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章末检测（一）　预备知识
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设命题p： n∈N，n2＞2n，则p的否定为（　　）
A. n∈N，n2＞2n　　B. n∈N，n2≤2n　　C. n∈N，n2≤2n　　D. n∈N，n2＝2n
2.已知集合M＝{1，2，3，4}，N＝{－2，2}，下列结论成立的是（　　）
A.N M　　B.M∪N＝M　　C.M∩N＝N　　D.M∩N＝{2}
3.若0＜a＜1，则不等式x2－3（a＋a2）x＋9a3≤0的解集为（　　）
A.{x｜3a2≤x≤3a}　　B.{x｜3a≤x≤3a2}
C.{x｜x≤3a2，或x≥3a}　　D.{x｜x≤3a，或x≥3a2}
4.已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x｜x2－x－6≥0}，则M∩N＝（　　）
A.{－2，－1，0，1}　　B.{0，1，2}　　C.{－2}　　D.{2}
5.如果a＞b，那么下列不等式一定成立的是（　　）
A.－2a＞－2b　　B.c－a＞c－b　　C.a＋c＞b＋c　　D.a2＞b2
6.设a∈R，则“a＞”是“a2＞2”的（　　）
A.充分不必要条件　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　D.既不充分也不必要条件
7.已知命题p： x∈R，ax2＋2x＋1＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（　　）
A.{a｜a≥1}　　B.{a｜a＜1}　　C.{a｜a＞1}　　D.{a｜a≤1}
8.若实数x，y满足xy＋6x＝4，则＋的最小值为（　　）
A.4　　B.8　　C.16　　D.32
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.下列命题正确的是（　　）
A.若a＞b，则＜　　 B.若a＜b＜0，则a2＞b2
C.若ac2＞bc2，则a＞b　　D.若ab＝4，则a＋b≥4
10.若函数y＝x2－4x－4在区间[0，a）上既有最大值又有最小值，则正整数a的值可能是（　　）
A.2　　B.3　　C.4　　D.5
11.定义集合运算：A B＝{z｜z＝（x＋y）×（x－y），x∈A，y∈B}，设A＝{，}，B＝{1，}，则（　　）
A.当x＝，y＝时，z＝1
B.x可取两个值，y可取两个值，z＝（x＋y）×（x－y）对应4个式子
C.A B中有4个元素
D.A B的真子集有7个
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.若命题“ x∈R，x2＋2mx＋m＋2＜0”为假命题，则m的取值范围是　　　　.
13.若对于任意x∈[m，m＋1]，都有x2＋mx－1＜0成立，则实数m的取值范围是　　　　.
14.某商场销售某种商品的经验表明，该产品生产总成本C与产量q（q∈N＋）的函数关系式为C＝100＋4q，销售单价p与产量q的函数关系式为p＝25－q.要使每件产品的平均利润最大，则产量q为　　　　.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）设集合A＝{x｜－1＜x＜3}，B＝{x｜x≥1}，C＝{x｜x＞m－2}.
（1）求A∪B；
（2）若　　　　　　，求实数m的取值范围.
请从①A C；②A∩C≠ ；③C （ RA）这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
16.（本小题满分15分）设命题p：方程x2＋（2m－4）x＋m＝0有两个不相等的实数根；命题q：对所有的2≤x≤3，不等式x2－4x＋13≥m2恒成立.
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题p，q一真一假，求实数m的取值范围.
17.（本小题满分15分）已知关于x的不等式（ax－1）·（x－1）＜0.
（1）当a＝2时，解上述不等式；
（2）当a＜1时，解上述关于x的不等式.
18.（本小题满分17分）已知a＞0，b＞0，且（a＋b）＝1.
（1）求＋的最小值；
（2）是否存在a，b，使得＋的值为？并说明理由.
19.（本小题满分17分）某水产养殖户投资243万元建一个龙虾养殖基地，已知x年内付出的各种维护费用之和y满足二次函数y＝ax2＋c，且第一年付出的各种维护费用为3万元，第二年付出的各种维护费用为9万元，龙虾养殖基地每年收入90万元.
（1）扣除投资和各种维护费用，求该龙虾养殖基地从第几年开始获取纯利润；
（2）若干年后该水产养殖户为了投资其他项目，对该龙虾养殖基地有两种处理方案：
①年平均利润最大时，以138万元出售该龙虾养殖基地；
②纯利润总和最大时，以30万元出售该龙虾养殖基地.
