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数学中分类讨论思想应用的
困惑与对策
一、问题的提出
1、从分类讨论思想应用情况看。分类讨论思想的应用是学校市级立项课题（教师研修工程）中的一个研修项目，通过对分类讨论思想的实践和研究遇到了三个主要问题，即 “该用的不用”、“不该用的在用”、“用的没有用好”，通过对这三个主要问题的思考，笔者以为在重视分类讨论数学思想应用的基础上，要注意“何时应用？如何应用？怎么巧用”三个问题，更要注意克服动辄加以分类讨论的思维定势，同时要充分挖掘数学问题中潜在的特殊性和单一性，尽力打破常规，对应该讨论的要正确讨论，对不必讨论的要避免分类讨论，从而优化学生的思维品质。
2、从数学分类讨论思想在学科中的地位看。分类讨论是一种常用的数学思维方法和解题策略，也是一种重要的数学思想，这种数学思想对人的思维发展起着重要影响。因而分类讨论问题现已逐渐渗透到整个中学数学的每个章节，成为促进学生有效学习的热点问题和重点方法，由于这类问题综合性强，逻辑严密又富有探索性，自然也是学习和教学的难点。
3、从高考中的地位看。近年来，高考中每一道题几乎都考虑到数学思想方法的运用，同时也检验了数学知识，分类讨论思想题深透在各种类型的题目中。故对数学解题思想方法的研修就更显得有现实意义，分类讨论作为一种重要的数学思想更显其地位的显著。
下面就此作一个分析，以抛砖引玉。
二、面临的三个主要困惑
1、该用的不用
对于有的问题因需要进行分类讨论，但因没有进行分类讨论而导致出错，如对于指数函数和对数函数的单调性研究就要对低数进行分类讨论；对于含有绝对值的问题一般也要进行分类讨论；对于有关含有参数或变量的问题等常因没有进行分类讨论而造成错解。
如：例1、求函数的单调区间
错解：设，则，即，在R上为单调递减函数.
错解分析：错解中虽然依据了函数单调性的判断方法，也符合定义的要求，但根本的一点是没有考虑到自变量的取值范围，忽视了和的取值情况，从而在判断上含糊不清导致错解.对于函数单调性的证明没有进行分类讨论致错.
正解：的定义域为，时，，即，故在上为单调递减函数.同理可知，在上单调递减.
点评：此题还需注意的是：不能说在上单调递减，要注意避免这类错误.
2、不该用的在用
对于含有参数，不一定就要用分类讨论，而有的同学不管条件，只要含有参数一味进行分类讨论，结果花了时间不算，还大大增加了解题的出错率.
如例2、已知函数，是否存在实数m，n(m错解：，对于定义域需要分三种情况讨论，即或或然后分别求解，特别是对于种情况对于求最小值又要分两种情况求解，对于，则马上可解得，即,则m=-4，n=0；而对于时，则由，即，这样无论是否可解运算量都是很大的，往往会导致无法继续求解下去；对于第三种情况则因要再分两种情况而导致运算量加大，以致阻碍了解题的进程。
错解分析：以上错解主要是没有很好地利用已知条件，特别隐含的二次函数的最大值不可能大于1，这样只需考虑一种情况即可化解，也就是此根本不用讨论便可求解。
正确：≤,∵3n≤n≤,又, ∴m< ,
∴[m，n](-∞，1). ∵(x)在[m，n]单调增加, ∴,
即,则m=-4，n=0．
此题是《数学辅导报》课标高一必修1版第十期的测试卷中第20题，题中的错解就是因分类讨论的应用不当导致错解甚至无法求解，在学生的练习中遇阻和致错的现象较多。
3、用的没有用好
对于有的问题，虽然用了分类讨论，但没有用好，对于各种情况没有分析清楚导致出错。
如例3、在一个交通拥挤及事故易发路段，为了确保交通安全，交通部门规定，在此路段内的车速（单位：）的平方和车身长（单位：）的乘积与车距成正比，且最小车距不得少于半个车身长.假定车身长为（单位：），且当车速为时，车距恰为车身长，问交通繁忙时应规定怎样的车速，才能在此路段的车流量最大？
错解：，将代入得，，又将代入得，由题意得，
将，
综上所知：取最大值.
