资源简介

(共56张PPT)
3.2　基本不等式
新课程标准解读 核心素养
逻辑推理
2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值
或最小值问题 数学建模
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
第一课时　基本不等式
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标.它依据我国著名数学家赵爽在研究勾股定理的弦图进行设计，颜色的
明暗使其看起来像一个风车.
【问题】　依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？




知识点　重要不等式与基本不等式
1. 重要不等式
对于任意实数 x 和 y ，有 ≥ xy ，当且仅当 时，等号
成立.
x ＝ y 　
2. 基本不等式
设 a ≥0， b ≥0，有 ≥ ，当且仅当 时，等
号成立.
其中， 称为 a ， b 的 ， 称为 a ， b 的几何
平均值.
基本不等式又称为均值不等式，也可以表述为：两个非负实数
的 平均值大于或等于它们的 平均值.
a ＝ b 　
算术平均值　
算术　
几何　
提醒　（1）不等式 a2＋ b2≥2 ab 与 ≥ 的比较：①两个不
等式 a2＋ b2≥2 ab 与 ≥ 成立的条件是不同的.前者要求
a ， b 是实数即可，而后者要求 a ≥0， b ≥0；②两个不等式 a2＋
b2≥2 ab 和 ≥ 都是带有等号的不等式，都是“当且仅当 a
＝ b 时，等号成立”.
（2）基本不等式的常见变形：① a ＋ b ≥2 ；② ab ≤
≤ （其中 a ＞0， b ＞0，当且仅当 a ＝ b 时等号成立）.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）对于任意 a ， b ∈R， a2＋ b2≥2 ab . （　√　）
（2） n ∈N＋时， n ＋ ＞2 . （　√　）
（3） x ≠0时， x ＋ ≥2. （　×　）
（4）若 a ＞0，则 a3＋ 的最小值为2 . （　×　）
√
√
×
×
2. （多选）若 a ＞ b ＞0，则下列不等式成立的是（　　）
A. ＞ ＜
C. ＞ 　 D. ＞
解析：　由 a ＞ b ＞0，得 ＜ ，所以 ＜1，即
＜ ，（ a ＋ b ）2＝ a2＋ b2＋2 ab ＞4 ab ，即 ＜ ，故选
项A、B、D均成立.
3. 若 x ＞0，则 y ＝ ＋ x 的最小值为 .
解析：∵ x ＞0， ＞0，∴ y ＝ x ＋ ≥2 ＝4，当且仅当 x ＝
，即 x ＝2时，等号成立，故 ymin＝4.
4　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 对基本不等式的理解
【例1】　给出下面三个推导过程：
①∵ a ， b 为正实数，∴ ＋ ≥2 ＝2；
②∵ a ∈R， a ≠0，∴ ＋ a ≥2 ＝4；
③∵ x ， y ∈R， xy ＜0，∴ ＋ ＝－［（－ ）＋ ］≤－2
＝－2.
其中正确的推导为（　　）
A. ①② B. ①③
C. ②③ D. ①②③
解析：　①∵ a ， b 为正实数，∴ ， 为正实数，符合基本不等式
的条件，故①的推导正确.②∵ a ∈R， a ≠0，不符合基本不等式的条
件，∴ ＋ a ≥2 ＝4是错误的.③由 xy ＜0，得 ， 均为负数，
但在推导过程中将整体 ＋ 提出负号后， ， 均变为正
数，符合基本不等式的条件，故③正确.
通性通法
利用基本不等式判断命题真假的步骤
第一步：检查是否满足应用基本不等式的条件；
第二步：应用基本不等式；
第三步：检验等号是否成立.
【跟踪训练】
不等式 a ＋1≥2 （ a ＞0）中等号成立的条件是（　C　）
A. a ＝0
C. a ＝1 D. a ＝2
C
题型二 利用基本不等式比较大小
【例2】若 a ， b ∈R，则下列不等式恒成立的是（　　）
A. ≥ ＋ ≥2
C. ≥（ ）2　 D. （ a ＋ b ）（ ＋ ）≥4
解析：　令 a ＝－2， b ＝2，则A、B、D均错误.对于C，∵ a2＋
b2≥2 ab ，∴2 a2＋2 b2≥ a2＋ b2＋2 ab ，∴2（ a2＋ b2）≥（ a ＋ b ）
2，∴ ≥（ ）2，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立，故C正确.