问该水产养殖户应该选择哪种方案？
章末检测（一）　预备知识
1.C
2.D　∵－2∈N，但－2 M，∴A、B、C三个选项均错误.
3.A　因为0＜a＜1，所以0＜3a2＜3a，而方程x2－3（a＋a2）x＋9a3＝0的两个根分别为3a和3a2，所以不等式的解集为{x｜3a2≤x≤3a}.
4.C　由x2－x－6＝（x－3）（x＋2）≥0，得x≥3或x≤－2.又因为M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}.故选C.
5.C　∵a＞b，∴－2a＜－2b，故A不正确；c－a＜c－b，B不正确；a＋c＞b＋c，C正确；a2＞b2不一定正确，当a，b为负数时，不等式不成立，D不正确.故选C.
6.A　由a2＞2，解得a＞或a＜－，则当a＞时，有a2＞2成立.当a2＞2时，a＞不一定成立，例如a＝－3时，满足a2＞2，但a＞不成立.所以“a＞”是“a2＞2”的充分不必要条件.
7.C　∵p： x∈R，ax2＋2x＋1＝0，∴p的否定： x∈R，ax2＋2x＋1≠0.∵命题p为假命题，∴p的否定为真命题，∴当x∈R时，方程ax2＋2x＋1＝0没有实数根，∴Δ＝4－4a＜0，即a＞1.∴实数a的取值范围是{a｜a＞1}.
8.B　因为xy＋6x＝4，所以＋＝＋＝y＋6＋.因为0＜x＜，所以y＝＝－6＞0，故y＋6＋≥6＋2＝8，当且仅当y＝1，x＝时等号成立，故＋的最小值为8，故选B.
9.BC　A项，不妨取a＝1，b＝－1，满足a＞b，但＝1＞＝－1，故错误；B项，因为a2－b2＝（a＋b）（a－b），由a＜b＜0，故可得a2－b2＞0，即a2＞b2，故正确；C项，因为ac2＞bc2，不等式两边同除以不为零的常数c2，即可得a＞b，故正确；D项，不妨取a＝－1，b＝－4，满足ab＝4，但a＋b＝－5＜4，故错误.故选B、C.
10.BC　令y＝f（x）＝x2－4x－4＝（x－2）2－8，作函数y＝f（x）的部分图象，如图，f（0）＝f（4）＝－4，f（x）min＝f（2）＝－8.因为函数在区间[0，a）上既有最大值又有最小值，所以区间[0，a）必须包含2，且f（a）≤－4，所以2＜a≤4.结合选项可知选B、C.
11.BD　当x＝，y＝时，z＝（＋）×（－）＝0，故A错误；x可取，，y可取1，，则z可取（＋1）×（－1）＝1，（＋）×（－）＝0，（＋1）×（－1）＝2，（＋）×（－）＝1四个式子，选项B正确；A B＝{0，1，2}，共3个元素，选项C错误；A B的真子集有23－1＝7（个），选项D正确.
12.{m｜－1≤m≤2}　解析：命题“ x∈R，x2＋2mx＋m＋2＜0”为假命题，则命题“ x∈R，x2＋2mx＋m＋2≥0”是真命题.故Δ＝4m2－4（m＋2）≤0，解得－1≤m≤2.
13.　解析：作出一元二次函数y＝x2＋mx－1的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有x2＋mx－1＜0，
则
解得－＜m＜0.
14.40　解析：设该商品销售收入为R，利润为L，则R＝p×q＝25q－q2，L＝R－C＝－q2＋21q－100（0＜q＜400，q∈N＋）.易知每件产品的平均利润为＝21－（＋）.因为＋≥5，当且仅当q＝40时等号成立，所以每件产品的平均利润最大时，产量q为40.
15.解：（1）∵集合A＝{x｜－1＜x＜3}，B＝{x｜x≥1}，
∴A∪B＝{x｜x≥1}∪{x｜－1＜x＜3}＝{x｜x＞－1}.
（2）若选①A C，则m－2≤－1，即m≤1，
∴实数m的取值范围是{m｜m≤1}.
若选②A∩C≠ ，则m－2＜3，即m＜5，
∴实数m的取值范围是{m｜m＜5}.
若选③C （ RA），∵ RA＝{x｜x≤－1或x≥3}，∴m－2≥3，
即m≥5，∴实数m的取值范围是{m｜m≥5}.
16.解：（1）若命题p为真命题，即方程x2＋（2m－4）x＋m＝0有两个不相等的实数根，
则有Δ＝（2m－4）2－4m＝4m2－20m＋16＞0，
解得m＜1或m＞4.