错因分析：上述解法中的结果虽然正确，但解题过程中是错误的，即虽然车速要求不低于，所以在求解过程中应分别对低于和不低于这两种情况进行分类求解，得到分段函数，错解就考虑到了这种情况，但没有对低于的情况进行分析求解致错.
正解：依题意，得，
则，显然，当时，是的增函数，时，，当时，，当且仅当时，，综上所述，当时车流量Q取到最大值.
三、采取的主要对策
针对以上困惑和问题，面对学生在解题中遇到的种种问题的现实，分类计论思想的教学必须注意破解三个主要问题，即“何时用？如何用？怎么巧用？”，并从更高层次要求寻求如何避免分类讨论，不断提高解题的水平和能力。
1、何时应用？
对于指数函数和对数函数的单调性研究就要对低数进行分类讨论；对于含有绝对值的问题一般也要进行分类讨论；对于含有参数函数问题；对于含有参数的定义域问题等等。因没有确定的情况，需要分门别类进行研究时则需要讨论.
如二次函数中含有参数的值域问题
例4、已知函数在上，恒成立，求实数的取值范围。
分析：此题是只在二次函数中含有参数值域问题，它可用数形结合思想来解决，从图象中我们可以对对称轴移动分类解决此值域问题。
解：由题意，即令，在上恒成立，由于的对称轴是，结合函数图象可分类讨论：
当时，要求，解得；
当时，只要求，解得；
当时，只要求，解得。
综合上述三种情况，得实数的取值范围应为。
评析：此题是
在二次函数中含有参数并给定区间的二次函数问题，属动轴定区间问题，是二次函数问题中最为典型的类型之一，只有在结合函数图象，合理利用图象的基础上，才能正确对参数进行分类讨论，从而求得正确的答案。
一句话就是：分类讨论是指在需要讨论的时候进行，即这个时候对于参数或变量若不讨论不能直接进行化解.
2、如何应用？
应用分类讨论思想解决有关问题，关键是正确地进行分类，而分类一般有以下几个原则：
（1）、要有明确的分类标准；
（2）、对讨论对象分类时要不重复、不遗漏，即分成若干类，其并集为全集，两两的交集为空集；
（3）、当讨论的对象不止一种时，应分层次进行，以避免混乱，分大类时有一个统一的标准，每一大类中再分几小类可另有统一的标准。
把一个数学问题的研究对象按一定的标准分成几个部分或几种情况，化整为零，一一解决，实际上是一种“分而治之，各个击破”的策略。其操作步骤主要可分为以下四步①、确定分类讨论的对象——理解分类讨论的概念；②、进行恰当合理的分类——掌握分类讨论的原则；③、逐类逐级讨论——学会分类讨论的方法；④、综合概括——培养逻辑思维能力。
下面以不等式的分类讨论为例进行说明：
（1）、不含参数的不等式型。
这种题型解决的关键是对变量进行分类讨论。
例5 不等式的解集是( 　　　　　　)
(A){x∣-2≤x≤2} (B)
(C){x∣-2≤x＜0或0＜x≤ (D) 　　分析：使不等式有意义的x的范围是4-x2≥0，x≠0。即-2≤x＜0或0＜x≤2，题设不等式的左边为两项，其中一项为二次算术根式，另一项是带绝对值的分式。宜先分类讨论去掉绝对值符号，化为无理不等式处理。
解：(1)当x>0时，，原不等式等价于。由4-x2≥0，x＞0，得0＜x≤2；　(2)当x＜0时，，原不等式等价于，由4-x2≥0;4-x2≥1;x＜0得，所以原不等式的解集为。故应选(B)。
点评：此题是关于自变量的分类讨论，运用分类讨论可以起到简化运算的作用，使问题得到顺利解决。
（2）、含有参数的不等式型。
这种题型解决的关键是对参数进行分类讨论。
例6、（2001年天津高考题理科）
分析：本题主要考查分式不等式的解法，着重考察化归思想及分类讨论思想。
因为，所以此不等式可以转化为一元二次不等式，因与大小不能确定，故需分类讨论。
解：等价于
所以有（1）若，则不等式变为无解，解集为；
（2）若则，不等式变为无解，解集为；
（3）若则所以故解集为
（4）若则所以故解集为
