乘方，再比较大小即可.
【解析】解：∵，，，，
而，
∴平方最大的数是3；
故选A
57．（2023·湖北随州·中考真题）计算： ．
【答案】0
【分析】先算乘方，再计算乘法，最后算加减．
【解析】解：．
故答案为：0．
58．（2024·甘肃·中考真题）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ．
【答案】8
【分析】根据定义，得，解得即可．
本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键．
【解析】根据定义，得，
故答案为：8．2.3.1 乘方
有理数乘方的概念
1．45表示（　　）
A．4个5相乘 B．5个4相乘
C．5与4的积 D．5个4相加的和
2．代数式可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．比较和，下列说法正确的是（ ）
A．它们底数相同，指数也相同 B．它们底数相同，但指数不相同
C． D．
4．对于式子，下列说法不正确的是（ ）
A．指数是3 B．底数是 C．结果为 D．表示3与相乘
5．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么．
(1) (2) (3)
有理数乘方的运算
6．下列各式中，正确的是 ）
A． B． C． D．
7．下列各对数中，数值相等的是（　　）
A．﹣27与（﹣2）7 B．﹣32与（﹣3）2
C．3×23与32×2 D．﹣（﹣3）2与（﹣2）3
8．已知，，，求
9．绝对值等于本身的数有 ；相反数等于本身的数有 ；倒数等于本身的数有 ；平方等于本身的数有 ；立方等于本身的数有 ．
10．计算：
(1)； (2)； (3)； (4)．
有理数乘方的逆运算
11．若，，且，则的值等于（ ）
A．1或5 B．1或 C．或 D．或5
12．已知，若，则的值（ ）
A．86.2 B． C． D．
13．已知，则 ．
14．已知，解答下列问题：
(1)由，可得_____， _____．
(2)若，求的值．
乘方的符号规律
15．对于，若m＝2025，则其结果为（　　）
A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定
16．若 ，则一定有（ ）
A． B． C． D．
17．负数的奇次幂是 ，负数的偶次幂是 ；正数的任何次幂都是 ；0的任何正整数次幂都是 ．
18．当整数为 时，；若是正整数，则 ．
19．你能迅速的判断下列各幂的正负吗？
(1)； (2)．
含乘方的有理数混合运算
20．计算：（ ）
A． B． C． D．
21．某同学设计了一个算式：，若要使得该算式值最大，你应在“□”里填入（ ）
A． B． C． D．
22．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，数轴上表示m的点与表示的点距离5个单位长度，则 ．
23．计算：．
芳芳在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
(1)如果被污染的数字是，请计算．
(2)如果计算结果等于4，求被污染的数字．
24．计算：
（1）﹣5﹣（﹣16）+（﹣21）； （2）（﹣1）2023（1）÷（﹣3）2；
（3）（﹣2）4+（﹣4）×（）2﹣（﹣1）3； （4）（﹣1）4﹣（1﹣0.5）[2﹣（﹣3）2]．
偶次方的非负性运用
25．若a，b为有理数，下列判断正确的个数是（ ）
（1）总是正数；（2）总是正数；（3）的最大值为5；（4）的最大值是3．
A．1 B．2 C．3 D．4
26．已知（x+2）2+|y﹣3|＝0，则xy＝　 　 ．
27．若，那么 ．
28．已知（a﹣1）2022+|2b﹣3|+（c+1）2＝0，求a3 b2 c2024的值．
乘方的实际应用
29．小明的文档中有一个如图1的实验中学，他想在这个文档中用1000个这种，设计出一幅如图2样式的图案．他使用“复制粘贴”（用鼠标选中，右键点击“复制”，然后在本文档中“粘贴” 的方式完成，则他需要使用“复制粘贴”的次数至少为（　　）
A．9次 B．10次 C．11次 D．12次
30．一张纸的厚度大约为，如图，将其对折、压平，称作第1次操作，再将其对折、压平，称作第2次操作…假设这张纸足够大，每一次也能压得足够平整，如此重复，则第10次操作后的厚度最接近于（ ）
A．数学课本的厚度 B．姚明的身高
C．一层楼房的高度 D．一支中性笔的长度
31．细菌是靠分裂进行生殖的，也就是1个细菌分裂成2个细菌，分裂完的细菌长大以后又能进行分裂．例如，图中所示为某种细菌分裂的电镜照片，显示这种细菌每20分钟就能分裂一次．1个这种细菌经过3个小时可以分裂成 个细菌．

32．在日常生活中，我们最熟悉最常用的是十进制，逢十进一，计算技术中广泛采用的是二进制，是用0和1两个数字计数是逢二进一，十进制和二进制可以相互转化，如将二进制1101换算成十进制数应为，按此方式，把二进制数转化为十进制数结果是 ．
33．某种球形病毒，直径是0.01纳米，每一个病毒每经过一分钟就能繁殖出9个与自己同样的病毒，假如这种病毒在人体内聚集到一定数量，按这样的数量排列成一串，长度达到1分米时，人就会感到不适．（1米＝109纳米）
（1）那么人从感染到第一个病毒后，5分钟后体内病毒的长度是多少纳米？
（2）经过多少分钟人会感到不适．
34．为响应国家创业号召，小李准备新开一家拉面馆，选址后对这一地区的人流量进行了统计．以500人为标准，超过即为正，低于即为负．一周内同一位置同一时刻的人流表如图．
星期 一 二 三 四 五 六 日
人数 ﹣80 ﹣30 ﹣50 ﹣60 +160 +300 +180
（1）这一周人数最多的一天比人数最少的一天多 　 　 人．
（2）若这些人中有30%的人来吃面，按照每人一碗，每碗面14元，则平均每天的销售额是多少？
（3）如图，拉面是将一根较粗的面条先对折成两根，再拉开，然后将两端捏紧，再对折成四根，再拉开，一直重复这个流程．面条的数量会不断增多，也会不断变细，拉面师傅一般重复该流程八次可做一碗拉面，拉面师傅拉完八次后有 　 　 根面．
程序流程图与有理数的计算
35．按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为1的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
36．按如图所示的程序计算，当输入x的值为时，输出的值为（ ）
A．63 B．8 C．64 D．80
37．小明同学编写了一个加密数据的代码，如图是这个加密代码的运算程序，按照这个运算程序，当原始数据时，加密后的数据是253；当原始数据时，加密后的数据是235．如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217，那么原始数据的值可以是 ．
38．一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数：否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程……直到出现了与之前重复的数，那就输出此数作为最终结果，结束操作．