∴实数m的取值范围为{m｜m＜1或m＞4}.
（2）若命题q为真命题，则对所有的2≤x≤3，不等式x2－4x＋13≥m2恒成立.
设y＝x2－4x＋13，则只需2≤x≤3时，m2≤ymin即可.
∵y＝x2－4x＋13＝（x－2）2＋9，2≤x≤3，
∴ymin＝9，∴m2≤9，解得－3≤m≤3.
∴当命题q为真命题时，实数m的取值范围为{m｜－3≤m≤3}.
∵命题p，q一真一假，
∴若命题p为真命题，命题q为假命题，则有解得m＜－3或m＞4；
若命题p为假命题，命题q为真命题，则有解得1≤m≤3.
综上所述，当命题p，q一真一假时，实数m的取值范围为{m｜m＜－3或1≤m≤3或m＞4}.
17.解：（1）当a＝2时，代入可得（2x－1）（x－1）＜0，
解不等式可得＜x＜1，
所以不等式的解集为{x｜＜x＜1}.
（2）若a＜1，关于x的不等式（ax－1）（x－1）＜0，
当a＝0时，代入不等式可得－x＋1＜0，
解得x＞1；
当0＜a＜1时，化简不等式可得a（x－）（x－1）＜0，由＞1解不等式可得1＜x＜，
当a＜0时，化简不等式可得a（x－）（x－1）＜0，解不等式可得x＞1或x＜，
综上可知，当a＝0时，不等式解集为{x｜x＞1}，
当0＜a＜1时，不等式解集为{x｜1＜x＜}，
当a＜0时，不等式解集为{x｜x＜或x＞1}.
18.解：∵a＞0，b＞0，且（a＋b）＝1，
∴a＋b＝，
又a＋b≥2（当且仅当a＝b时取等号），
∴≥2，∴ab≤.
（1）＋≥2＝≥4，当且仅当a＝b时取等号.
（2）∵a＞0，b＞0，∴＋≥2＝≥，当且仅当a＝b时取等号.
∵＜，
∴不存在a，b，使得＋的值为.
19.解：（1）由已知得，当x＝1时，y＝3；
当x＝2时，y＝12，
即解得
所以y＝3x2.
又投资243万元，x年共收入90x万元，
设x年共获得的纯利润为P万元，则P＝90x－3x2－243（x∈N＋）.
令P＞0，即90x－3x2－243＞0，
即x2－30x＋81＜0，
解得3＜x＜27（x∈N＋），
所以从第4年开始获取纯利润.
（2）方案①：年平均利润t＝＝90－3≤90－3×2＝36，当且仅当x＝9时，取等号，
所以当x＝9时，t取最大值36，
此时以138万元出售该基地共获得利润36×9＋138＝462（万元）.
方案②：纯利润总和P＝90x－3x2－243＝－3（x－15）2＋432（x∈N＋），
当x＝15时，纯利润总和最大，为432万元，
此时以30万元出售该基地共获得利润432＋30＝462（万元）.
两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以应选择方案①.
2 / 2(共35张PPT)
章末检测（一）预备知识
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设命题 p ： n ∈N， n2＞2 n ，则 p 的否定为（　　）
A. n ∈N， n2＞2 n B. n ∈N， n2≤2 n
C. n ∈N， n2≤2 n D. n ∈N， n2＝2 n
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2. 已知集合 M ＝{1，2，3，4}， N ＝{－2，2}，下列结论成立的是
（　　）
A. N M B. M ∪ N ＝ M
C. M ∩ N ＝ N D. M ∩ N ＝{2}
解析：　∵－2∈ N ，但－2 M ，∴A、B、C三个选项均错误.
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3. 若0＜ a ＜1，则不等式 x2－3（ a ＋ a2） x ＋9 a3≤0的解集为（　　）
A. { x ｜3 a2≤ x ≤3 a }
B. { x ｜3 a ≤ x ≤3 a2}
C. { x ｜ x ≤3 a2，或 x ≥3 a }
D. { x ｜ x ≤3 a ，或 x ≥3 a2}
解析：　因为0＜ a ＜1，所以0＜3 a2＜3 a ，而方程 x2－3（ a ＋
a2） x ＋9 a3＝0的两个根分别为3 a 和3 a2，所以不等式的解集为
{ x ｜3 a2≤ x ≤3 a }.