综上所述，可得，当原不等式的解集为；
当原不等式的解集为
当原不等式的解集为
点评：此题是含参型不等式题，属于一级分类讨论问题，通过正确的分类，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答。
3、怎么巧用？
从哲学辩证的角度，注意克服动辄加以分类讨论的思维定势，同时要充分挖掘数学问题中潜在的特殊性和单一性，尽力打破常规，对应该讨论的要正确讨论，对不必讨论的要避免分类讨论，从而优化学生的思维品质。下面就如何避免分类计论提出十个方法，以供参考，即对于分类讨论思想的运用要做到“用之有度、避之有法”，
（1）、等价变换，避免讨论
例7、8个人坐在前后两排长凳上拍照，若前后排可以随意坐（包括可以一排没有人，
一排8人），共有多少种不同坐法？
分析：此问题可以分为：（1）前排没有人，后排8人；（2）前排1人，后排7人；（3）前排2人，后排6人；……（9）前排8人，后排没有人9种情况来考虑，但这太繁杂。
该问题等价于8个人再添加一个分隔“元素”，共9个“元素”全排列，后面的坐在后排，由以上分析共有种不同的坐法。
（2）、巧用公式，避免讨论
三角函数部分公式繁多，选择不当，往往增加解题的难度，解题中要尽量避免由于角
的条件去讨论三角函数的符号，选择恰当的公式，即可回避讨论，化繁为简。
例8：已知求的值。
分析：若选用公式来求，必须对分两部分和分别讨论的符号；若根据的范围，直接选用恰当的平方关系式，则可有效地避开讨论。
解：
（3）、挖掘内涵，避免讨论
例9、解方程组：
分析：按常规解法，根据绝对值定义，分类来解方程组。但由第二个方程可发现
隐含条件，利用这个隐含条件，可以避免讨论。
解：由原方程组：中的第二个方程可知，则第一个方程可化为结合可以得到，
故原方程组的解为：，或
（4）、引参换元，避免讨论
引入参变量，作为揭示变量间的内在联系的媒介，有助于对运动变化过程做出定量的
刻画，消化难点，化难为易。
例10、解不等式
分析：本题按常规解法是去分母，两边平方去根号，而且需要讨论左右的正负情况，若我们注意观察原不等式，引入参数，进行三角换元，可避免繁琐的解题过程。
解： 令，，则原不等式可化为：，解得，故，，所以原不等式的解集为。
（5）、反客为主，避免讨论
在含参数的方程或不等式中，根据解题的需要合理选择主元，反客为主，接下去需解有关主变元函数的有关问题，往往可以回避讨论。
例11、 若 在时恒为正数，求实数的取值范围。
分析：本题形式上是关于的二次函数，如果用换元的方法去讨论，明显较繁.若能变更主元把原函数看成是关于的一次函数，问题便迎难而解了。
解：设关于的函数
= 当时恒成立。
即只须满足－1< < < x <。
评注：本题的解法侧重于对题意等价地“改头换面”，更直截了当地把握了问题的本质。
（6）、消除参数，避免讨论
回避参数，运用正难则反、等价转化等手段可以使问题的解决与参数的讨论无关，以
避开对参数的烦琐讨论。
例12、已知适合不等式的x的最大值为3，求p的值。
分析：本题的第一感觉是去绝对值讨论不等式组的解的最大值，显然去绝对值和后面的分类讨论过程都相当烦琐，计算复杂。不妨回避讨论：由x的最大值为3知道整数“3”是不等式解的一个端点值这一重要信息，利用不等式的性质可把参数问题具体化。
解：由已知不等式的性质知“3”是不等式解的一个端点值，
“3”是方程的一个解，代入得p=8或p=－2。
当p=8时，不等式为，∵
∴ 或 满足题意。
当p=－2时，不等式为，
易知5是不等式的解，故x的解显然大于3，不满足题意。
∴p=8。
评：把含参不等式具体化显然比直接分类讨论求不等式解的最大值要简单得多。
（7）、整体化归，避免讨论
例13、函数在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则 .
