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新启点教育集团2025-2026学年九年级上学期9月月考
数 学 试 卷
一、选择题（共40分）
1．下列方程中，属于一元二次方程的是
A． B． C． D．
2．矩形具有而平行四边形不具有的性质是
A．对角相等 B．对角互补
C．对边相等 D．一组对角线互相平分
3．下列四组线段中，是成比例线段的一组是
A．8，12，6，9 B．3，4，5，6 C．2，5，3，6 D．1，2，3，4
4．漳浦一中要举办元旦文艺会演，当主持人站在舞台的黄金分割点处时最自然得体．如图，若舞台的长为，为的一个黄金分割点（），则的长为（结果精确到）
A． B．
C． D．
5．已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成
A． B． C． D．
6．从，3，6这三个数中任取两个数作为点的坐标，则点在第二象限的概率是
A． B． C． D．
7．如图，四边形是正方形，4，P是正方形对角线上一点，，，E、F分别为垂足，若3，则的长为
A． B．
C． D．4
8．重心是一个物体受力的平衡点，例如：三角形的重心是角平分线的交点、平行四边形的重心是对角线的交点……把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，重心分别为，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点B为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为
B．
C． D．
9．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是
A．且 B． C．且 D．
10．如图，在正方形中，点是的中点，点是上的一点，且，连接、、，下列结论：①，②，③，其中正确有（ ）个
0 B．1
C．2 D．3
二、填空题（共24分）
11．方程的根为
12．1777年，法国科学家布丰提出了一种计算圆周率的方法——随机投针法，即著名的布丰投针问题．在平面上画有一组间距为的平行线，将一根长度为的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率，同时也证明了这个概率是．某数学兴趣小组做了这个试验来估计的近似值，他们取，得到试验数据如下：
试验次数 500 相交频数 105 相交频率 0.21
由此估计的近似值为 （精确到0.01）
13．已知菱形的一条对角线长为，另一条对角线长为，菱形的边长为，则边上的高为 ．
14．如图，在中，，，，，
则 ．
15．在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，，…在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为 ．
16．定义：若满足（为常数）且，
则称点为“友好点”，若均为“友好点”，已知
，且当时，都有，则的取值范围是 ．
三、解答题（共86分）
17．解方程：
(1)； (2)；
若，且，则．若，求的值．
如图，在中，，点为的中点，连接并
延长至点，使得，连接、．求证：．
20．在一个不透明的小口布袋中装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的质地、大小完全相同，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标
(1)画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标．
(2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：x、y若满足2，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？说明理由．
21．如图，点D、E、F分别在等边的三边，，上，且，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
22．某村在“农产品网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年六月底以每袋25元的价格收购了一批农产品，已知七月份销售该农产品256袋，八月，九月该农产品的销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋．
(1)求这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率；
(2)该网店决定十月降价促销，经市场调查发现，当这批农产品的售价为每袋40元时，平均每月的销售量为400袋，若该农产品每袋每降价1元，平均每月的销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？
23．如图，已知正方形中，为延长线上一点，且，、分别为、的中点，连交于O，交，于H点．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)过作于点，连，则的值．
24．新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数或整式的平方，则此方程叫“友好方程”．
(1)判断下列方程一定是“友好方程”有_______个
①；②；③；
(2)若关于的一元二次方程方程，
①证明：此方程一定是“友好方程”；
②设方程的两个实数根分别为，，存在实数，使得始终在函数的图象上，求出的值；
25．在平面直角坐标系中（如图），已知直线l：交x轴于点A，交y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且．点D在线段上，且，过点C作的垂线，交的延长线于点E，连接．
(1)求点D的坐标；
(2)求证：；
(3)如果点P是直线上的动点，连接，
当与相似时，求点P坐标．
新启点教育集团2025-2026学年上学期9月月考参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A B A C A B C D C D
11．，3 12．7 13．cm 14．6 15．． 16．
17．（1）解：，
方程两边加9得7+9
即16，
开方得，
或4，
，7．
（2），
化为一般形式得，
这里，3，，
．
，．
18．解：①当时，，
；
②当时，，，，
，
．
综上所述，的值为或2．
19．证明：点为的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
20．（1）解：画树状图为：
共12种等可能的结果，
点M可能的坐标为：，，，，，，，，，，，．
（2）解：点M的坐标为，，，，，时，x、y若满足，
小明胜的概率，小红胜的概率，
这个游戏不公平．
21．（1）证明：∵为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∵，
∴．
22．（1）解：设这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为，
根据题意可得：，
解得，（不合题意，舍去），
答：这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为；
（2）解：设当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利4250元，
根据题意得：，
解得或（不合题意，舍去），
答：当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利4250元．
23．（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
（2）证明：延长至，且使，连接，则，
∵四边形是正方形，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴为的中点，
又∵为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴
（3）解：过点作交于，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
由角的互余关系得，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
24．（1）解：①，，故符合题意；
②，，故不符合题意；
③，，故符合题意；
所以正确的有2个，故填2
（2）解：①证明：，
，
此方程一定是“友好方程”．
②
，
，，
始终在函数的图象上，
，
，
∴
即存在实数，使得始终在函数的图象上，的值为1．
25．（1）解：对于，令，则，
令，则，
∴，，
∴，．
∵，
∴，．
∵，，
∴，
∴．
又∵在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
∴点D坐标是；
（2）证明：∵，，
∴．
∵，
∴，．
作EH⊥AC于点H，如图，
∵，，
∴．
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴
（3）解：∵，，
∴点P只能在射线上．
∵，，，，，
∴，，．
①当时，即，
∴，
解得：，
∴．
过点作轴于点F．
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为．
设，则，，
在中，，
∴，
解得：，（舍），
，
∴此时；
②当时，即，
∴，
解得：，
∴．
同理可求出．
综上所述：点P坐标是或．

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