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4. 已知集合 M ＝{－2，－1，0，1，2}， N ＝{ x ｜ x2－ x －6≥0}，则
M ∩ N ＝（　　）
A. {－2，－1，0，1} B. {0，1，2}
C. {－2} D. {2}
解析：　由 x2－ x －6＝（ x －3）（ x ＋2）≥0，得 x ≥3或 x ≤－
2.又因为 M ＝{－2，－1，0，1，2}，所以 M ∩ N ＝{－2}.故选C.
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5. 如果 a ＞ b ，那么下列不等式一定成立的是（　　）
A. －2 a ＞－2 b B. c － a ＞ c － b
C. a ＋ c ＞ b ＋ c D. a2＞ b2
解析：　∵ a ＞ b ，∴－2 a ＜－2 b ，故A不正确； c － a ＜ c －
b ，B不正确； a ＋ c ＞ b ＋ c ，C正确； a2＞ b2不一定正确，当 a ，
b 为负数时，不等式不成立，D不正确.故选C.
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6. 设 a ∈R，则“ a ＞ ”是“ a2＞2”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：　由 a2＞2，解得 a ＞ 或 a ＜－ ，则当 a ＞ 时，有
a2＞2成立.当 a2＞2时， a ＞ 不一定成立，例如 a ＝－3时，满足
a2＞2，但 a ＞ 不成立.所以“ a ＞ ”是“ a2＞2”的充分不必
要条件.
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7. 已知命题 p ： x ∈R， ax2＋2 x ＋1＝0，若命题 p 是假命题，则实
数 a 的取值范围是（　　）
A. { a ｜ a ≥1} B. { a ｜ a ＜1}
C. { a ｜ a ＞1} D. { a ｜ a ≤1}
解析：　∵ p ： x ∈R， ax2＋2 x ＋1＝0，∴ p 的否定： x ∈R，
ax2＋2 x ＋1≠0.∵命题 p 为假命题，∴ p 的否定为真命题，∴当 x
∈R时，方程 ax2＋2 x ＋1＝0没有实数根，∴Δ＝4－4 a ＜0，即 a ＞
1.∴实数 a 的取值范围是{ a ｜ a ＞1}.
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8. 若实数 x ， y 满足 xy ＋6 x ＝4 ，则 ＋ 的最小值为
（　　）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
解析：　因为 xy ＋6 x ＝4，所以 ＋ ＝ ＋ ＝ y ＋6＋
.因为0＜ x ＜ ，所以 y ＝ ＝ －6＞0，故 y ＋6＋ ≥6
＋2 ＝8，当且仅当 y ＝1， x ＝ 时等号成立，故 ＋ 的
最小值为8，故选B.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对
的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列命题正确的是（　　）
A. 若 a ＞ b ，则 ＜ B. 若 a ＜ b ＜0，则 a2＞ b2
C. 若 ac2＞ bc2，则 a ＞ b D. 若 ab ＝4，则 a ＋ b ≥4
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解析：　A项，不妨取 a ＝1， b ＝－1，满足 a ＞ b ，但 ＝1＞
＝－1，故错误；B项，因为 a2－ b2＝（ a ＋ b ）（ a － b ），由 a ＜
b ＜0，故可得 a2－ b2＞0，即 a2＞ b2，故正确；C项，因为 ac2＞
bc2，不等式两边同除以不为零的常数 c2，即可得 a ＞ b ，故正确；
D项，不妨取 a ＝－1， b ＝－4，满足 ab ＝4，但 a ＋ b ＝－5＜4，
故错误.故选B、C.
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10. 若函数 y ＝ x2－4 x －4在区间[0， a ）上既有最大值又有最小值，
则正整数 a 的值可能是（　　）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
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解析：　令 y ＝ f （ x ）＝ x2－4 x －4＝（ x
－2）2－8，作函数 y ＝ f （ x ）的部分图象，
如图， f （0）＝ f （4）＝－4， f （ x ）min＝ f
（2）＝－8.因为函数在区间[0， a ）上既有
最大值又有最小值，所以区间[0， a ）必须
包含2，且 f （ a ）≤－4，所以2＜ a ≤4.结合
选项可知选B、C.