分析：此题的常规思维是对底数分来讨论确定函数的单调性，再分别求出在[0，1]上的最大值与最小值后求值；若从整体思维出发，单调函数在闭区间上的最值总是在端点处达到，则可回避讨论，直接求解。
解：由题设得 ，故
说明：将数学问题分成若干问题，逐个击破，分而治之固然重要，但有时若能有意识地放大看问题的视线，将问题视为整体，去研究整体的形式与结构，可能会起到意想不到的效果。
（8）、数形结合，避免讨论
利用函数图像的直观性能巧妙地将数量关系与空间图形有机的结合起来，有时也可以回避问题的讨论。
例14 、已知集合，，若，求的范围。
解析 按照不等式知识须分分类讨论求出集合，而用数形结合来解就不必讨论。
由,解得
令，如图， ，且2,又，1
（9）、找出共性，避免讨论
例15、已知：，证明：
分析：一般常规解法是分和两种情况讨论。可是无论或，与都是同号，这是共性，抓住这共性就可以避免讨论。
解：与同号，
（10）、巧用补集思想，避免讨论
有些问题，分类讨论比较麻烦，若用补集法去考虑问题的对立面，即从结论的反面去思考和探索，得出反面结论，结合集合性质，可以将题目化难为易，化繁为简，开拓解题思路。
例16、 如果二次函数的图像与轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求的取值范围.
解析：若从正面求解，必须要对“两交点均在原点右侧”，“一个交点在原点右侧另一个交点在原点左侧”等情况进行分类讨论；若从反面考虑问题，即先考虑两个交点都在原点左侧时的取值范围，则由一元二次方程有两负根得：
≥9，
取其补集得，＜9，且必须满足△≥0与≠0，故二次函数图像与轴的交点至少有一个在原点右侧的范围为≤1且≠0。
分类讨论思想是重要数学思想之一，避免复杂的分类讨论有助于提高学生思维能力，是学习的一个更高层次。只要我们重视双基、重视学习，适时避免，选择适当的方法，恰当运用分类讨论思想，做到“用之有度、避之有法”，就会不断提高学生的解题水平，优化学生的思维品质。
参考资料：
1、刘文武 《中学数学中重要的数学思想--分类讨论的思想》
2、任志鸿 《高中总复习优化设计（数学）》
3、吴海彪 《数学思想和数学方法的教学》
4、施建昌 《分类讨论思想解不等式》（现代教育报（高考周刊）》06年(12)期
5、施建昌 《用之有度、避之有法》（学习周报）（高三） 07(36)期
课件32张PPT。数学中分类讨论思想应用的困惑与对策一、问题的提出1、从分类讨论思想应用情况看。2、从数学分类讨论思想在学科中的地位看。3、从高考中的地位看。1、从分类讨论思想应用情况看。 分类讨论思想的应用是学校市级立项课题（教师研修工程）中的一个研修项目，通过对分类讨论思想的实践和研究遇到了三个主要问题，即 “该用的不用”、“不该用的在用”、“用的没有用好”，通过对这三个主要问题的思考，笔者以为在重视分类讨论数学思想应用的基础上，要注意“何时应用？如何应用？怎么巧用”三个问题，更要注意克服动辄加以分类讨论的思维定势，同时要充分挖掘数学问题中潜在的特殊性和单一性，尽力打破常规，对应该讨论的要正确讨论，对不必讨论的要避免分类讨论，从而优化学生的思维品质。