(1)上面的文字语言可以转化为流程图表达．如图是流程图的一部分，请把这个流程图补充完整．① ，② ，③ （在每空中填入题干中的关键词句，把这个运算程序补充完整）
(2)现在输入一个三位数，如123作为起始数，操作第3次后得到的数是多少？请你写出过程．
(3)继续第（2）问的运算，操作 次能够结束循环？最后输出的结果是 ．
(4)若起始数输入的三位数各位上的数字都是相同的数，如输入111，最后输出的结果是 ；输入222，最后输出的结果是 ．
39．按下列程序计算，并回答下列问题．
3 1 5 ﹣1
输出答案 1 1 ① ②
（1）表格中①的值为　　 ，②的值为　 ．
（2）根据上述计算，你发现了什么规律？
（3）请说明你发现的规律是正确的．
含乘方的规律探究问题
40．观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（ ）
A． B． C． D．
41．观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38 =6561，…，根据上述算式中的规律，221+311的末位数字是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
42．观察下面一列数：，…，将这列数排成如图的图形．按照此规律排下去，那么第10行从左边数第1个数是 ，数2024是第 行从左边数第 个数．
43．探究规律：
(1)计算：
①
②
③
④
(2)根据上面结果猜想：
①
②
③
44．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题：
(1)观察算式：；；；．请根据你发现的规律填空：______；
(2)用含的等式表示上面的规律：______；（为正整数）
(3)利用找到的规律解决下面的问题：
计算：．
含乘方的规律探究问题
45．定义一种幂的新运算：xm*xn＝xm+n+xmn，则21*22的值为（　　）
A．32 B．10 C．12 D．16
46．定义一种新运算：a&b，则（1&4）&（﹣1）的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
47．对于有理数，，定义一种新运算，规定，则 ．
48．如果，那么为的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示、两个量之间的同一关系．
(1)根据“劳格数”的定义，填空：　 　，______；
(2)“劳格数”有如下运算性质：若、为正数，则，；根据运算性质，填空：________．（a为正数）
(3)若，分别计算；．
24点问题
49．“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（ ）
A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8
50．24点是棋牌类益智游戏，要求四个数字运算结果等于二十四，它以自己独具的数学魅力和丰富的内涵正逐渐被越来越多的人们所接受．小凡抽到如下四张扑克牌：凑成24的算式是 ．
51．有一种“24”点游戏，其游戏规则是：任取一副扑克牌，我们约定A为1，并规定方块、红桃牌为正，黑桃、梅花牌为负．任取4张牌（可使用括号）．每个数用且只用一次，使其结果等于24．
如：抽出4张牌黑桃4、梅花2、方块4、红桃3，可做运算：．
(1)若抽出黑桃3，梅花1，方块5，红桃3，请写出1种算式，并写出计算过程，验证结果为24；
(2)若抽出黑桃3、梅花K、方块8、红桃Q，请写出2种不同的算式，并写出计算过程，验证结果为24；
(3)若抽出黑桃4、梅花7、方块2、红桃3，请设计1种含“乘方”的混合运算的算式，并写出计算过程，验证结果为24．
乘方中的材料阅读问题
52．远古美索不达米亚人创造了一套以60进制为主的楔形文记数系统，对于大于59的数，美索不达米亚人则采用六十进制的位值记法，位置的区分是靠在不同楔形记号组之间留空，例如：，左边的表示2×602，中间的表示3×60，右边的表示1个单位，用十进制写出来是7381．若楔形文字记数，表示十进制的数为（　　）
A．4203 B．3603 C．3723 D．4403
53．计算的值时，令，则，因此，所以．仿照以上推理，计算： ．
54．综合与实践．
【课本再现】国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，ICME﹣14于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，互相交流各自的计算方法．
提示：八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法．每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为（011）2．
【观察发现】（1）从左起第二个符号表示的二进制数为　　 ；
【拓展延伸】二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为20，21，22，23，依此类推），然后相加．例如，（011）2＝0×22+1×21+1×20＝0+2+1＝3，（1101）2＝1×23+1×22+0×21+1×20＝8+4+0+1＝13．
（2）图2中的记数符号由四个二进制数组成，将它们依次转换为十进制数，得到一个四位数，求出这个四位数；
（3）仿照二进制的说明与算法，将八进制数（2025）8转换成十进制数，请直接写出结果．
55．（概念学习）
规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．一般地，把记作a ，读作“a的圈n次方”．
（初步探究）
（1）直接写出计算结果：2③＝　　 ，　　 ．
（2）关于除方，下列说法错误的是 　　 ．
A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数．
B．对于任何正整数n，1 ＝1．
C．3③＝4④．
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
（深入思考）
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？
（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式（﹣3）④＝　　 ；5⑥＝　　 ；　　 ．
（4）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式是 　　 ．
（5）算一算：．
56．（2024·山东·中考真题）下列实数中，平方最大的数是（ ）
A．3 B． C． D．
57．（2023·湖北随州·中考真题）计算： ．
58．（2024·甘肃·中考真题）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ．

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