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11. 定义集合运算： A B ＝{ z ｜ z ＝（ x ＋ y ）×（ x － y ）， x ∈
A ， y ∈ B }，设 A ＝{ ， }， B ＝{1， }，则（　　）
A. 当 x ＝ ， y ＝ 时， z ＝1
B. x 可取两个值， y 可取两个值， z ＝（ x ＋ y ）×（ x － y ）对应4个式子
C. A B 中有4个元素
D. A B 的真子集有7个
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解析：　当 x ＝ ， y ＝ 时， z ＝（ ＋ ）×（ －
）＝0，故A错误； x 可取 ， ， y 可取1， ，则 z 可取
（ ＋1）×（ －1）＝1，（ ＋ ）×（ － ）＝
0，（ ＋1）×（ －1）＝2，（ ＋ ）×（ － ）
＝1四个式子，选项B正确； A B ＝{0，1，2}，共3个元素，选
项C错误； A B 的真子集有23－1＝7（个），选项D正确.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 若命题“ x ∈R， x2＋2 mx ＋ m ＋2＜0”为假命题，则 m 的取值
范围是 .
解析：命题“ x ∈R， x2＋2 mx ＋ m ＋2＜0”为假命题，则命题
“ x ∈R， x2＋2 mx ＋ m ＋2≥0”是真命题.故Δ＝4 m2－4（ m ＋
2）≤0，解得－1≤ m ≤2.
{ m ｜－1≤ m ≤2}　
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13. 若对于任意 x ∈[ m ， m ＋1]，都有 x2＋ mx －1＜0成立，则实数 m
的取值范围是 .
解析：作出一元二次函数 y ＝ x2＋ mx －1的草图，对于任意 x
∈[ m ， m ＋1]，都有 x2＋ mx －1＜0，
则
　
解得－ ＜ m ＜0.
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14. 某商场销售某种商品的经验表明，该产品生产总成本 C 与产量 q
（ q ∈N＋）的函数关系式为 C ＝100＋4 q ，销售单价 p 与产量 q 的
函数关系式为 p ＝25－ q .要使每件产品的平均利润最大，则产
量 q 为 .
40　
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解析：设该商品销售收入为 R ，利润为 L ，则 R ＝ p × q ＝25 q －
q2， L ＝ R － C ＝－ q2＋21 q －100（0＜ q ＜400， q ∈N＋）.
易知每件产品的平均利润为 ＝21－（ ＋ ）.因为 ＋
≥5，当且仅当 q ＝40时等号成立，所以每件产品的平均利润最大
时，产量 q 为40.
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）设集合 A ＝{ x ｜－1＜ x ＜3}， B ＝{ x ｜ x
≥1}， C ＝{ x ｜ x ＞ m －2}.
（1）求 A ∪ B ；
解：∵集合 A ＝{ x ｜－1＜ x ＜3}， B ＝{ x ｜ x ≥1}，
∴ A ∪ B ＝{ x ｜ x ≥1}∪{ x ｜－1＜ x ＜3}＝{ x ｜ x ＞－1}.
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（2）若 　　，求实数 m 的取值范围.
请从① A C ；② A ∩ C ≠ ；③ C （ R A ）这三个条件
中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
解：若选① A C ，则 m －2≤－1，即 m ≤1，
∴实数 m 的取值范围是{ m ｜ m ≤1}.
若选② A ∩ C ≠ ，则 m －2＜3，即 m ＜5，
∴实数 m 的取值范围是{ m ｜ m ＜5}.
若选③ C （ R A ），∵ R A ＝{ x ｜ x ≤－1或 x ≥3}，∴ m
－2≥3，即 m ≥5，∴实数 m 的取值范围是{ m ｜ m ≥5}.
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16. （本小题满分15分）设命题 p ：方程 x2＋（2 m －4） x ＋ m ＝0有
两个不相等的实数根；命题 q ：对所有的2≤ x ≤3，不等式 x2－4 x
＋13≥ m2恒成立.
（1）若命题 p 为真命题，求实数 m 的取值范围；
解：若命题 p 为真命题，即方程 x2＋（2 m －4） x ＋ m
＝0有两个不相等的实数根，
则有Δ＝（2 m －4）2－4 m ＝4 m2－20 m ＋16＞0，
解得 m ＜1或 m ＞4.
∴实数 m 的取值范围为{ m ｜ m ＜1或 m ＞4}.
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（2）若命题 p ， q 一真一假，求实数 m 的取值范围.
解：若命题 q 为真命题，则对所有的2≤ x ≤3，不等式
x2－4 x ＋13≥ m2恒成立.
设 y ＝ x2－4 x ＋13，则只需2≤ x ≤3时， m2≤ ymin即可.
