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第十八章 分式 复习课
复习目标
1.了解分式的概念和分式的基本性质,能进行分式的约分、通分以及分式的乘除、乘方、加减及混合运算.
2.熟练进行有关负整数指数幂的运算,会用科学记数法表示小于1的数.
3.会解分式方程,会列分式方程解决简单的实际问题.
分式的基本性质,分式的乘除、乘方、加减及混合运算,分式方程及分式方程的实际应用.
【体系构建】
【专题复习】
专题一：分式及其相关概念
例1　当x取什么值时,分式:
(1)无意义;(2)有意义;(3)分式的值为0.
【方法归纳交流】对于分式是否有意义的条件是分母是否等于零,与分子没有任何关系;而分式的值为零的条件有两个,分子等于零并且分母不等于零.
专题二：分式的基本性质
例2　下列各式从左到右变形正确的是 ( )
A.= B.=
C.-= D.=
专题三：分式的约分和通分
例3　计算:(1)= ;
(2)+= .
专题四：分式的运算
例4　计算-的结果为 ( )
A. B. C.- D.
例5　计算x2÷的结果是 ( )
A. B.x2y2 C. D.x2y6
例6　计算 ÷a+1-的结果是 ( )
A. B.
C. D.
例7　计算:÷1-.
专题五：分式的化简求值
例8　先化简,再求值:a+2+÷,其中a=3.
例9　(新考法)如图,小鑫同学作业本上的一道题被墨水覆盖了.化简:÷,但他知道化简结果为.
(1)求被墨水覆盖的部分.
(2)从-4,-3,3,4中选取一个合适的数作为x的值,代入化简结果求值.
变式训练　先化简÷,再从1,2,-3中选择一个合适的数作为x的值代入求值.
专题六：整数指数幂和科学记数法
例10　(新素材)航空工业作为“现代工业之花”,对航空材料的选取有极高的要求.我国科研人员攻克技术难题,已经能将航空发动机风扇叶片关键曲面轮廓误差控制在0.000007 m以内.数据0.000007用科学记数法表示为 .
例11　计算:(-1)2025+-0+3-2.
例12　计算:
(1);(2)4ab2÷(-2a-2b)3.
专题七：解分式方程
例13　解方程:(1)=+5;
(2) +1=.
变式训练　已知关于x的分式方程-=.
(1)解这个分式方程(结果用m表示).
(2)若这个分式方程的解是非负数,求实数m的取值范围.
专题八：分式方程的实际应用
例14　(新趋势)植树节快到了,为了配合创建文明城市,某学校甲、乙两班学生参加城市公园的植树造林活动.已知甲班每小时比乙班少植2棵树,甲班植60棵树所用时间与乙班植70棵树所用时间相同.如果设甲班每小时植树x棵,那么根据题意列出方程正确的是 ( )
A.= B.=
C.= D.=
例15　甲、乙两人同时从学校出发,去距离学校
6千米的某农场参加劳动实践,甲的速度为乙速度的1.2倍,结果甲比乙早到10分钟,设乙的速度为x千米/时,则根据题意可列方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
例16　为顺利通过“文明城市”验收,某市拟对城区部分排水管道进行更新改造,为响应城市建设的需要,完成此项改造不超过30天,现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程,经调查了解,乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的1.5倍,若甲、乙两工程队合作只需12天完成.
(1)问甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天
(2)若甲工程队每天的工程费用是4万元,乙工程队每天的工程费用是3万元,请你设计一种方案,既能按时完工,又能使工程费用最少.
变式训练　(新素材)随着无人机技术的不断进步,某市开通了无人机急救药品配送通道,无人机从物流基地出发,匀速飞往某医院,飞行距离为16千米.若采用传统车辆匀速配送,公路距离为30千米,速度是无人机的1.5倍,但所用时间要比无人机配送多6分钟.
(1)求无人机和传统车辆的配送速度.
(2)若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品,该无人机操控者在无人机出发10分钟后接到医院通知,急救药品需要在8分钟以内(含8分钟)送达,该无人机操控者立刻提高无人机的速度,则无人机的速度至少要提到多少千米/时,才能完成此次配送任务
参考答案
【专题复习】
专题一
例1
解:(1)由题意得分式无意义的条件是4x-5=0,所以x=.
(2)分式有意义的条件是4x-5≠0,所以x≠.
(3)分式值为0的条件是
所以所以x=-3.
专题二
例2
A
专题三
例3
(1)　(2)-
专题四
例4
A
例5
C
例6
A
例7
解:原式=÷
=÷
=·
=-.
专题五
例8
解:原式=÷
=·=.
当a=3时,原式==.
例9
解:(1)∵÷
=·(x+3)
=.
(x2+8x+16)÷
=(x+4)2·
=(x+4)(x-3)
=x2-3x+4x-12
=x2+x-12,
∴被墨水覆盖的部分是x2+x-12.
(2)∵原分式中的分母含有x+3,x-3和x+4,
∴x≠±3和-4,∴x只能取4.
当x=4时,原式===.
变式训练
解:原式=·
=·=x-1.
∵x-1≠0,x-2≠0,即x≠1,x≠2,∴x=-3.
当x=-3时,原式=-3-1=-4.
专题六
例10
7×10-6
例11
解:原式=-1+1+=.
例12
解:(1)原式=.　(2)原式=-.
专题七
例13
解:(1)方程两边同乘(x-3),得2=x-1+5(x-3),
解得x=3.
检验:当x=3时,x-3=0,
所以原方程无解.
(2)方程两边同乘(x-2),得x-3+x-2=-3,解得x=1.
检验:当x=1时,x-2≠0,所以x=1是原分式方程的解.
变式训练
解:(1)-=,
方程两边同乘(x+2)(x-2),得4(x-2)-2(x+2)=m,
解得x=,
当=2时,m=-8,
当=-2时,m=-16,
即分式方程的解是x=(m≠-8,m≠-16).
(2)∵要使分式方程的解是非负数,
∴≥0,
解得m≥-12.
∵m≠-8和m≠-16,
∴实数m的取值范围是m≥-12且m≠-8.
专题八
例14
B
例15
-=
例16
解:(1)设甲工程队单独完成该工程需x天,则乙工程队单独完成该工程需1.5x天.
由题意得+=1,解得x=20.
经检验,x=20是原方程的解,且符合题意,
∴1.5x=1.5×20=30.
答:甲工程队单独完成该工程需20天,乙工程队单独完成该工程需30天.
(2)∵甲、乙两工程队均能在规定的一个月内单独完成,
∴有如下三种方案:
方案一:甲工程队单独完成,所需费用为4×20=80(万元).
方案二:乙工程队单独完成,所需费用为3×30=90(万元).
方案三:甲、乙两队合作完成,所需费用为(4+3)×12=84(万元).
∵90>84>80,
∴选择甲工程队承包该项工程,既能按时完工,又能使工程费用最少.
变式训练
解:(1)设无人机的配送速度是x千米/时,则传统车辆的配送速度是1.5x千米/时,
由题意得-=,
解得x=40,
经检验,x=40是原方程的解,且符合题意,
∴1.5x=1.5×40=60.
答:无人机的配送速度是40千米/时,传统车辆的配送速度是60千米/时.
(2)设无人机的速度要提到y千米/时,才能完成此次配送任务.
由题意得40×+y≥16,
解得y≥70.
答:无人机的速度至少要提到70千米/时,才能完成此次配送任务.

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