资源简介

认识一次函数
学习目标
理解一次函数的概念：能够准确识别形如 （(k)，(b) 为常数，(k≠0)）的函数为一次函数，明白其一般形式的特点及各参数的意义。
掌握一次函数的表达式：学会根据给定的条件，如两点坐标、函数的性质等，确定一次函数 中 (k) 和 (b) 的值，从而写出函数表达式。
了解一次函数与正比例函数的关系：知道正比例函数是特殊的一次函数（ 时），并能区分两者在表达式、图像和性质上的异同。
运用一次函数解决实际问题：通过分析实际问题中的数量关系，建立一次函数模型，利用函数的性质解决诸如最值、方案选择等实际问题，提高数学应用能力。
知识点讲解
（一）一次函数的定义
一般地，形如 （(k)，(b) 为常数，(k≠0)）的函数，叫做一次函数。其中 (x) 是自变量，(y) 是因变量。特别地，当 时，（(k) 为常数，(k≠0)），这时 (y) 叫做 (x) 的正比例函数。
例如，函数 是一次函数，而 是正比例函数，它也是特殊的一次函数。
（二）一次函数表达式的确定
待定系数法：确定一次函数表达式的常用方法是待定系数法。其基本步骤为：
设出函数表达式 。
把已知条件（通常是两组 (x)，(y) 的值）代入表达式，得到关于 (k)，(b) 的方程组。
解方程组，求出 (k)，(b) 的值。
把 (k)，(b) 的值代回所设表达式，写出函数表达式。
（三）一次函数与正比例函数的性质
正比例函数 （(k≠0)）的性质：
当 (k＞0) 时，函数图像经过一、三象限，(y) 随 (x) 的增大而增大。
当 (k＜0) 时，函数图像经过二、四象限，(y) 随 (x) 的增大而减小。
一次函数 （(k≠0)）的性质：
当 (k＞0) 时，(y) 随 (x) 的增大而增大；
当 (k＜0) 时，(y) 随 (x) 的增大而减小。
(b) 的值决定函数图像与 (y) 轴的交点位置：
当 (b＞0) 时，函数图像与 (y) 轴交于正半轴；
当 (b＜0) 时，函数图像与 (y) 轴交于负半轴；
当 时，函数图像过原点，此时为正比例函数。
例题解析
（一）一次函数的概念判断
下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
解析：
，符合 （，，(k≠0)）的形式，是一次函数，但不是正比例函数，因为 (b≠0)。
，它是反比例函数，不符合一次函数的形式 ，不是一次函数。
，符合 （，(k≠0)）的形式，既是一次函数也是正比例函数，因为 。
，(x) 的次数是 (2)，不符合一次函数 (x) 的次数为 (1) 的要求，不是一次函数。
，符合 （，(k≠0)）的形式，既是一次函数也是正比例函数，因为 。
，符合 （，，(k≠0)）的形式，是一次函数，但不是正比例函数，因为 (b≠0)。
，符合 （，，(k≠0)）的形式，是一次函数，但不是正比例函数，因为 (b≠0)。
（二）确定一次函数表达式
已知一次函数 的图像经过点 ((1,3)) 和 ，求这个一次函数的表达式。
解析：
把点 ((1,3)) 和 分别代入 中，得到方程组：
将第一个方程 与第二个方程 相加，可得：
把 代入 中，得 ，。
所以，这个一次函数的表达式为 。
已知一次函数 ，当 时，；当 时，。求这个一次函数的表达式。
解析：
把 ， 和 ， 分别代入 ，可得方程组：
用第一个方程 减去第二个方程 ，得：
把 代入 ，得 (3×2 + b = 5)，，。
所以，这个一次函数的表达式为 。
（三）一次函数性质的应用
已知一次函数 ，
若函数值 (y) 随 (x) 的增大而增大，求 (m) 的取值范围。
若函数图像与 (y) 轴交于负半轴，求 (m) 的取值范围。
解析：
因为函数值 (y) 随 (x) 的增大而增大，所以一次项系数 (2m - 1＞0)，
(2m＞1)，
(m＞)。
因为函数图像与 (y) 轴交于负半轴，所以常数项 (m - 2＜0)，
(m＜2)。
已知一次函数 ，(k＜0)，(b＞0)，则它的图像不经过第（ ）象限。
A. 一
B. 二
C. 三
D. 四
解析：
因为 (k＜0)，所以函数 (y) 随 (x) 的增大而减小，函数图像从左到右下降。
又因为 (b＞0)，所以函数图像与 (y) 轴交于正半轴。
因此，函数图像经过一、二、四象限，不经过第三象限。答案选 C。
巩固练习
（一）选择题
下列函数中，是一次函数的是（ ）
D.
