资源简介

一次函数的应用
学习目标
知识与技能目标
能够理解一次函数在实际问题中的意义，明确函数中自变量与因变量的关系。
熟练掌握利用一次函数的表达式解决实际生活中的最值问题，如最大利润、最小成本等。
学会根据实际问题的条件，准确地建立一次函数模型，并求出函数的表达式。
过程与方法目标
通过对实际问题的分析和解决，培养从实际问题中抽象出数学模型的能力，提高运用数学知识解决实际问题的水平。
在解决问题的过程中，体会函数思想、方程思想以及分类讨论思想的应用，增强逻辑思维能力。
情感态度与价值观目标
感受一次函数在实际生活中的广泛应用，体会数学与生活的紧密联系，激发学习数学的兴趣。
通过小组合作和自主探究等学习方式，培养合作精神和创新意识，提升克服困难的信心和勇气。
知识点讲解
（一）一次函数与实际问题的联系
确定自变量和因变量
在实际问题中，首先要明确哪个量是随着另一个量的变化而变化的。例如，在行程问题中，路程(s)随着时间(t)的变化而变化，这里时间(t)是自变量，路程(s)是因变量。
建立函数关系
根据实际问题中的数量关系，设出一次函数的表达式（(k)，(b)为常数，）。然后通过题目中给出的条件，找到两个满足函数关系的点，将其坐标代入函数表达式，得到关于(k)和(b)的方程组，解方程组求出(k)和(b)的值，从而确定函数表达式。
（二）一次函数的最值问题
一次函数的增减性
对于一次函数，当(k > 0)时，(y)随(x)的增大而增大；当(k < 0)时，(y)随(x)的增大而减小。
求最值
在实际问题中，根据自变量的取值范围，结合一次函数的增减性来求函数的最值。例如，若（(k > 0)），且(x)的取值范围是，那么当时，(y)取得最大值；当时，(y)取得最小值。
（三）分段函数
定义
在实际问题中，有时函数关系在不同的范围内有不同的表达式，这样的函数叫做分段函数。
解决分段函数问题的关键
要明确自变量在不同取值范围内对应的函数表达式，在计算时要根据自变量的取值选择合适的表达式进行计算。
例题解析
（一）行程问题
已知汽车以(60km/h)的速度匀速行驶，行驶路程(s(km))与行驶时间(t(h))之间的函数关系是。
当时，求行驶的路程(s)。
解析：把代入，得(s = 60×3 = 180(km))。
若行驶路程，求行驶时间(t)。
解析：把代入，得，解得。
（二）销售问题
某商店销售一种商品，进价为每件(20)元，售价为每件(30)元，每天可卖出(100)件。经市场调查发现，若每件商品的售价每上涨(1)元，则每天的销售量就减少(5)件。设每件商品的售价上涨(x)元，每天的销售利润为(y)元。
求(y)与(x)之间的函数表达式。
解析：每件商品的利润为((30 + x - 20))元，每天的销售量为((100 - 5x))件。
根据利润 = 每件利润×销售量，可得
。
当时，求每天的销售利润(y)。
解析：把代入，得
（元）。
（三）方案选择问题
学校计划租用甲、乙两种客车送(400)名师生去参加植树活动，已知甲种客车每辆最多可坐(45)人，租金为(400)元；乙种客车每辆最多可坐(30)人，租金为(280)元。设租用甲种客车(x)辆，总租金为(y)元。
求(y)与(x)之间的函数表达式，并写出自变量(x)的取值范围。
解析：租用甲种客车(x)辆，则租用乙种客车辆。
。
因为(x)，都应为非负整数，且，
由得，恒成立。
又因为，解得，且，所以，(x)为整数。
若学校要求租用甲种客车不少于(7)辆，求最省钱的租车方案及总租金。
解析：因为，，(y)随(x)的增大而减小。
又因为且，(x)为整数，所以当时，(y)有最小值。
此时，车辆数应为整数，所以时，，向上取整租用乙种客车(2)辆。
（元）。
最省钱的租车方案是租用甲种客车(8)辆，乙种客车(2)辆，总租金为元。
（四）分段函数问题
某城市按以下规定收取每月的水费：用水量如果不超过(6)吨，按每吨(1.2)元收费；如果超过(6)吨，未超过的部分仍按每吨(1.2)元收取，而超过部分则按每吨(2)元收费。如果某用户(5)月份水费平均为每吨(1.4)元，那么该用户(5)月份应交水费多少元？
解析：设该用户(5)月份用水(x)吨。
因为(1.4 > 1.2)，所以(x > 6)。
则(6×1.2 + 2×(x - 6)=1.4x)
。
应交水费(1.4×8 = 11.2)（元）。
巩固练习
（一）选择题
小明家离学校(1.5km)，小明步行上学需(x min)，那么小明步行速度(y(m/min))可以表示为；水平地面上重(1500N)的物体，与地面的接触面积为，那么该物体对地面压强可以表示为，函数还可以表示许多不同情境中变量之间的关系，请你再列举一例：
A. 三角形的面积为，底边长为(x cm)，则这条边上的高(y cm)与(x)的关系
B. 用(1500)元购买单价为(x)元/千克的水果，则购买水果的重量(y)千克与(x)的关系
C. 长方形的面积为，长为(x cm)，则宽(y cm)与(x)的关系
D. 以上都对
答案：D
解析：
对于A选项，三角形面积公式，已知，则，可得，变形可得，若把看作一个整体，可表示为的形式。
对于B选项，总价 = 单价×重量，即，则。
对于C选项，长方形面积公式，已知，则。所以以上都对。
已知一次函数的图象经过点，，则(k)与(b)的值分别为