通性通法
运用基本不等式比较大小的注意点
（1）要灵活运用基本不等式，特别注意其变形；
（2）应注意成立的条件，即 a ＋ b ≥2 成立的条件是 a ≥0， b
≥0，等号成立的条件是 a ＝ b ； a2＋ b2≥2 ab 成立的条件是 a ，
b ∈R，等号成立的条件是 a ＝ b .
【跟踪训练】
若0＜ a ＜ b ，则下列不等式一定成立的是（　　）
解析：　∵0＜ a ＜ b ，∴2 b ＞ a ＋ b ，∴ b ＞ ＞ .又∵ b ＞ a
＞0，∴ ab ＞ a2，∴ ＞ a .故 b ＞ ＞ ＞ a .
题型三 应用基本不等式证明不等式
【例3】　已知 a ＞0， b ＞0， c ＞0，且 a ＋ b ＋ c ＝1.求证： ≥8.
证明：因为 a ＞0， b ＞0， c ＞0，且 a ＋ b ＋ c ＝1，
所以 －1＝ ＝ ≥ ，
同理 －1≥ ， －1≥ .
上述三个不等式两边均为正，由不等式同向同正可乘性，分别相乘，
得 ≥ · · ＝8.
当且仅当 a ＝ b ＝ c ＝ 时，等号成立.
【母题探究】
1. （变设问）在本例条件下，求证： ＋ ＋ ≥9.
证明：因为 a ＞0， b ＞0， c ＞0，且 a ＋ b ＋ c ＝1，
所以 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋
＝3＋ ＋ ＋ ≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当 a ＝
b ＝ c ＝ 时，等号成立.
2. （变条件，变设问）本例条件变为“ a ＋ b ＝1， a ＞0， b ＞0，”
求证： ≥9.
证明：∵ a ＋ b ＝1， a ＞0， b ＞0，∴ ＝ ＝ ＝5＋2 ≥5＋4 ＝
9，当且仅当 a ＝ b ＝ 时，等号成立.
∴ ≥9.
通性通法
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
（1）策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性
质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，
其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”；
（2）注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；
②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意
使用；③对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，构成
基本不等式模型再使用.
【跟踪训练】
已知 a ， b ， c 为正数，且满足 abc ＝1.证明： ＋ ＋ ≤ a2＋ b2＋
c2.
证明：因为 a2＋ b2≥2 ab ， b2＋ c2≥2 bc ， c2＋ a2≥2 ac ，又 abc ＝1，
故有 a2＋ b2＋ c2≥ ab ＋ bc ＋ ca ＝ ＝ ＋ ＋ .当且仅当 a
＝ b ＝ c ＝1时，等号成立.
所以 ＋ ＋ ≤ a2＋ b2＋ c2.
1. 下列不等式一定成立的是（　　）
C. x2＋1≥2｜ x ｜（ x ∈R）
解析：　选项A中， x2＋ ≥ x ，当 x ＝ 时， x2＋ ＝ x ，故选项A
不正确；选项B中， sin x ＋ ≥2（ sin x ∈（0，1]）， sin x ＋
≤－2（ sin x ∈[－1，0）），故选项B不正确；选项C中， x2－
2｜ x ｜＋1＝（｜ x ｜－1）2≥0（ x ∈R），故选项C正确；选项D
中， ∈（0，1]（ x ∈R），故选项D不正确.
2. 下列不等式正确的是（　　）
解析：　∵ a2＞0，故 a2＋ ≥2成立.
3. （多选）下列说法中正确的是（　　）
A. a2＋ b2≥2 ab 成立的条件是 a ≥0， b ≥0
B. a2＋ b2≥2 ab 成立的条件是 a ， b ∈R
解析：　根据不等式成立的条件可知只有B、C正确，故选
B、C.
4. 下列不等式中，正确的是 （填序号）.
① a ＋ ≥4；② a2＋ b2≥4 ab ；③ ≥ ；④ x2＋ ≥2 .
解析： a ＜0，则 a ＋ ≥4不成立，故①错； a ＝1， b ＝1，则 a2＋
b2＜4 ab ，故②错； a ＝4， b ＝16，则 ＜ ，故③错；由基
本不等式可知④正确.
④　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 给出下列条件：① ab ＞0；② ab ＜0；③ a ＞0， b ＞0；④ a ＜0， b
＜0.其中可使 ＋ ≥2成立的个数是（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析：　根据基本不等式的条件， a ， b 同号，则 ＋ ≥2，故
选C.