若函数是正比例函数，则 (m) 的值为（ ）
A. (3)
B. (- 3)
C. (±3)
D. 任意实数
已知一次函数 的图像经过点 ((0,2)) 和 ((3,0))，则 (k)，(b) 的值分别为（ ）
A.，
B.，
C.，
D.，
一次函数 中，(y) 随 (x) 的增大而（ ）
A. 增大
B. 减小
C. 不变
D. 无法确定
（二）填空题
已知一次函数 的图像与 (y) 轴的交点坐标为 ，则 。
若一次函数 的图像经过点 ，则 。
一次函数 的图像经过第______象限。
（三）解答题
已知一次函数 的图像经过点 ((2,5)) 和 ，求这个一次函数的表达式。
已知一次函数 ，当 (k) 为何值时，(y) 随 (x) 的增大而增大？
巩固练习答案
（一）选择题
答案：C
解析：选项 A 是反比例函数；选项 B 中 (x) 的次数是 (2)，是二次函数；选项 C 符合一次函数 （，，(k≠0)）的形式，是一次函数；选项 D 不符合一次函数的形式。
答案：B
解析：因为函数是正比例函数，所以且 (m - 3≠0)。
由，得，。
又因为 (m - 3≠0)，即 (m≠3)，所以 。
答案：B
解析：把点 ((0,2)) 代入 得 。
再把点 ((3,0)) 和 代入 ，得 ，
，
。
答案：B
解析：在一次函数 中，(k = - 2＜0)，根据一次函数性质，(y) 随 (x) 的增大而减小。
（二）填空题
答案：(- 2)
解析：把 代入 ，得 (- 2 = 3×0 + a)，所以 。
答案：(3)
解析：把点 代入 ，得 ，
，
，
。
答案：一、三、四
解析：在一次函数 中，(k = 2＞0)，(b = - 1＜0)，所以函数图像经过一、三、四象限。
（三）解答题
解析：
把点 ((2,5)) 和 分别代入 ，得到方程组：
用第一个方程 减去第二个方程 ，得：
把 代入 ，得 (2×2 + b = 5)，，。
所以这个一次函数的表达式为 。
解析：
因为 (y) 随 (x) 的增大而增大，所以一次项系数 (2 - k＞0)，
(- k＞ - 2)，
(k＜2)。认识一次函数
学习目标
理解一次函数的概念：能够准确识别形如 （(k)，(b) 为常数，(k≠0)）的函数为一次函数，明白其一般形式的特点及各参数的意义。
掌握一次函数的表达式：学会根据给定的条件，如两点坐标、函数的性质等，确定一次函数 中 (k) 和 (b) 的值，从而写出函数表达式。
了解一次函数与正比例函数的关系：知道正比例函数是特殊的一次函数（ 时），并能区分两者在表达式、图像和性质上的异同。
运用一次函数解决实际问题：通过分析实际问题中的数量关系，建立一次函数模型，利用函数的性质解决诸如最值、方案选择等实际问题，提高数学应用能力。
知识点讲解
（一）一次函数的定义
一般地，形如 （(k)，(b) 为常数，(k≠0)）的函数，叫做一次函数。其中 (x) 是自变量，(y) 是因变量。特别地，当 时，（(k) 为常数，(k≠0)），这时 (y) 叫做 (x) 的正比例函数。
例如，函数 是一次函数，而 是正比例函数，它也是特殊的一次函数。
（二）一次函数表达式的确定
待定系数法：确定一次函数表达式的常用方法是待定系数法。其基本步骤为：
设出函数表达式 。
把已知条件（通常是两组 (x)，(y) 的值）代入表达式，得到关于 (k)，(b) 的方程组。
解方程组，求出 (k)，(b) 的值。
把 (k)，(b) 的值代回所设表达式，写出函数表达式。
（三）一次函数与正比例函数的性质
正比例函数 （(k≠0)）的性质：
当 (k＞0) 时，函数图像经过一、三象限，(y) 随 (x) 的增大而增大。
当 (k＜0) 时，函数图像经过二、四象限，(y) 随 (x) 的增大而减小。
一次函数 （(k≠0)）的性质：
当 (k＞0) 时，(y) 随 (x) 的增大而增大；
当 (k＜0) 时，(y) 随 (x) 的增大而减小。
(b) 的值决定函数图像与 (y) 轴的交点位置：
当 (b＞0) 时，函数图像与 (y) 轴交于正半轴；
当 (b＜0) 时，函数图像与 (y) 轴交于负半轴；
当 时，函数图像过原点，此时为正比例函数。
例题解析
（一）一次函数的概念判断
下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
（二）确定一次函数表达式
已知一次函数 的图像经过点 ((1,3)) 和 ，求这个一次函数的表达式。
已知一次函数 ，当 时，；当 时，。求这个一次函数的表达式。
（三）一次函数性质的应用
已知一次函数 ，
若函数值 (y) 随 (x) 的增大而增大，求 (m) 的取值范围。
若函数图像与 (y) 轴交于负半轴，求 (m) 的取值范围。
已知一次函数 ，(k＜0)，(b＞0)，则它的图像不经过第（ ）象限。
A. 一
B. 二
C. 三
D. 四
巩固练习
（一）选择题
下列函数中，是一次函数的是（ ）
D.
若函数是正比例函数，则 (m) 的值为（ ）
A. (3)
B. (- 3)
C. (±3)
D. 任意实数
已知一次函数 的图像经过点 ((0,2)) 和 ((3,0))，则 (k)，(b) 的值分别为（ ）
A.，
B.，
C.，
D.，
一次函数 中，(y) 随 (x) 的增大而（ ）
A. 增大
B. 减小
C. 不变
D. 无法确定
（二）填空题
已知一次函数 的图像与 (y) 轴的交点坐标为 ，则 。
若一次函数 的图像经过点 ，则 。
一次函数 的图像经过第______象限。
（三）解答题
已知一次函数 的图像经过点 ((2,5)) 和 ，求这个一次函数的表达式。
已知一次函数 ，当 (k) 为何值时，(y) 随 (x) 的增大而增大？

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