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浙江省杭州市2025-2026学年八年级上学期期中数学模拟训练试卷（解析版）
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1. “勤学小组”的同学查阅了有关风筝的历史，种类，结构，制作等方面的资料，
同时还收集到如图的风筝图案，请你帮助他们从中选出不是轴对称图形的风筝图（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的概念逐项判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边的差一定小于第三边；进行依次分析即可．
【详解】解：A.，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形；
B. ，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形；
C. ，两边之和没有大于第三边；所以不能围成三角形；
D. ，任意两边之和大于第三边,所以能围成三角形；
故选：D．
已知，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，故选项A成立，符合题意；
，故选项B不成立，不符合题意；
，故选项C不成立，不符合题意；
，故选项D不成立，不符合题意；
故选A．
如图，点E、H、G、N共线，∠E＝∠N，EF＝NM，
添加一个条件，不能判断△EFG≌△NMH的是（ ）
A．EH＝NG B．∠F＝∠M C．FG＝MH D．
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定定理，即可一一判定．
【详解】
解：在△EFG与△NMH中，已知，∠E＝∠N，EF＝NM，
A．由EH＝NG可得EG＝NH，所以添加条件EH＝NG，根据SAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意；
B．添加条件∠F＝∠M，根据ASA可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意；
C．添加条件FG＝MH，不能证明△EFG≌△NMH，故本选项符合题意；
D．由可得∠EGF＝∠NHM，所以添加条件，根据AAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意；
故选：C．
5．若点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查根据点所在的象限，求参数的范围，在数轴上表示不等式的解集，先根据第一象限内点的符号特征，列出不等式组，求出不等式组的解集，进而在数轴上表示出解集即可．
【详解】解：∵点在第一象限，
∴，解得：，
数轴表示如图：
；
故选C．
6. 一次智力测验，有20道选择题．评分标准是：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分．
小明有两道题未答，要使总分不低于70分，那么小明至少答对的题数是（ ）
A．17道 B．16道 C．15道 D．14道
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．设小明答对的题数是x道，根据“总分不低于70分”列出不等式，解不等式求得x的取值范围，根据x为整数，结合题意即可求解.
【详解】解：设小明答对的题数是x道，
，
，
∵x为整数，
∴x的最小整数为16，
故选：B．
如图，点B、D在上，点C、E在上，且，
若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及外角的性质，根据，利用等腰三角形的性质即可找出各角的度数，再根据三角形外角的性质即可求出结论．
【详解】，且，
，，，
．
故选：C．
8. 如图，有一个绳索拉直的木马秋干，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米
（即DE=3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ）
A．1米 B．米
C．2米 D．4米
【答案】A
【分析】如图（见解析），过点C作于点F，先利用勾股定理求出AF的长，再根据线段的和差即可得．
【详解】如图，过点C作于点F，则米，
由题意得：米，
在中，由勾股定理得：（米），
则（米），
即木马上升的高度为1米，
故选：A．
如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，
作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，
则BM + MD长度的最小值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．
【详解】解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
连接MA、DA，如图，
∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵
∴
∴BM+MD长度的最小值为5．
故选：D．
10．如图，中，的角平分线交于点P，延长，，则下列结论中正确的是（ ）
①平分；②；③；④．
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，过点P作于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④．
【详解】解：①过点P作于D，
∵平分平分，
∴，
∴，
∴平分，故①正确；
②∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∴，
∴，②正确；
③∵平分平分，
∴，
∴，③正确；
④由②可知，，
∴，
∴，故④正确，
故选：D．
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11．如图，有少数同学为了避开拐角走“捷径”，在长方形的绿化草坪中走出了一条“路”，
其实他们仅仅少走了 米．
【答案】4
【分析】本题考查了勾股定理的应用；由勾股定理求出“路”长，再用两直角边和减去“路”长即可．
【详解】解：由题意知，“路”长（米），
则少走了：（米）；
故答案为：4．
12．一副三角板，按如图所示方式叠放在一起，则图中 ．

【答案】
【分析】本题考查三角形的外角，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和进行求解即可．
【详解】解：如图，由题意，得：，

∴；
故答案为：．
某班为了奖励进步学生，班主任准备购买笔记本和笔袋两种文具共10 个，
已知笔记本每本 12 元，笔袋每个 6 元，若购买的总费用不超过100元，
则班主任最多能买 本笔记本 ．
【答案】6
【分析】本题考查一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键．
设最多可以买x个笔记本，则笔袋，再分别表示出x个笔记本，个笔袋的费用，根据总费用不超过100元建立一元一次不等式求解即可．
【详解】解：设可以买x个笔记本，
由题意可得，
解得：，
∵为正整数，
∴最大取6，
故班主任最多能买6个笔记本，
故答案为：6．
14．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角的度数是 ．
【答案】或
【分析】首先根据题意画出图形，一种情况是等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为；另一种情况是等腰三角形为钝角三角形，即可推出顶角的度数为；
【解析】如图1，等腰三角形为锐角三角形，
∵，，
∴；
如图2，等腰三角形为钝角三角形，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：或
15．小明在公园里荡秋千．如图，小明坐在秋千的起始位置A处，荡绳与地面垂直，
荡至右侧最高位置为，荡至左侧最高位置为．已知起始位置A离地面垂直距离为，
点B离地面垂直距离为．点B到的水平距离为，．
则点C离地面的垂直距离为 m．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，过点作，证明，得到，，设，在中利用勾股定理求出的长，利用线段的和差关系求出的长即可．
【详解】解：过点作，由题意，得：，，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，
∴，
∴；
即：点C离地面的垂直距离为；
故答案为：．
16 . 已知：如图在，中，，，，
点C、D、E点在同一条直线上，连结BD，BE以下四个结论：
①；②；③；④，其中结论正确的是__________
【答案】①②③
【分析】①利用SAS得出△ABD≌△AEC，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE；②由△ABD≌△AEC得到∠ABD=∠ACE，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE；③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°；④先根据角的大小比较方法判断∠ABC与∠DBC的大小，从而可判断∠ACB与∠DBC的大小.