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2. a ， b ∈R，则 a2＋ b2与2｜ ab ｜的大小关系是（　　）
A. a2＋ b2≥2｜ ab ｜ B. a2＋ b2＝2｜ ab ｜
C. a2＋ b2≤2｜ ab ｜ D. a2＋ b2＞2｜ ab ｜
解析：　∵ a2＋ b2－2｜ ab ｜＝（｜ a ｜－｜ b ｜）2≥0，∴ a2＋
b2≥2｜ ab ｜（当且仅当｜ a ｜＝｜ b ｜时，等号成立）.
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3. 若 a ， b ∈R且 ab ＞0，则下列不等式中恒成立的是（　　）
A. a2＋ b2＞2 ab
解析：　∵ a2＋ b2－2 ab ＝（ a － b ）2≥0，∴A错误；对于B、
C，当 a ＜0， b ＜0时，显然错误；对于D，∵ ab ＞0，∴ ＋ ≥2
＝2，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立，∴D正确.
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4. 设0＜ a ＜ b ，且 a ＋ b ＝1，则下列四个数中最大的是（　　）
B. a2＋ b2
解析：　法一　因为0＜ a ＜ b ，所以1＝ a ＋ b ＞2 a ，所以 a ＜ .
又因为 a2＋ b2≥2 ab ，所以四个数中的最大数一定不是 a 和2 ab .又
因为1＝ a ＋ b ＞2 ，所以 ab ＜ ，所以 a2＋ b2＝（ a ＋ b ）2－2
ab ＝1－2 ab ＞1－ ＝ ，即 a2＋ b2＞ ，故选B.
法二（特值检验法）　取 a ＝ ， b ＝ ，则2 ab ＝ ， a2＋ b2＝ .
因为 ＞ ＞ ＞ ，所以 a2＋ b2最大，故选B.
C. 2 ab D. a
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5. （多选）下列命题中，为真命题的是（　　）
B. x ∈R， x2＋1≥2 x
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解析：　因为 x ＋1－2 ＝（ －1）2≥0，所以 x ＋1≥2
对 x ∈[0，＋∞）恒成立，故A错误；因为 x2＋1－2 x ＝（ x －1）
2≥0，所以 x2＋1≥2 x 对 x ∈R恒成立，故B正确；因为 －1＝
≤0，所以 ≤1对 x ∈R恒成立，故C正确；因为 x ＋ ≥2
＝2，当且仅当 x ＝ 即 x ＝1时取得等号，但是 x ＞1，等号取
不到，故D错误，故选B、C.
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6. （多选）若正实数 a ， b 满足 a ＋ b ＝1，则下列说法正确的是
（　　）
A. ab ≥ ＋ ≥
C. ＋ ≥4　 D. a2＋ b2≥
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解析：　∵ a ＞0， b ＞0，且 a ＋ b ＝1，∴1＝ a ＋ b ≥2 ，
∵ ab ≤ ，∴A错误；（ ＋ ）2＝ a ＋ b ＋2 ＝1＋2
≤1＋2 ＝2，∴ ＋ ≤ ，∴B错误； ＋ ＝ ＝
≥4，∴C正确； a2＋ b2＝（ a ＋ b ）2－2 ab ＝1－2 ab ≥1－2× ＝
，∴D正确，故选C、D.
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7. 已知 a ＞0， b ＞0，且 ＋ ＝ ，则 ab 的最小值是 　2 　.
解析：因为 ＝ ＋ ≥2 ，所以 ab ≥2 ，当且仅当 ＝
时，取等号.
2 　
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8. 已知 a ， b 是不相等的正数， x ＝ ， y ＝ ，则 x ， y 的
大小关系是 .
解析： x2＝ ， y2＝ a ＋ b ＝ ，
∵ a ＋ b ＞2 （ a ≠ b ），∴ x2＜ y2，∵ x ， y ＞0，∴ x ＜ y .
x ＜ y 　
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9. 设 a ＞0， b ＞0，且不等式 ＋ ＋ ≥0恒成立，则实数 k 的取
值范围是 .
解析：因为 a ＞0， b ＞0，所以原不等式可化为 k ≥－ （ a
＋ b ），所以 k ≥－ －2.因为 ＋ ≥2（当且仅当 a ＝ b
时，等号成立），所以－ －2≤－4，所以 k ≥－4，即 k 的
取值范围是[－4，＋∞）.
