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函数
学习目标
理解函数概念：清晰掌握函数是一种对应关系，即对于给定范围内的每一个自变量的值，都有唯一确定的因变量值与之对应。
学会确定函数自变量取值范围：能够依据函数表达式的形式，准确确定自变量可以取值的范围，为后续解决函数相关问题奠定基础。
掌握函数的表示方法：熟练运用列表法、解析式法和图象法来表示函数，明白每种表示方法的特点和适用场景，并能根据具体情况灵活选择合适的表示方法。
会根据函数解析式求值：当给定自变量的值时，能通过代入函数解析式准确计算出对应的函数值；反之，给定函数值时，也能求解出相应的自变量的值。
知识点讲解
（一）函数的概念
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 (x) 与 (y)，并且对于 (x) 的每一个确定的值，(y) 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 (x) 是自变量 ，(y) 是 (x) 的函数。如果当 时 ，那么 (b) 叫做当自变量的值为 (a) 时的函数值。
例如，在圆的面积公式中，(r) 是自变量，(S) 是 (r) 的函数。对于 (r) 的每一个确定的值（如 ），都能通过公式计算出唯一确定的 (S) 值（）。
（二）函数自变量取值范围的确定
整式型函数：自变量取值范围是全体实数。例如函数 ，(x) 可以取任意实数。
分式型函数：分母不为零。比如函数，要使函数有意义，则，即，所以自变量 (x) 的取值范围是的实数。
二次根式型函数：被开方数为非负数。对于函数，有，解得，所以 (x) 的取值范围是的实数。
综合型函数：当函数解析式是由几个部分组成时，自变量的取值范围是使各部分都有意义的公共部分。例如函数，既要满足，又要满足。解得，解得，所以自变量 (x) 的取值范围是且。
（三）函数的表示方法
列表法：通过列出自变量与函数的对应值表来表示函数关系。
这种方法的优点是能直接看出自变量与函数的对应值，缺点是不能全面反映函数的变化情况。
2.解析式法：用数学式子表示函数关系。如上面汽车行驶问题，其函数解析式为 （）。它的优点是简洁明了，能准确反映自变量与函数之间的数量关系，便于进行理论分析和计算，缺点是不够直观。
3.图象法：用图象来表示函数关系。以 （）为例，以 (t) 为横坐标，(s) 为纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，再用平滑的曲线连接起来，就得到函数的图象。图象法的优点是非常直观，可以形象地反映函数的变化趋势，缺点是由图象得到的函数值往往是近似的。
（四）根据函数解析式求值
已知自变量求函数值：把自变量的值代入函数解析式，计算出对应的函数值。例如对于函数 ，当 时，把 代入 得
。
已知函数值求自变量的值：把函数值代入函数解析式，得到关于自变量的方程，解方程求出自变量的值。比如对于函数 ，已知 ，则 ，移项可得 ，即 ，解得 。
例题解析
（一）函数概念相关例题
例 1：在下列式子中，(y) 是 (x) 的函数的是（ ）
A..
C..
（二）自变量取值范围相关例题
例 2：函数中自变量 (x) 的取值范围是（ ）
.
.且
.或
例 3：函数自变量 (x) 的取值范围是（ ）
.
. (x<2)
D. (x>2)
（三）函数表示方法及求值相关例题
例 4：已知函数，当 时，求 (y) 的值。
例 5：已知函数，当 时，求 (x) 的值。
巩固练习
（一）选择题
下列变量之间的关系不是函数关系的是（ ）
A. 长方形的宽一定，其长与面积
B. 正方形的周长与面积
C. 等腰三角形的底边与面积
D. 球的体积与球的半径
函数中自变量 (x) 的取值范围是（ ）
A. (x>2)
B.. (x<2)
D.
已知函数 ，当 时，(y) 的值是（ ）
A. (6)
B. (7)
C. (8)
D. (9)
函数中，当 时，(x) 的值是（ ）
A. (3)
B. (4)
C. (5)
D. (6)
（二）填空题
在函数中，自变量 (x) 的取值范围是( ) 。
已知函数 ，当 时，，则 (a) 的值为( ) 。
某商店进了一批货，每件(3)元，出售时每件加价(0.5)元，如果售出(x) 件应收入货款 (y) 元，那么 (y)（元）与 (x)（件）的函数关系式是( ) 。
（三）解答题
已知函数，求自变量 (x) 的取值范围。
已知函数，求当 时 (y) 的值。
已知函数，当 时，求 (x) 的值。函数
学习目标
理解函数概念：清晰掌握函数是一种对应关系，即对于给定范围内的每一个自变量的值，都有唯一确定的因变量值与之对应。
学会确定函数自变量取值范围：能够依据函数表达式的形式，准确确定自变量可以取值的范围，为后续解决函数相关问题奠定基础。
掌握函数的表示方法：熟练运用列表法、解析式法和图象法来表示函数，明白每种表示方法的特点和适用场景，并能根据具体情况灵活选择合适的表示方法。
会根据函数解析式求值：当给定自变量的值时，能通过代入函数解析式准确计算出对应的函数值；反之，给定函数值时，也能求解出相应的自变量的值。
知识点讲解
（一）函数的概念
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 (x) 与 (y)，并且对于 (x) 的每一个确定的值，(y) 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 (x) 是自变量 ，(y) 是 (x) 的函数。如果当 时 ，那么 (b) 叫做当自变量的值为 (a) 时的函数值。