【详解】解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，故①正确；
②∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC=45°，
∴∠ACE+∠DBC=45°，
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，
则BD⊥CE，故②正确；
③∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABD+∠DBC=45°，
∵∠ABD=∠ACE
∴∠ACE+∠DBC=45°，故③正确；
④∵∠ABC>∠DBC，∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB>∠DBC，故④不正确；
综上可知，正确的结论有3个．
故答案为：①②③
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图所示，在中，平分是的高，，求的度数．
【答案】
【分析】根据角平分线的定义求出，根据三角形内角和求出，利用高线的定义得到，再用三角形内角和求出结果．
【详解】解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵是的高，
∴，
∴．
如图，点，，，在同一条直线上，，，．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键；
（1）由平行线的性质可得，根据证明，即可得证；
（2）根据全等三角形的性质结合三角形的外角性质求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）知，
，
，
．
19．解不等式．
(1)； (2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）利用不等式的基本性质，先将不等式去括号，然后移项合并同类项，把系数化为1，即可求解．
（2）正确求出每一个不等式解集，根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则，即可解题．
【详解】（1）解：∵
∴，
∴，
∴，
∴，
（2）解：解不等式，
可得：，
解不等式，
可得：，
则不等式组的解集为．
20．如图，在长度为个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点、、在小正方形的顶点上．
在图中画出与关于直线成轴对称的；
(2) 的面积是 ．
(3) 在直线上找一点，使的长最短，为______．
【答案】(1)图见解析
(2)
(3)图见解析
【分析】（1）直接利用对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用割补法即可得出答案；
（3）利用轴对称求最短路线的方法得出答案．
【详解】（1）解：如图，根据题意，可得：
点、、关于直线对称的点分别为点、、，连接、、，
则即为所作．
（2）
．
故答案为：．
（3）如图，连接交直线于点，连接，
∵点和点关于直线对称，
∴直线垂直平分，
∴，
∴，
这时的长最短，
∴点即为所作．
21. 海滨公园是珠海市市民放风筝的最佳场所，小华和小轩学习了“勾股定理”之后，
为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得水平距离的长为12米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.62米．
求风筝的垂直高度；
如果小明想风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？
解：（1）在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，（米），
答：风筝的高度为17.62米；
（2）由题意得，米，
∴米，
∴BM=13（米），
∴（米），
∴他应该往回收线7米．
已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°
（1）若D为△ACB内部一点，如图，AE＝BD吗？说明理由
（2）若D为AB边上一点，AD＝5，BD＝12，求DE的长
【答案】（1）AE＝BD，见解析；（2）13
【分析】（1）由“SAS”可证△ACE≌△BCD，可得AE=BD；
（2）由全等三角形的性质可得BD=AE=12，∠CAE=∠CBD=45°，由勾股定理可求DE的长．
【详解】（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴CD＝CE，AC＝BC，∠ECD＝∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD
在△ACE和△BCD中
∵EC＝CD，∠ACE＝∠BCD，AC＝BC，
∴△ACE≌△BCD（SAS）
∴AE＝BD；
（2）如图，
由（1）可知：△ACE≌△BCD，
∴BD＝AE＝12，∠CAE＝∠CBD＝45°，
∴∠EAD＝90°，
在Rt△ADE中，AE2＋AD2＝ED2，
即52＋122＝ED2
∴DE＝13；
随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车成为大部分人首选的交通工具．
灯塔市公交公司购买一批A，B两种型号的新能源汽车，
已知购买3辆A型汽车和1辆B型汽车共需要55万元，
购买2辆A型汽车和4辆B型汽车共需要120万元．
求购买每辆A型和B型汽车各需要多少万元？
若该公司计划购买A型汽车和B型汽车共15辆，且总费用不超过220万元，
则最少能购买A型汽车多少辆？
【答案】(1)每辆A型汽车10万元，每辆B型汽车25万元．
(2)最少能购买A型汽车11辆
【分析】（1）设每辆A型汽车x万元，每辆B型汽车y万元，根据题意列出方程组，求解即可；
（2）设购买A型汽车m辆，则购买B型汽车辆，根据总费用不超过220万元列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设每辆A型汽车x万元，每辆B型汽车y万元．
根据题意，
解得：，
答：每辆A型汽车10万元，每辆B型汽车25万元．
（2）设购买A型汽车m辆，则购买B型汽车辆．
根据题意，
解得，
∵m取正整数，
∴m最小取11，
答：最少能购买A型汽车11辆．
如图1，和均为等腰三角形，，，，，
且点A、D、E在同一直线上，连接．
求证：．
图2，若，于若，，试求的长．
如图3，若，于M，于N，，，
直接写出的值（用a，b的代数式表示）．
【答案】(1)证明见解析
(2)26
(3)
【分析】（1）根据“”证明，即可得出；