[－4，＋∞）　
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10. 已知 a ， b ， c 均为正实数， abc ＝1，证明： ＋ ＋ ≤ ＋
＋ .
证明：因为 ＋ ＋ ＝ （ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ）≥ × ，又 abc ＝1，所以 ＝ c ， ＝ b ， ＝ a ，所以
＋ ＋ ≥ ＋ ＋ ，当且仅当 a ＝ b ＝ c 时，等号成立.
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11. 设 a ＞0， b ＞0，则“ a ＋ b ≤1”是“ ＋ ≥8”的（　　）
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
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解析：　 a ＞0， b ＞0，若 a ＋ b ≤1，则 ＋ ≥ ＋
＝2＋ ＋ ＋ ＋ ≥2＋2 ＋2 ＝8，
当且仅当 a ＝ b ＝ 时等号同时成立，充分性满足；若 ＋
≥8， a ＋ b ≤1不一定成立，例如 a ＝1， b ＝ 时， ＋ ≥8，
但 a ＋ b ＞1，必要性不满足，故选B.
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12. （多选）若 a ， b ， c ∈R，且 ab ＋ bc ＋ ca ＝1，则下列不等式成
立的是（　　）
B. （ a ＋ b ＋ c ）2≥3
D. a2＋ b2＋ c2≥1
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解析：　由基本不等式可得 a2＋ b2≥2 ab ， b2＋ c2≥2 bc ， c2＋
a2≥2 ca ，上述三个不等式全部相加得2（ a2＋ b2＋ c2）≥2（ ab
＋ bc ＋ ca ）＝2，∴ a2＋ b2＋ c2≥1，当且仅当 a ＝ b ＝ c 时，等号
成立，∴（ a ＋ b ＋ c ）2＝ a2＋ b2＋ c2＋2（ ab ＋ bc ＋ ca ）≥3，
∴ a ＋ b ＋ c ≤－ 或 a ＋ b ＋ c ≥ ，若 a ＝ b ＝ c ＝－ ，则
＋ ＋ ＝－3 ＜2 ，因此，A、C选项错误，B、D选项正
确.故选B、D.
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13. 已知 a ＞ b ＞ c ，则 与 的大小关系
是 .
解析：∵ a ＞ b ＞ c ，∴ a － b ＞0， b － c ＞0.∴ ＝
≥ ，当且仅当 a － b ＝ b －
c ，即2 b ＝ a ＋ c 时取等号.
≤ 　
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14. 设 a ， b ， c 都是正数，试证明不等式： ＋ ＋ ≥6.
证明：因为 a ＞0， b ＞0， c ＞0，
所以 ＋ ≥2， ＋ ≥2， ＋ ≥2，
所以 ＋ ＋ ≥6，
当且仅当 ＝ ， ＝ ， ＝ ，即 a ＝ b ＝ c 时，等号成立.
所以 ＋ ＋ ≥6.
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15. （多选）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问
题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原
理，很多代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无
字证明.现有图形如图所示， C 为线段 AB 上的点，且 AC ＝ a ，
BC ＝ b ， O 为 AB 的中点，以 AB 为直径作半圆.过点 C 作 AB 的垂
线交半圆于 D ，连接 OD ， AD ， BD ，过点 C 作 OD 的垂线，垂足
为 E . 则该图形可以完成的所有的无字证明为（　　）
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B. a2＋ b2≥2 ab （ a ＞0， b ＞0）
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解析：　 AB ＝ a ＋ b ， OA ＝ OB ＝ OD ＝ ，由射影定理可
知， CD2＝ AC · BC ＝ ab ，所以 CD ＝ ；在Rt△ OCD 中， OD
＞ CD ，当且仅当 OD ⊥ AB 时取等号，所以A正确；在Rt△ OCD
中， CD2＝ DE · OD ，所以 DE ＝ ＝ ＝ ＝ ，由于
CD ≥ DE ，所以 ≥ ，所以C正确，故选A、C.
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16. 是否存在正实数 a 和 b ，同时满足下列条件：① a ＋ b ＝10；②
＋ ＝1（ x ＞0， y ＞0）且 x ＋ y ≥18？若存在，求出 a ， b 的值；
若不存在，说明理由.