例如，在圆的面积公式中，(r) 是自变量，(S) 是 (r) 的函数。对于 (r) 的每一个确定的值（如 ），都能通过公式计算出唯一确定的 (S) 值（）。
（二）函数自变量取值范围的确定
整式型函数：自变量取值范围是全体实数。例如函数 ，(x) 可以取任意实数。
分式型函数：分母不为零。比如函数，要使函数有意义，则，即，所以自变量 (x) 的取值范围是的实数。
二次根式型函数：被开方数为非负数。对于函数，有，解得，所以 (x) 的取值范围是的实数。
综合型函数：当函数解析式是由几个部分组成时，自变量的取值范围是使各部分都有意义的公共部分。例如函数，既要满足，又要满足。解得，解得，所以自变量 (x) 的取值范围是且。
（三）函数的表示方法
列表法：通过列出自变量与函数的对应值表来表示函数关系。
这种方法的优点是能直接看出自变量与函数的对应值，缺点是不能全面反映函数的变化情况。
2.解析式法：用数学式子表示函数关系。如上面汽车行驶问题，其函数解析式为 （）。它的优点是简洁明了，能准确反映自变量与函数之间的数量关系，便于进行理论分析和计算，缺点是不够直观。
3.图象法：用图象来表示函数关系。以 （）为例，以 (t) 为横坐标，(s) 为纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，再用平滑的曲线连接起来，就得到函数的图象。图象法的优点是非常直观，可以形象地反映函数的变化趋势，缺点是由图象得到的函数值往往是近似的。
（四）根据函数解析式求值
已知自变量求函数值：把自变量的值代入函数解析式，计算出对应的函数值。例如对于函数 ，当 时，把 代入 得
。
已知函数值求自变量的值：把函数值代入函数解析式，得到关于自变量的方程，解方程求出自变量的值。比如对于函数 ，已知 ，则 ，移项可得 ，即 ，解得 。
例题解析
（一）函数概念相关例题
例 1：在下列式子中，(y) 是 (x) 的函数的是（ ）
A..
C..
答案：B
解析：对于 A 选项，由可得，当 (x) 取一个值时，(y) 有两个值与之对应，不满足函数定义；对于 C 选项，由可得，当 (x) 取一个值时，(y) 有两个值与之对应，不满足函数定义；对于 D 选项，由 可得（），当 (x) 取一个值时，(y) 有两个值与之对应，不满足函数定义；对于 B 选项，由 可得，对于 (x) 的每一个确定的值，(y) 都有唯一确定的值与之对应，(y) 是 (x) 的函数。
（二）自变量取值范围相关例题
例 2：函数中自变量 (x) 的取值范围是（ ）
.
.且
.或
答案：C
解析：要使函数有意义，需同时满足分式分母不为零和二次根式被开方数为非负数。即且。解得；解得。所以自变量 (x) 的取值范围是且。
例 3：函数自变量 (x) 的取值范围是（ ）
.
. (x<2)
D. (x>2)
答案：C
解析：因为函数中有二次根式且在分母位置，所以要使函数有意义，需满足 （二次根式在分母，被开方数大于(0)），解不等式 ，移项得 ，两边同时乘以(-1)，不等号方向改变，得 (x<2)。
（三）函数表示方法及求值相关例题
例 4：已知函数，当 时，求 (y) 的值。
解：把 代入得：
例 5：已知函数，当 时，求 (x) 的值。
解：把 代入得：
两边同时乘以 (x - 1) 得：
移项得：
解得：
巩固练习
（一）选择题
下列变量之间的关系不是函数关系的是（ ）
A. 长方形的宽一定，其长与面积
B. 正方形的周长与面积
C. 等腰三角形的底边与面积
D. 球的体积与球的半径
函数中自变量 (x) 的取值范围是（ ）
A. (x>2)
B.. (x<2)
D.
已知函数 ，当 时，(y) 的值是（ ）
A. (6)
B. (7)
C. (8)
D. (9)
函数中，当 时，(x) 的值是（ ）
A. (3)
B. (4)
C. (5)
D. (6)
（二）填空题
在函数中，自变量 (x) 的取值范围是( ) 。
已知函数 ，当 时，，则 (a) 的值为( ) 。
某商店进了一批货，每件(3)元，出售时每件加价(0.5)元，如果售出(x) 件应收入货款 (y) 元，那么 (y)（元）与 (x)（件）的函数关系式是( ) 。
（三）解答题
已知函数，求自变量 (x) 的取值范围。
已知函数，求当 时 (y) 的值。
已知函数，当 时，求 (x) 的值。
巩固练习答案
（一）选择题
答案：C
解析：对于 A 选项，长方形面积公式（(b) 为宽一定），对于长 (a) 的每一个值，面积 (S) 都有唯一值与之对应，是函数关系；对于 B 选项，正方形周长 ，面积，由 (C) 可求出，进而求出唯一的 (S)，是函数关系；对于 C 选项，等腰三角形面积（(a) 为底边，(h) 为高），仅知道底边 (a)，高 (h) 不确定，所以面积 (S) 不唯一，不是函数关系；对于 D 选项，球的体积公式，对于半径 (r) 的每一个值，体积 (V) 都有唯一值与之对应，是函数关系。
答案：A
解析：要使函数有意义，需满足 ，即 (x>2)。
答案：C
解析：把 代入 得
。
答案：B
解析：把 代入得，两边同时平方得 ，移项得 ，即 ，解得 。
（二）填空题
答案：
解析：因为函数是分式形式，要使函数有意义，分母，即。
答案：(2)
解析：把 ， 代入 得 ，移项得 ，即 ，解得 。
答案：
解析：每件售价为 元，售出 (x) 件的收入货款 。
（三）解答题
解：要使函数有意义，需满足
解得
解得
所以自变量 (x) 的取值范围是。
解：把 代入得
y =6

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