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
答案：C
解析：把，代入得：
用减去得：
，解得。
把代入得：，解得。
（二）填空题
已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则(m)的取值范围是（ ） 。
答案：
解析：因为函数图象经过第一、二、四象限，所以
解(m - 3 < 0)得(m < 3)；
解(2m - 1 > 0)得(2m > 1)，。
所以。
已知一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积为(9)，则(b)的值为( ) 。
答案：
解析：当时，；当时，，，。
所以与两坐标轴的交点坐标分别为((0,b))，。
则三角形面积
。一次函数的应用
学习目标
知识与技能目标
能够理解一次函数在实际问题中的意义，明确函数中自变量与因变量的关系。
熟练掌握利用一次函数的表达式解决实际生活中的最值问题，如最大利润、最小成本等。
学会根据实际问题的条件，准确地建立一次函数模型，并求出函数的表达式。
过程与方法目标
通过对实际问题的分析和解决，培养从实际问题中抽象出数学模型的能力，提高运用数学知识解决实际问题的水平。
在解决问题的过程中，体会函数思想、方程思想以及分类讨论思想的应用，增强逻辑思维能力。
情感态度与价值观目标
感受一次函数在实际生活中的广泛应用，体会数学与生活的紧密联系，激发学习数学的兴趣。
通过小组合作和自主探究等学习方式，培养合作精神和创新意识，提升克服困难的信心和勇气。
知识点讲解
（一）一次函数与实际问题的联系
确定自变量和因变量
在实际问题中，首先要明确哪个量是随着另一个量的变化而变化的。例如，在行程问题中，路程(s)随着时间(t)的变化而变化，这里时间(t)是自变量，路程(s)是因变量。
建立函数关系
根据实际问题中的数量关系，设出一次函数的表达式（(k)，(b)为常数，）。然后通过题目中给出的条件，找到两个满足函数关系的点，将其坐标代入函数表达式，得到关于(k)和(b)的方程组，解方程组求出(k)和(b)的值，从而确定函数表达式。
（二）一次函数的最值问题
一次函数的增减性
对于一次函数，当(k > 0)时，(y)随(x)的增大而增大；当(k < 0)时，(y)随(x)的增大而减小。
求最值
在实际问题中，根据自变量的取值范围，结合一次函数的增减性来求函数的最值。例如，若（(k > 0)），且(x)的取值范围是，那么当时，(y)取得最大值；当时，(y)取得最小值。
（三）分段函数
定义
在实际问题中，有时函数关系在不同的范围内有不同的表达式，这样的函数叫做分段函数。
解决分段函数问题的关键
要明确自变量在不同取值范围内对应的函数表达式，在计算时要根据自变量的取值选择合适的表达式进行计算。
例题解析
（一）行程问题
已知汽车以(60km/h)的速度匀速行驶，行驶路程(s(km))与行驶时间(t(h))之间的函数关系是。
（二）销售问题
某商店销售一种商品，进价为每件(20)元，售价为每件(30)元，每天可卖出(100)件。经市场调查发现，若每件商品的售价每上涨(1)元，则每天的销售量就减少(5)件。设每件商品的售价上涨(x)元，每天的销售利润为(y)元。
求(y)与(x)之间的函数表达式。
（三）方案选择问题
学校计划租用甲、乙两种客车送(400)名师生去参加植树活动，已知甲种客车每辆最多可坐(45)人，租金为(400)元；乙种客车每辆最多可坐(30)人，租金为(280)元。设租用甲种客车(x)辆，总租金为(y)元。
求(y)与(x)之间的函数表达式，并写出自变量(x)的取值范围。
（四）分段函数问题
某城市按以下规定收取每月的水费：用水量如果不超过(6)吨，按每吨(1.2)元收费；如果超过(6)吨，未超过的部分仍按每吨(1.2)元收取，而超过部分则按每吨(2)元收费。如果某
巩固练习
（一）选择题
小明家离学校(1.5km)，小明步行上学需(x min)，那么小明步行速度(y(m/min))可以表示为；水平地面上重(1500N)的物体，与地面的接触面积为，那么该物体对地面压强可以表示为，函数还可以表示许多不同情境中变量之间的关系，请你再列举一例：
A. 三角形的面积为，底边长为(x cm)，则这条边上的高(y cm)与(x)的关系
B. 用(1500)元购买单价为(x)元/千克的水果，则购买水果的重量(y)千克与(x)的关系
C. 长方形的面积为，长为(x cm)，则宽(y cm)与(x)的关系
D. 以上都对
已知一次函数的图象经过点，，则(k)与(b)的值分别为
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
（二）填空题
已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则(m)的取值范围是（ ） 。
已知一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积为(9)，则(b)的值为( ) 。

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