解：因为 ＋ ＝1，
所以 x ＋ y ＝（ x ＋ y ） ＝ a ＋ b ＋ ＋ ≥ a ＋ b ＋2
＝（ ＋ ）2，
又 x ＋ y ≥18，所以（ ＋ ）2＝18.
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由
得或
故存在实数 a ＝2， b ＝8或 a ＝8， b ＝2满足条件.
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谢 谢 观 看！3.2　基本不等式
第一课时　基本不等式
1.给出下列条件：①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b＜0.其中可使＋≥2成立的个数是（　　）
A.1　 B.2
C.3　 D.4
2.a，b∈R，则a2＋b2与2｜ab｜的大小关系是（　　）
A.a2＋b2≥2｜ab｜　 B.a2＋b2＝2｜ab｜
C.a2＋b2≤2｜ab｜　 D.a2＋b2＞2｜ab｜
3.若a，b∈R且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是（　　）
A.a2＋b2＞2ab　 B.a＋b≥2
C.＋＞　 D.＋≥2
4.设0＜a＜b，且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是（　　）
A.　 B.a2＋b2
C.2ab　 D.a
5.（多选）下列命题中，为真命题的是（　　）
A. x∈R，x＋1≥2
B. x∈R，x2＋1≥2x
C. x∈R，≤1
D.x＞1时，x＋的最小值是2
6.（多选）若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列说法正确的是（　　）
A.ab≥　 B.＋≥
C.＋≥4　 D.a2＋b2≥
7.已知a＞0，b＞0，且＋＝，则ab的最小值是　　　　.
8.已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是　　　　.
9.设a＞0，b＞0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的取值范围是　　　　.
10.已知a，b，c均为正实数，abc＝1，证明：＋＋≤＋＋.
11.设a＞0，b＞0，则“a＋b≤1”是“＋≥8”的（　　）
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
12.（多选）若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是（　　）
A.a＋b＋c≤　 B.（a＋b＋c）2≥3
C.＋＋≥2　 D.a2＋b2＋c2≥1
13.已知a＞b＞c，则与的大小关系是　　　　.
14.设a，b，c都是正数，试证明不等式：＋＋≥6.
15.（多选）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E.则该图形可以完成的所有的无字证明为（　　）
A.≥（a＞0，b＞0）
B.a2＋b2≥2ab（a＞0，b＞0）
C.≥（a＞0，b＞0）
D.＝（a≥0，b＞0）
16.是否存在正实数a和b，同时满足下列条件：①a＋b＝10；②＋＝1（x＞0，y＞0）且x＋y≥18？若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由.
第一课时　基本不等式
1.C　根据基本不等式的条件，a，b同号，则＋≥2，故选C.
2.A　∵a2＋b2－2｜ab｜＝（｜a｜－｜b｜）2≥0，∴a2＋b2≥2｜ab｜（当且仅当｜a｜＝｜b｜时，等号成立）.
3.D　∵a2＋b2－2ab＝（a－b）2≥0，∴A错误；对于B、C，当a＜0，b＜0时，显然错误；对于D，∵ab＞0，∴＋≥2＝2，当且仅当a＝b时，等号成立，∴D正确.
4.B　法一　因为0＜a＜b，所以1＝a＋b＞2a，所以a＜.又因为a2＋b2≥2ab，所以四个数中的最大数一定不是a和2ab.又因为1＝a＋b＞2，所以ab＜，所以a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝1－2ab＞1－＝，即a2＋b2＞，故选B.
法二（特值检验法）　取a＝，b＝，则2ab＝，a2＋b2＝.因为＞＞＞，所以a2＋b2最大，故选B.
5.BC　因为x＋1－2＝（－1）2≥0，所以x＋1≥2对 x∈[0，＋∞）恒成立，故A错误；因为x2＋1－2x＝（x－1）2≥0，所以x2＋1≥2x对 x∈R恒成立，故B正确；因为－1＝≤0，所以≤1对 x∈R恒成立，故C正确；因为x＋≥2＝2，当且仅当x＝即x＝1时取得等号，但是x＞1，等号取不到，故D错误，故选B、C.
6.CD　∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1，∴1＝a＋b≥2，∵ab≤，∴A错误；（＋）2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋2＝2，∴＋≤，∴B错误；＋＝＝≥4，∴C正确；a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，∴D正确，故选C、D.
