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2025~2026学年九年级上学期第一次月考数学试题
一、选择题：本题共 10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1．下列函数中，属于关于的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线y=5（x-2）2+2的顶点坐标是( ）
A．（2，2） B．（-2，2） C．（2，-2 ） D．（-2，-2）
3．抛物线的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
4．由下表可知，方程的一个根(精确到)的范围是(　　)
A． B．
C． D．
5．已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，当点的横坐标逐渐增大时，的面积将会（ ）
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．不变 D．先增大后减小
7．将抛物线y＝x2﹣4x+1向左平移至顶点落在y轴上，如图所示，则两条抛物线.直线y＝﹣3和x轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．反比例函数y=（k≠0）与二次函数y=x2+kx-k的大致图象是( )
A． B． C． D．
9．已知二次函数y=﹣x2+x+6及一次函数y=﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），请你在图中画出这个新图象，当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（　　）
A．﹣＜m＜3 B．﹣＜m＜2 C．﹣2＜m＜3 D．﹣6＜m＜﹣2
10．下列关于二次函数的说法中，正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标是
C．当时，随的增大而减小 D．当时，函数的最小值是
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11．已知抛物线的开口向上，则的值为 ．
12．如图，一次函数y1=ax+b与反比例函数的图像交于A(1，4)、B(4，1)两点，若使y1＞y2，则x的取值范围是 ．
13．如图，点A在双曲线上，过点A作轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于点B，当时，的周长为 .
14．当时，函数的最小值为，则的值为 ．
三、解答题：本题共9小题，共90分。
15．(8分)已知抛物线经过点．
(1)求m的值；
(2)求抛物线的顶点坐标．
16．已知二次函数，
(1)对称轴是__________；
(2)在平面直角坐标系里画出它的图象．
(3)当时，函数的取值范围是__________．
17．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数（x＜0）的图像相交于点A，点B，与x轴交于点C，其中点A(-1，3)和点B（-3，n）．
（1）填空：m= ，n= ；
（2）求一次函数的解析式和的面积．
（3）根据图象回答：当x为何值时，kx+b≤（请直接写出答案）
18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若．
（1）求点的坐标及的值；
（2）若，求一次函数的表达式．
19．有一座抛物线拱型桥，在正常水位时，水面BC的宽为10米，拱桥的最高点D到水面BC的距离DO为4米，点O是BC的中点，如图，以点O为原点，直线BC为x，建立直角坐标xOy．
(1)求该抛物线的表达式.
(2)如果水面BC上升3米 即 至水面EF ， 点E在点F的左侧，求水面宽度EF的长．
20．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，如图所示．
(1)求演员从A处到B处的弹跳过程中离地面的最大高度；
(2)已知人梯高，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是，问这次表演能否成功．请说明理由．
21．已知：在平面直角坐标系中，点，点，点，点是线段上一个动点，点是线段延长线上一个动点，且始终满足．
(1)如图，当时，
①求证：；
②求点的坐标．
(2)如图，若的坐标为，求证：．
22．某商家销售某种商品，每件进价为40元．经市场调查发现，该商品一周的销售量（大于0的整数）件与销售单价（不低于50的整数）满足一次函数关系，部分调查数据如表：
销售单价（元/件） 50 55 60 70 75 …
一周的销售量（件） 500 450 400 300 250 …
(1)直接写出销售量关于销售单价的函数表达式： ．
(2)若一周的销售利润为2750元，则销售单价是多少元/件？
(3)现商家决定将商品一周的销售利润作为捐款寄往贫困地区，则捐款能达到的最大值是 元．
23．如图，拋物线经过三点．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)若在直线上方的抛物线上有一点，使得的面积最大，求出点的坐标；
(3)若是抛物线上一动点，过作轴，垂足为，使得以为顶点的三角形与相似，请直接写出符合条件的点的坐标．
参考答案
一、选择题：本题共 10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B C C C B B D D
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11．
12．x＜0或1＜x＜4
13．/
14．或/或
三、解答题：本题共9小题，共90分。
15．(8分)（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
解得：，
答：m的值为4；
（2）将代入，得
，
∴抛物线的顶点坐标为．
16．(8分) （1）解：∵抛物线解析式为，
∴对称轴为直线；
（2）解：列表如下：
… 0 1 …
… 0 0 …
函数图象如下所示：
（3）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴离对称轴越远函数值越大，
当时，
∵，
∴当时，．
17．(8分) （1）∵反比例函数 (x＜0)的图象过点A（-1，3），B（-3，n），
∴m=3×（-1）=-3，m=-3n，
∴n=1，
故答案为-3，1；
（2）设一次函数解析式y=kx+b，且过（-1，3），B（-3，1），
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为y=x+4，
∵一次函数图象与x轴交点为C，
∴0=x+4，
∴x=-4，
∴C（-4，0），
∵S△AOB=S△AOC-S△BOC，
∴S△AOB=×4×3-×4×1=4；
（3）∵kx+b≤，
∴一次函数图象在反比例函数图象下方，
∴x≤-3或-1≤x＜0.
18．(8分) 解：（1）在中，令y＝0可得，解得x＝2，
∴A点坐标为（2，0）；
连接CO，
∵CB ⊥y轴，
∴CB∥x轴，
∵点C在反比例函数的图象上，
∵反比例函数的图象在二、四象限，
∴，即：m=-5；
（2）∵点A(2，0)，
∴OA=2，
又∵AB=，
∴在中，OB=，
∵CB ⊥y轴，
∴设C(b，2)，
∴，即b=-3，即C(-3，2)，
把C(-3，2)代入，得：，解得：k=，
∴一次函数的解析式为：．
19．(10分) (1)设抛物线解析式为：，
由题意可得图象经过，，
则，
解得：，
故抛物线解析为：；
由题意可得：时，
解得：，
故EF，
答：水面宽度EF的长为5m．
20．(10分) （1）解：将二次函数化为，
当时，y有最大值，，
因此，演员从A处到B处的弹跳过程中离地面的最大高度是5米．
（2）解：能成功表演．理由是：
当时，，
即点在抛物线上，
因此，能表演成功．
21．(12分) （1）①证明：点，点，点，
，，，
，
，
，
，
又，，
；
②解：过点作于，
，
又，，
，
，
，
点；
（2）证明：点，点，
设直线的解析式为：
解得
，
设点坐标为，
，，
，
，
，
，，
，
舍去，，
，
，
点，
，
，
，
．
22．(12分) （1）解：设，
将，代入得：，
解得，
∴销售量关于销售单价的函数表达式为，
故答案为：；
（2）解：根据题意得：，
解得或（舍去），
∴销售单价是95元/件；
（3）解：设商品一周的销售利润为元，
，
，
∴时，取最大值，最大值为9000元，
故答案为：9000．
23．(14分) （1）设抛物线的解析式为，
点在抛物线上，
，
，
抛物线的解析式为；
（2）如图，

当点在抛物线上，且使的面积最大，必有平行于直线的直线，且和抛物线只有一个交点；
设直线解析式为，
，，
∴
解得
直线解析式为，
设直线解析式为①，
抛物线的解析式为②；
联立①②化简得，，
，
，
，
，
（3）如图2，

过点作，
，，
，，
，
设点
．，③，
，
以、、为顶点的三角形与相似，
，①
④，
联立③④解得（舍或或
或
②
⑤
联立③⑤解得，或（舍或
或，
综上，得到点或或或．

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