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第一章 直线与圆
1.1.2 直线的倾斜角与斜率、方向向量的关系
1．理解直线的倾斜角与斜率的关系．
2．了解直线的方向向量．
3． 理解直线的斜率与方向向量的关系．
4．会应用倾斜角与斜率的关系、斜率与方向向量的关系解决一些简单的综合问题．
直线的倾斜角与斜率的关系；直线的斜率与方向向量的关系．
直线的倾斜角与斜率的关系；直线的斜率与方向向量的关系．
在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把轴(正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线首次重合时所成的角，称为直线的倾斜角．常用表示．
直线的倾斜角
称（其中）为经过不同两点的直线的斜率．
斜率
直线的倾斜角与它的斜率之间有什么联系？
上节课，我们学习了直线的倾斜角与斜率．请回顾它们的概念．
直线的倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，那么它们之间有什么关系呢？
（1）若为锐角，，且，
在中，．
（2）若为钝角，，且，
在中，．
直线的倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，那么它们之间有什么关系呢？
（3）特殊地，若直线平行于轴，，所以．
又，所以．故．
（4）若直线垂直于轴，，所以无意义．
又，所以无意义．
倾斜角不为的直线，它的斜率和它的倾斜角满足：
其中 ．
斜率与倾斜角的关系
当时，斜率， 随倾斜角的增大而增大；
当时，斜率，随倾斜角的增大而增大；
当时，直线与轴垂直，此时直线的斜率不存在．
结合正切函数的图象与性质，探究直线斜率随倾斜角怎样变化？
对于倾斜角不为的两条直线，其倾斜角相等，斜率就相等吗？反之，其斜率相等，倾斜角就相等吗？
其中
正切函数
在单调递增；
在单调递增．
是一一对应的函数．


倾斜角不为的两条直线，倾斜角相等与斜率相等互为充要条件．
直线的倾斜角，直线的斜率，都是确定直线位置的几何要素．那是否还有别的方法来刻画直线的方向呢？
在直线上任取两个不同的点
是该直线的一个方向向量，也能刻画一条直线相对于平面直角坐标系中轴的倾斜程度．
方向向量：
．
(其中)．
，
所以也是该直线的一个方向向量．
直线的斜率与方向向量的关系
直线的倾斜角、斜率、方向向量分别从不同的角度刻画一条直线，相对于平面直角坐标系中轴的倾斜程度．
(其中)．
若是直线的斜率，则也是该直线的一个方向向量；
若直线的一个方向向量的坐标为，其中，则它的斜率．
已知直线的倾斜角为，斜率为．
（1）若，求斜率的取值范围；
（2）若，求斜率的取值范围；
（3）若，求倾斜角的取值范围；
（4）若，求倾斜角的取值范围．
解：（1）由，得，即，
所以斜率的取值范围是．
（2），；，；，斜率不存在．
综上，斜率的取值范围是．
根据直线的斜率与倾斜角的关系公式，计算可得．
已知直线的倾斜角为，斜率为．
（1）若，求斜率的取值范围；
（2）若，求斜率的取值范围；
（3）若，求倾斜角的取值范围；
（4）若，求倾斜角的取值范围．
根据直线的斜率与倾斜角的关系公式，计算可得．
解：（3）由，．
又，得倾斜角的取值范围是．
（4）由，得．
又，得倾斜角的取值范围是．
已知直线的倾斜角为，且，求直线和的斜率．
解：依题意画图，
由于直线的倾斜角为，且，
则直线的倾斜角．
所以直线的斜率；
直线的斜率．
根据直线的斜率与倾斜角的关系公式，计算可得．
已知直线的斜率为2，求它的一个方向向量的坐标．
解：直线上的两点设(其中) ，
则直线的一个方向向量．
由经过两点的直线斜率的计算公式，可得．
即．
因此，是直线的一个方向向量的坐标．
斜率、方向向量是分别从不同的角度刻画一条直线，根据两者联系即可．
根据下列条件，求直线的倾斜角．
（1）斜率为；
（2）经过两点；
（3）一个方向向量为．
解：设直线的倾斜角为．
（1）因为直线的斜率为，所以，又因为，所以．
（2）由经过两点的直线斜率的计算公式，可得直线的斜率，
又因为，所以．
（3）由直线的一个方向向量为，可得斜率，
又因为，所以．
根据即可．
若过两点直线的倾斜角为，求的值．
由斜率公式知，
所以，所以的值为0．
解：
过两点的直线的方向向量为，求的值．
解：由题意得，
所以，所以．
已知直线的倾斜角为，且，求直线的斜率的取值范围．
解：设直线的斜率为，
当时，；
当时，斜率不存在；
当时，．
故求直线的斜率的取值范围为．
若直线与轴的夹角为 ，求直线的斜率．
解：由题意，得知直线的倾斜角为或，
所以直线的斜率为或．
两者关系
直线的倾斜程度
直线的倾斜角
直线的斜率
直线的方向向量
两者关系
当时，斜率，随倾斜角的增大而增大；
当时，直线与轴垂直，此时直线的斜率不存在．
当时，斜率，随倾斜角的增大而增大；
再见

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