7.2　解析：因为＝＋≥2，所以ab≥2，当且仅当＝时，取等号.
8.x＜y　解析：x2＝，y2＝a＋b＝，
∵a＋b＞2（a≠b），∴x2＜y2，∵x，y＞0，∴x＜y.
9.[－4，＋∞）　解析：因为a＞0，b＞0，所以原不等式可化为k≥－·（a＋b），所以k≥－－2.因为＋≥2（当且仅当a＝b时，等号成立），所以－－2≤－4，所以k≥－4，即k的取值范围是[－4，＋∞）.
10.证明：因为＋＋＝（＋＋＋＋＋）≥×，又abc＝1，所以＝c，＝b，＝a，所以＋＋≥ ＋＋，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.
11.B　a＞0，b＞0，若a＋b≤1，则＋≥＋＝2＋＋＋＋≥2＋2＋2＝8，当且仅当a＝b＝时等号同时成立，充分性满足；若＋≥8，a＋b≤1不一定成立，例如a＝1，b＝时，＋≥8，但a＋b＞1，必要性不满足，故选B.
12.BD　由基本不等式可得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，上述三个不等式全部相加得2（a2＋b2＋c2）≥2（ab＋bc＋ca）＝2，∴a2＋b2＋c2≥1，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，∴（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（ab＋bc＋ca）≥3，∴a＋b＋c≤－或a＋b＋c≥ ，若a＝b＝c＝－，则＋＋＝－3＜2，因此，A、C选项错误，B、D选项正确.故选B、D.
13.≤　解析：∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0.∴＝≥，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号.
14.证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，
所以＋≥2，＋≥2，＋≥2，
所以＋＋≥6，
当且仅当＝，＝，＝，即a＝b＝c时，等号成立.
所以＋＋≥6.
15.AC　AB＝a＋b，OA＝OB＝OD＝，由射影定理可知，CD2＝AC·BC＝ab，所以CD＝；在Rt△OCD中，OD＞CD，当且仅当OD⊥AB时取等号，所以A正确；在Rt△OCD中，CD2＝DE·OD，所以DE＝＝＝＝，由于CD≥DE，所以≥，所以C正确，故选A、C.
16.解：因为＋＝1，
所以x＋y＝（x＋y）＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝（＋）2，
又x＋y≥18，所以（＋）2＝18.
由得或
故存在实数a＝2，b＝8或a＝8，b＝2满足条件.
2 / 23.2　基本不等式
新课程标准解读 核心素养
1.掌握基本不等式≤（a≥0，b≥0，当且仅当a＝b时等号成立） 逻辑推理
2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题 数学建模
第一课时　基本不等式
　　如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标.它依据我国著名数学家赵爽在研究勾股定理的弦图进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车.
【问题】　依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　重要不等式与基本不等式
1.重要不等式
对于任意实数x和y，有≥xy，当且仅当　　　　时，等号成立.
2.基本不等式
设a≥0，b≥0，有≥，当且仅当　　　时，等号成立.
其中，称为a，b的　　　　　　，称为a，b的几何平均值.
基本不等式又称为均值不等式，也可以表述为：两个非负实数的　　　　平均值大于或等于它们的　　　　平均值.
提醒　（1）不等式a2＋b2≥2ab与≥的比较：①两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是不同的.前者要求a，b是实数即可，而后者要求a≥0，b≥0；②两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”.
（2）基本不等式的常见变形：①a＋b≥2；②ab≤≤（其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立）.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab.（　　）
（2）n∈N＋时，n＋＞2.（　　）
（3）x≠0时，x＋≥2.（　　）
（4）若a＞0，则a3＋的最小值为2.（　　）
2.（多选）若a＞b＞0，则下列不等式成立的是（　　）
A.＞　　B.＜
C.＞　　D.＞
3.若x＞0，则y＝＋x的最小值为　　　　.
题型一 对基本不等式的理解
【例1】　给出下面三个推导过程：
①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2；
②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；
③∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－［（－）＋］≤－2＝－2.
其中正确的推导为（　　）
A.①②　　B.①③
C.②③　　D.①②③
尝试解答
通性通法
利用基本不等式判断命题真假的步骤
第一步：检查是否满足应用基本不等式的条件；
第二步：应用基本不等式；
第三步：检验等号是否成立.
