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题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D B A C A B ACD BCD
题号 11
答案 CD
12．
【分析】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前项和的定义，得到关于的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前项和性质得到关于的方程，解之即可得解.
【详解】法一：设该等比数列为，是其前项和，则，
设的公比为，
当时，，即，则，显然不成立，舍去；
当时，则，
两式相除得，即，
则，所以，
所以该等比数列公比为2.
故答案为：.
法二：设该等比数列为，是其前项和，则，
设的公比为，
所以，
，
所以，则，所以，
所以该等比数列公比为2.
故答案为：2.
法三：设该等比数列为，是其前项和，则，
设的公比为，
因为，
又，
所以，所以，
所以该等比数列公比为.
故答案为：.
13．/
【分析】根据椭圆的定义及三角形内切圆的几何性质，以及三角形中位线的性质可得出.
【详解】在等腰中，.
分别延长与，交于点，因为点是三角形的内切圆圆心，所以为的平分线，如图：
又因，故与全等，所以为的中点且.
又因为为的中点，为三角形的中位线，
所以，得.
所以由椭圆的定义可得，得，所以离心率为.
故答案为：
14．
【分析】根据余弦函数的性质及零点个数、极值点的定义列不等式求参数范围.
【详解】由题意，当时，，
因为函数，若在上有且只有两个极值点，
则，解得．
又对任意实数，在上存在零点，且的长度为，
而函数的最小正周期为，则，解得，
综上，的取值范围是.
故答案为：.
15．(1)不能认为学生的性别与是否喜欢跳绳有关；
(2)分布列见解析，数学期望为.
【分析】（1）求出的观测值，与临界值比对即可得解.
（2）求出5人中男女生人数，再求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望.
【详解】（1）零假设：学生的性别和是否喜欢跳绳无关，
根据列联表中数据经计算得，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
即不能认为学生的性别与是否喜欢跳绳有关.
（2）依题意，抽取的5名学生中有男生3名，女生2名，的可能取值为0，1，2，
，
所以的分布列为：
0 1 2
数学期望.
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求；
（2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得；
（3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得.
【详解】（1）已知，由正弦定理，
得，显然，
得，由，
故；
（2）由（1）知，且，，
由余弦定理，
则，
解得（舍去），
故；
（3）由正弦定理，且，
得，且，则为锐角，
故，故，
且；
故.
17．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由与的关系，仿写作差后求出数列的通项，再代入所给方程求出数列的通项即可；
（2）等差与等比数列相乘求和，采用错位相减法，乘以等比数列的公比，再求和即可；
（3）先证明数列为递减数列，求出最大值，再解一元二次不等式求解即可；
【详解】（1）由题意知，
当时，，所以．
当时，，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以．
因为，所以，
所以，令，可得，
所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列．
（2）由（1）知，
所以，
所以，
两式相减，可得
，
所以，所以．
（3）若对一切恒成立，只需要的最大值小于或等于．
因为，
所以，所以数列的最大项为和，且．
所以，即，
解得或，即实数的取值范围是．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求导，再根据题意得，即可得解；
（2）易得函数图象的对称中心为点，即可得出函数的解析式，再分和两种情况讨论，利用分离参数法，构造新的函数，利用导数求出函数的最值即可；
（3）先根据导数的几何意义求出切线的方程，再根据在切线上求出切点的坐标，设割线方程为，再根据都在曲线上，再化简整理即可得出结论.
【详解】（1），由题意得，
所以，所以，
经检验，符合题意，故；
（2）由（1）得，
所以函数图象的对称中心为点，所以，
因为，所以，
①当时，，不成立，舍去．
②当时，，令
所以
令得，令得，
所以在递减，在递增，
所以，
因为存在使成立，
所以，所以，
综上所述，；
（3），
则切线为，
因为，
所以，
因为在切线上，
所以
所以，解得或（舍去），所以，
由题意得割线的斜率是存在的，设割线方程为，
则，
又此方程的根为，
所以
，
所以，所以，
故．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）令，其中，利用导数法可得出，再利用余弦函数的有界性以及不等式的基本性质可证得结论成立；
（2）令，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，验证对任意能否恒成立，综合可得出实数的取值集合.
【详解】（1）证明：令，其中，则，.
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，即，
故对任意的，.
（2）解：令，其中，
若存在实数，使得恒成立，则，其中，
令，令.
令.
①当时，由（1）可知，且不恒为零，、
此时，函数在上为增函数，
因为，所以，当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，合乎题意；
②当时，，当时，，
当时，，
所以，函数在上为增函数，
因为，，
所以，存在，使得，
当时，，则函数在上单调递减，
则当时，，则函数在上单调递减，
当时，，则函数在上单调递减，
故当时，，不合乎题意；
③当时，若，则存在，使得，
且当时，；
若时，可取，当时，.
因此，当时，函数在上为增函数，
当时，，所以，函数在上为增函数，
当时，，所以，函数在上为增函数，
故当时，，不合乎题意.
综上所述，存在，使得恒成立，
故实数的取值集合为.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
答案第2页，共3页石嘴山市第一中学2025-2026学年第一学期高三年级
月考 数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．复数，则的虚部为（ ）
A．3 B． C． D．
3．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．存在函数满足：对任意都有（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数，对任意的、，且时，满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知是奇函数，函数是偶函数，当时，，则（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
7．已知为无穷数列，若是递增数列，是递减数列，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．已知数列中，，且，若存在正整数，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
9．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知曲线，点，，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线关于直线对称
B．曲线上存在点，使得
C．直线与曲线只有一个交点
D．曲线上第一象限内的点到直线与的距离之积为定值
11．已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．的最小正周期是
B．的最大值是
C．在上是增函数
D．直线是图象的一条对称轴
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于 .
13．已知 为坐标原点， ，为椭圆 的左、右焦点， ，是椭圆上异于顶点的一点，点是以为底的等腰三角形的内切圆圆心，过 作，垂足为， ，则椭圆的离心率为
14．设函数 在 内有且只有两个极值点，且对任意实数 在 上存在零点，则 的取值范围为 .
四、解答题：本题共77分。
15．为了研究学生的性别和是否喜欢跳绳之间的关联性， 随机调查了某中学的 100 名学生， 整理得到如下列联表:
男学生 女学生 合计
喜欢跳绳 45 25 70
不喜欢跳绳 15 15 30
合计 60 40 100
(1)依据的独立性检验，能否认为学生的性别和是否喜欢跳绳有关联？
(2)现按照性别比例，采用分层抽样的方法，从这100名学生中抽取5名，再从这5名学生中选出2名参加运动会的跳绳项目，记这两名学生中男生的人数为随机变量，求的分布列和数学期望.
附: ，其中 .
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
16．在中，角的对边分别为．已知，，．
(1)求A的值；
(2)求c的值；
(3)求的值．
17．已知数列的前n项和．若，且数列满足．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求证：数列的前n项和；
(3)若对一切恒成立，求实数的取值范围．
18．已知函数在处取得极值．
(1)求；
(2)函数图象与函数图象关于点对称，若存在使成立，求实数的取值范围；
(3)过点作曲线的一条割线和一条切线（T为切点，与P不重合），均在曲线上，若，求的值．
19．已知函数，其中为自然对数的底，.
(1)求证：；
(2)是否存在实数，使得恒成立？若存在，求的取值集合，若不存在请说明理由.
试卷第4页，共4页
答案第8页，共8页

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