2、从数学分类讨论思想在学科中的地位看。 分类讨论是一种常用的数学思维方法和解题策略，也是一种重要的数学思想，这种数学思想对人的思维发展起着重要影响。因而分类讨论问题现已逐渐渗透到整个中学数学的每个章节，成为促进学生有效学习的热点问题和重点方法，由于这类问题综合性强，逻辑严密又富有探索性，自然也是学习和教学的难点。3、从高考中的地位看。 近年来，高考中每一道题几乎都考虑到数学思想方法的运用，同时也检验了数学知识，分类讨论思想题深透在各种类型的题目中。故对数学解题思想方法的研修就更显得有现实意义，分类讨论作为一种重要的数学思想更显其地位的显著。二、面临的三个主要困惑1、该用的不用2、不该用的在用3、用的没有用好1、该用的不用 对于有的问题因需要进行分类讨论，但因没有进行分类讨论而导致出错，如对于指数函数和对数函数的单调性研究就要对低数进行分类讨论；对于含有绝对值的问题一般也要进行分类讨论；对于有关含有参数或变量的问题等常因没有进行分类讨论而造成错解。 对于含有参数，不一定就要用分类讨论，而有的同学不管条件，只要含有参数一味进行分类讨论，结果花了时间不算，还大大增加了解题的出错率.2、不该用的在用3、用的没有用好 对于有的问题，虽然用了分类讨论，但没有用好，对于各种情况没有分析清楚导致出错。三、采取的主要对策1、何时应用2、如何应用3、怎么巧用 针对以上困惑和问题，面对学生在解题中遇到的种种问题的现实，分类计论思想的教学必须注意破解三个主要问题，即“何时用？如何用？怎么巧用？”，并从更高层次要求寻求如何避免分类讨论，不断提高解题的水平和能力。1、何时应用1、何时应用2、如何应用3、怎么巧用 从哲学辩证的角度，注意克服动辄加以分类讨论的思维定势，同时要充分挖掘数学问题中潜在的特殊性和单一性，尽力打破常规，对应该讨论的要正确讨论，对不必讨论的要避免分类讨论，从而优化学生的思维品质。下面就如何避免分类计论提出十个方法，以供参考，即对于分类讨论思想的运用要做到“用之有度、避之有法”。3、怎么巧用（1）、等价变换，避免讨论（2）、巧用公式，避免讨论（3）、挖掘内涵，避免讨论（4）、引参换元，避免讨论（5）、反客为主，避免讨论（6）、消除参数，避免讨论（7）、整体化归，避免讨论（8）、数形结合，避免讨论（9）、找出共性，避免讨论（10）、巧用补集思想，避免讨论 分类讨论思想是重要数学思想之一，避免复杂的分类讨论有助于提高学生思维能力，是学习的一个更高层次。只要我们重视双基、重视学习，适时避免，选择适当的方法，恰当运用分类讨论思想，做到“用之有度、避之有法”，就会不断提高学生的解题水平，优化学生的思维品质。结束语Tel:13588578563 Qq:294190429（1）、等价变换，避免讨论（2）、巧用公式，避免讨论（3）、挖掘内涵，避免讨论（4）、引参换元，避免讨论（5）、反客为主，避免讨论（6）、消除参数，避免讨论（7）、整体化归，避免讨论（8）、数形结合，避免讨论（9）、找出共性，避免讨论（10）、巧用补集思想，避免讨论

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