【跟踪训练】
　不等式a＋1≥2（a＞0）中等号成立的条件是（　　）
A.a＝0　　B.a＝
C.a＝1　　D.a＝2
题型二 利用基本不等式比较大小
【例2】　若a，b∈R，则下列不等式恒成立的是（　　）
A.≥
B.＋≥2
C.≥（）2
D.（a＋b）（＋）≥4
尝试解答
通性通法
运用基本不等式比较大小的注意点
（1）要灵活运用基本不等式，特别注意其变形；
（2）应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a≥0，b≥0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.
【跟踪训练】
　若0＜a＜b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A.a＞＞＞b　　B.b＞＞＞a
C.b＞＞＞a　　D.b＞a＞＞
题型三 应用基本不等式证明不等式
【例3】　已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：≥8.
尝试解答
【母题探究】
1.（变设问）在本例条件下，求证：＋＋≥9.
2.（变条件，变设问）本例条件变为“a＋b＝1，a＞0，b＞0，”求证：≥9.
通性通法
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
（1）策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”；
（2）注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，构成基本不等式模型再使用.
【跟踪训练】
　已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：＋＋≤a2＋b2＋c2.
1.下列不等式一定成立的是（　　）
A.x2＋＞x
B.sin x＋≥2（x≠kπ，k∈Z）
C.x2＋1≥2｜x｜（x∈R）
D.＞1（x∈R）
2.下列不等式正确的是（　　）
A.a＋≥2
B.（－a）＋≤－2
C.a2＋≥2
D.（－a）2＋≤－2
3.（多选）下列说法中正确的是（　　）
A.a2＋b2≥2ab成立的条件是a≥0，b≥0
B.a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R
C.a＋b≥2成立的条件是a≥0，b≥0
D.a＋b≥2成立的条件是ab＞0
4.下列不等式中，正确的是　　　　（填序号）.
①a＋≥4；②a2＋b2≥4ab；③≥；④x2＋≥2.
第一课时　基本不等式
【基础知识·重落实】
知识点
1.x＝y　2.a＝b　算术平均值　算术　几何
自我诊断
1.（1）√　（2）√　 （3）×　 （4）×
2.ABD　由a＞b＞0，得＜，所以＜1，即＜，（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab＞4ab，即＜，故选项A、B、D均成立.
3.4　解析：∵x＞0，＞0，∴y＝x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立，故ymin＝4.
【典型例题·精研析】
【例1】　B　①∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确.②∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，∴＋a≥2＝4是错误的.③由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，，均变为正数，符合基本不等式的条件，故③正确.
跟踪训练
　C
【例2】　C　令a＝－2，b＝2，则A、B、D均错误.对于C，∵a2＋b2≥2ab，∴2a2＋2b2≥a2＋b2＋2ab，∴2（a2＋b2）≥（a＋b）2，∴≥（）2，当且仅当a＝b时，等号成立，故C正确.
跟踪训练
　C　∵0＜a＜b，∴2b＞a＋b，∴b＞＞.又∵b＞a＞0，∴ab＞a2，∴＞a.故b＞＞＞a.
【例3】　证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，
所以－1＝＝≥，
同理－1≥，－1≥.
上述三个不等式两边均为正，由不等式同向同正可乘性，分别相乘，
得≥··＝8.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立.
母题探究
1.证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，
所以＋＋＝＋＋
＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立.
2.证明：∵a＋b＝1，a＞0，b＞0，∴＝＝＝5＋2（＋）≥5＋4＝9，当且仅当a＝b＝时，等号成立.
∴≥9.
跟踪训练
　证明：因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又abc＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝＝＋＋.当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立.
所以＋＋≤a2＋b2＋c2.
随堂检测
1.C　选项A中，x2＋≥x，当x＝时，x2＋＝x，故选项A不正确；选项B中，sin x＋≥2（sin x∈（0，1]），sin x＋≤－2（sin x∈[－1，0）），故选项B不正确；选项C中，x2－2｜x｜＋1＝（｜x｜－1）2≥0（x∈R），故选项C正确；选项D中，∈（0，1]（x∈R），故选项D不正确.
2.C　∵a2＞0，故a2＋≥2成立.
3.BC　根据不等式成立的条件可知只有B、C正确，故选B、C.
4.④　解析：a＜0，则a＋≥4不成立，故①错；a＝1，b＝1，则a2＋b2＜4ab，故②错；a＝4，b＝16，则＜，故③错；由基本不等式可知④正确.
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