（2）设交于点，由全等三角形的性质得出，证出是等腰直角三角形，得出，得出，求出，由勾股定理即可得出答案；
（3）如图3，连接；由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出．由全等三角形的性质得，然后由角的性质和勾股定理求出和，即可得出答案．
【详解】（1）证明：，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：设交于点H，如图2，
由（1）得：，
，，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
；
（3）解：；
理由如下：如图，连接；
由（1）得：，
，，
和均为等腰三角形，且，
，
，
，，
在中，，，
，
，
，
，，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
．
，，
．
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浙江省杭州市2025-2026学年八年级上学期期中数学模拟训练试卷
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1. “勤学小组”的同学查阅了有关风筝的历史，种类，结构，制作等方面的资料，
同时还收集到如图的风筝图案，请你帮助他们从中选出不是轴对称图形的风筝图（ ）
A． B．
C． D．
把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
已知，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
如图，点E、H、G、N共线，∠E＝∠N，EF＝NM，
添加一个条件，不能判断△EFG≌△NMH的是（ ）
A．EH＝NG B．∠F＝∠M C．FG＝MH D．
5．若点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
6. 一次智力测验，有20道选择题．评分标准是：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分．
小明有两道题未答，要使总分不低于70分，那么小明至少答对的题数是（ ）
A．17道 B．16道 C．15道 D．14道
如图，点B、D在上，点C、E在上，且，
若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
8. 如图，有一个绳索拉直的木马秋干，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米
（即DE=3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ）
A．1米 B．米
C．2米 D．4米
如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，
作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，
则BM + MD长度的最小值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
10．如图，中，的角平分线交于点P，延长，，则下列结论中正确的是（ ）
①平分；②；③；④．
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11．如图，有少数同学为了避开拐角走“捷径”，在长方形的绿化草坪中走出了一条“路”，
其实他们仅仅少走了 米．
12．一副三角板，按如图所示方式叠放在一起，则图中 ．

某班为了奖励进步学生，班主任准备购买笔记本和笔袋两种文具共10 个，
已知笔记本每本 12 元，笔袋每个 6 元，若购买的总费用不超过100元，
则班主任最多能买 本笔记本 ．
14．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角的度数是 ．
15．小明在公园里荡秋千．如图，小明坐在秋千的起始位置A处，荡绳与地面垂直，
荡至右侧最高位置为，荡至左侧最高位置为．已知起始位置A离地面垂直距离为，
点B离地面垂直距离为．点B到的水平距离为，．
则点C离地面的垂直距离为 m．
16 . 已知：如图在，中，，，，
点C、D、E点在同一条直线上，连结BD，BE以下四个结论：
①；②；③；④，其中结论正确的是__________
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图所示，在中，平分是的高，，求的度数．
如图，点，，，在同一条直线上，，，．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．
19．解不等式．
(1)； (2)．
20．如图，在长度为个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点、、在小正方形的顶点上．
在图中画出与关于直线成轴对称的；
(2) 的面积是 ．
(3) 在直线上找一点，使的长最短，为______．
21. 海滨公园是珠海市市民放风筝的最佳场所，小华和小轩学习了“勾股定理”之后，
为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得水平距离的长为12米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.62米．
求风筝的垂直高度；
如果小明想风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？
已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°
（1）若D为△ACB内部一点，如图，AE＝BD吗？说明理由
（2）若D为AB边上一点，AD＝5，BD＝12，求DE的长
随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车成为大部分人首选的交通工具．
灯塔市公交公司购买一批A，B两种型号的新能源汽车，
已知购买3辆A型汽车和1辆B型汽车共需要55万元，
购买2辆A型汽车和4辆B型汽车共需要120万元．
求购买每辆A型和B型汽车各需要多少万元？
若该公司计划购买A型汽车和B型汽车共15辆，且总费用不超过220万元，
则最少能购买A型汽车多少辆？
如图1，和均为等腰三角形，，，，，
且点A、D、E在同一直线上，连接．
求证：．
图2，若，于若，，试求的长．
如图3，若，于M，于N，，，
直接写出的值（用a，b的代数式表示）．
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