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微专题11　分式方程及实际应用综合练
题型1　过程性学习与解分式方程
例1　老师展示两道题的解答过程:
题①: 计算:+. 解:原式= +…第一步 =a-1+a(a-1)…第二步 =a2-1.…第三步 题②: 解方程:=+1. 解:方程两边同乘(x+1),得2=x+1,…第一步 解得x=1,…第二步 经检验,x=1是分式方程的解.…第三步
(1)解答过程中,题①从第　　　步开始出现错误,题②从第　　　步开始出现错误.
(2)任选一道题写出正确的解答过程.
下面是小倩同学解方程-2=的过程,请认真阅读并解答相应问题.
解:方程两边同乘(x-3),得3x+1-2=2,(第一步)
移项,得3x=2-1+2,(第二步)
合并同类项,得3x=3,(第三步)
系数化为1,得x=1.(第四步)
(1)以上解题过程中,第　　　步开始出现错误.
(2)写出该方程正确的求解过程.
题型2　换元法解分式方程
例2　阅读下面材料:
解方程:-=0.
解:设y=,则原方程化为y-=0.
方程两边同时乘y,得y2-4=0,∴y=±2.
经检验,y=±2都是方程y-=0的解.
当y=2时,=2,解得x=-1;当y=-2时,=-2,解得x=.
经检验,x=-1,x=都是原分式方程的解,
∴ 原分式方程的解为x=-1或x=.
上述这种解分式方程的方法称为换元法.
解答下面的问题:
(1)对于方程-=4,若=y,则原方程可化为　　　　　　,原方程的解为　　　　　　.
(2)模仿上述换元法解方程:--1=0.
题型3　由分式方程解的情况确定字母的取值
例3　已知=+2与=5的解相同,求m的值.
例4　已知关于x的分式方程-=1.
(1)当a=3时,求此时方程的解.
(2)若原方程无解,求a的值.
例5　已知关于m的分式方程=+2.
(1)若x=2,求m的值.
(2)若分式方程的解是非负数,求x的取值范围.
已知关于x的分式方程=2-.
(1)若m表示的数是2,解这个分式方程.
(2)查询发现正确答案为“原分式方程无解”,请求出原分式方程中m代表的数.
题型4　分式方程的实际应用
例6　(新趋势)端午节是中国的传统节日之一,端午节主要有包粽子、赛龙舟、挂艾草、佩香囊等习俗.某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子.已知购进甲种粽子的金额是1200元,购进乙种粽子的金额是800元,购进的甲种粽子比乙种粽子多20袋.甲种粽子的每袋价格是乙种粽子每袋价格的1.2倍.
(1)求甲、乙两种粽子每袋的价格.
(2)为满足消费者需求,该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共120袋.若总金额不超过1300元,最多购进多少袋甲种粽子
某小区为了改善小区环境,准备购买A,B两种花卉苗美化小区,经市场调查发现每株A种花卉苗比每株B种花卉苗多4元,若用1000元购买A种花卉苗的数量与用800元购买的B种花卉苗的数量相同.
(1)求A,B两种花卉苗每株的价格.
(2)该小区准备购买A,B两种花卉苗共500株,总费用不超过8800元,则最多购进A种花卉苗多少株
参考答案
题型1
例1
解:(1)二;一.
(2)题1:+
=+
=+
==1.
题2:=+1,
方程两边同乘(x+1),得2=x+x+1,
解得x=,
检验:当x=时,x+1=≠0,
∴x=是原方程的解.
对点训练
解:(1)一.
(2)-2=,
方程两边同乘(x-3),得3x+1-2(x-3)=2,
合并同类项,得3x+1-2x+6=2,
系数化为1,得x=2-1-6,
解得x=-5,
经检验:x=-5是原方程的解,
故分式方程的解为x=-5.
题型2
例2
解:(1)y-=4;x=或x=-.
提示:对于方程-=4,若设=y,则原方程可化为y-=4,
方程两边同时乘y,得y2-4y-5=0,
解得y=-1或y=5.
经检验,y=-1,y=5都是方程y-=4的解.
当y=-1时,=-1,解得x=;
当y=5时,=5,解得x=-.
经检验,x=,x=-都是原分式方程的根,
故原方程的解为x=或x=-.
(2)原方程化为-=0.
设y=,则原方程化为y-=0,
方程两边同时乘y,得y2-1=0,
∴y=±1.
经检验,y=±1都是方程y-=0的解.
当y=1时,=1,该方程无解;
当y=-1时,=-1,解得x=-.
经检验,x=-是原分式方程的解,
∴原分式方程的解为x=-.
题型3
例3
解:方程两边同乘3(x-1),得3(x+1)=-(2x-7)+6(x-1),
解得x=2,
经检验x=2是原方程的解.
由题意可知两个方程的解相同,
把x=2代入第二个方程得=5,
解得m=20.
例4
解:(1)把a=3代入方程得-=1,
方程两边同时乘x(x-1),得x(x-3)-3(x-1)=x(x-1),
解得x=,
检验:当x=时,x(x-1)≠0,
∴原分式方程的解为x=.
(2)方程两边同时乘x(x-1),得x(x-a)-3(x-1)=x(x-1),
整理,得(a+2)x=3.
①(a+2)x=3无解,即a+2=0,
∴a=-2;
②当x-1=0,原分式方程无解,
即x=1,代入(a+2)x=3,得a=1.
综上所述,若原分式方程无解,a的值为1或-2.
例5
解:(1)当x=2时,方程为=+2,
方程两边同乘(m-4),得m=-2+2(m-4),
解得m=10,
经检验m=10是原方程的解,
∴m的值为10.
(2)方程两边同乘(m-4),得m=-x+2(m-4),
解得m=x+8.
∵原方程解是非负数,
∴x+8≥0,
∴x≥-8.
∵m=x+8,
∴x+8≠4,
∴x≠-4,
∴x的取值范围为x≥-8且x≠-4.
对点训练
解:(1)把m=2代入分式方程,得=2-,
方程两边同时乘(x-3),得x-2=2(x-3)+2,
去括号,得x-2=2x-6+2,
移项,得x-2x=-6+2+2,
合并同类项,得-x=-2,
系数化为1,得x=2,
检验,把x=2代入x-3≠0,
∴x=2为分式方程的解.
(2)方程两边同时乘(x-3),得x-2=2(x-3)+m,
∵当x-3=0时原分式方程无解,
此时x=3,
∴3-2=2(3-3)+m,
解得m=1.
题型4
例6
解:(1)设乙种粽子每袋的价格是x元,则甲种粽子每袋的价格是1.2x元.
根据题意得-=20,
解得x=10,
经检验,x=10是所列方程的解,且符合题意,
∴1.2x=1.2×10=12(元).
答:甲种粽子每袋的价格是12元,乙种粽子每袋的价格是10元.
(2)设购进y袋甲种粽子,则购进(120-y)袋乙种粽子.
根据题意得12y+10(120-y)≤1300,
解得y≤50,
∴y的最大值为50.
答:最多购进50袋甲种粽子.
对点训练
解:(1)设A种花卉苗每株x元,则B种花卉苗每株(x-4)元.
根据题意得=,
解得x=20,
经检验,x=20是原方程的解,且符合题意,
∴x-4=16.
答:A种花卉苗每株20元,B种花卉苗每株16元.
(2)设购进A种花卉苗y株,则购进B种花卉苗(500-y)株.
根据题意得20y+16(500-y)≤8800,
解得y≤200.
答:最多购进A种花卉苗200株.

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