∵ y ＝ x2－4 x ＋13＝（ x －2）2＋9，2≤ x ≤3，
∴ ymin＝9，∴ m2≤9，解得－3≤ m ≤3.
∴当命题 q 为真命题时，实数 m 的取值范围为{ m ｜－3≤ m
≤3}.
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∵命题 p ， q 一真一假，
∴若命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，则有
解得 m ＜－3或 m ＞4；
若命题 p 为假命题，命题 q 为真命题，则有
解得1≤ m ≤3.
综上所述，当命题 p ， q 一真一假时，实数 m 的取值范围为
{ m ｜ m ＜－3或1≤ m ≤3或 m ＞4}.
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17. （本小题满分15分）已知关于 x 的不等式（ ax －1）·（ x －
1）＜0.
（1）当 a ＝2时，解上述不等式；
解：当 a ＝2时，代入可得（2 x －1）（ x －1）＜0，
解不等式可得 ＜ x ＜1，
所以不等式的解集为{ x ｜ ＜ x ＜1}.
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（2）当 a ＜1时，解上述关于 x 的不等式.
解：若 a ＜1，关于 x 的不等式（ ax －1）（ x －1）＜0，
当 a ＝0时，代入不等式可得－ x ＋1＜0，
解得 x ＞1；
当0＜ a ＜1时，化简不等式可得 a （ x － ）（ x －1）＜
0，由 ＞1解不等式可得1＜ x ＜ ，
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当 a ＜0时，化简不等式可得 a （ x － ）（ x －1）＜0，
解不等式可得 x ＞1或 x ＜ ，
综上可知，当 a ＝0时，不等式解集为{ x ｜ x ＞1}，
当0＜ a ＜1时，不等式解集为{ x ｜1＜ x ＜ }，
当 a ＜0时，不等式解集为{ x ｜ x ＜ 或 x ＞1}.
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18. （本小题满分17分）已知 a ＞0， b ＞0，且（ a ＋ b ） ＝1.
（1）求 ＋ 的最小值；
（1） ＋ ≥2 ＝ ≥4 ，当且仅当 a ＝ b 时
取等号.
解：∵ a ＞0， b ＞0，且（ a ＋ b ） ＝1，
∴ a ＋ b ＝ ，
又 a ＋ b ≥2 （当且仅当 a ＝ b 时取等号），
∴ ≥2 ，∴ ab ≤ .
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（2）是否存在 a ， b ，使得 ＋ 的值为 ？并说明理由.
解： ∵ a ＞0， b ＞0，∴ ＋ ≥2 ＝ ≥ ，
当且仅当 a ＝ b 时取等号.
∵ ＜ ，
∴不存在 a ， b ，使得 ＋ 的值为 .
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19. （本小题满分17分）某水产养殖户投资243万元建一个龙虾养殖基
地，已知 x 年内付出的各种维护费用之和 y 满足二次函数 y ＝ ax2＋
c ，且第一年付出的各种维护费用为3万元，第二年付出的各种维
护费用为9万元，龙虾养殖基地每年收入90万元.
（1）扣除投资和各种维护费用，求该龙虾养殖基地从第几年开始
获取纯利润；
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解：由已知得，当 x ＝1时， y ＝3；当 x ＝2时， y ＝
12，即解得所以 y ＝3 x2.
又投资243万元， x 年共收入90 x 万元，
设 x 年共获得的纯利润为 P 万元，则 P ＝90 x －3 x2－243（ x
∈N＋）.
令 P ＞0，即90 x －3 x2－243＞0，即 x2－30 x ＋81＜0，解得
3＜ x ＜27（ x ∈N＋），
所以从第4年开始获取纯利润.
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（2）若干年后该水产养殖户为了投资其他项目，对该龙虾养殖基
地有两种处理方案：
①年平均利润最大时，以138万元出售该龙虾养殖基地；
②纯利润总和最大时，以30万元出售该龙虾养殖基地.
问该水产养殖户应该选择哪种方案？
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解：方案①：年平均利润 t ＝ ＝90－3
≤90－3×2 ＝36，当且仅当 x ＝9时，取等号，
所以当 x ＝9时， t 取最大值36，
此时以138万元出售该基地共获得利润36×9＋138＝462（万元）.
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方案②：纯利润总和 P ＝90 x －3 x2－243＝－3（ x －15）2＋
432（ x ∈N＋），
当 x ＝15时，纯利润总和最大，为432万元，
此时以30万元出售该基地共获得利润432＋30＝462（万元）.
两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以应选择方案①.
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谢 谢 观 看！

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