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29.1 第2课时　正投影及其性质、画法
素养目标
1.知道正投影的概念,能根据正投影的性质画出简单几何图形的正投影.
2.在探究、体验、交流正投影的规律的过程中增强动手实践能力,发挥空间想象能力.
◎重点:正投影的含义及能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影.
【预习导学】
知识点一：正投影的概念
阅读课本本课时“探究”前面的内容,填空:
投影线垂直于投影面而产生的投影叫 .
归纳总结　投影分为 和 ,正投影是 投影的一种特殊情况.
知识点二：正投影的性质
阅读课本本课时“探究”至“归纳”部分的内容,填表:
归纳总结　线段、平面图形在不同位置下正投影的特点如下.
位置 图形　　 物体平行 于投影面 物体斜交于 投影面 物体垂直于 投影面
线段
平面图形
【合作探究】
任务驱动一：正投影的判断
1.如图,下列投影中,属于正投影的是 (只填序号).
方法归纳交流　判断一个投影是不是正投影,主要看是否满足下列两个条件:①投影线 ;②投影线 于投影面.
　　变式演练　
下列说法正确的是 ( )
A.正投影是中心投影的一种特例
B.正投影是平行投影的一种特例
C.正投影既不是平行投影也不是中心投影
D.平行投影就是正投影
任务驱动二：正投影的性质及应用
2.正方形在太阳光下的投影不可能是 ( )
A.正方形　　　　　　B.一条线段
C.矩形 D.三角形
变式演练　
在一个晴朗的上午,小丽拿着一块矩形木板在阳光下做投影实验,矩形木板在地面上形成的投影不可能是 ( )
A.　　　　　 B.
C.　　　　 D.
方法归纳交流　四边形不垂直于投影面,即平行投影时,若两条边平行,则其投影中对应的两条边 .
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,投影线方向如图所示,点C在斜边AB上的正投影为点D.
(1)试写出边AC,BC在AB上的投影.
(2)试探究线段AC,AB和AD之间的数量关系.
(3)线段BC,AB和BD之间也有类似于AC,AB和AD之间的数量关系吗 还有哪三条线段之间有类似的数量关系 请写出结论并证明.
变式演练　
如图,正方形纸板ABCD在投影面α上的正投影为A1B1C1D1,其中边AB,CD与投影面平行,AD,BC与投影面不平行.若正方形ABCD的边长为5 cm,∠BCC1=45°,求其投影
A1B1C1D1的面积.
任务驱动三：正投影的画法
4.一个正方形纸板ABCD和投影面平行(如图),投射线和投影面垂直,点C在投影面的对应点为G,请画出正方形纸板的投影示意图.
变式演练　
按要求画出图中正三棱柱的正投影.
(1)投影线由正三棱柱前方射到后方.
(2)投影线由正三棱柱左方射到右方.
(3)投影线由正三棱柱上方射到下方.
参考答案
【预习导学】
知识点一
正投影
归纳总结
平行投影　中心投影　平行
知识点二
归纳总结
形状、大小不变　大小改变　点
形状、大小不变　形状、大小改变　线段
【合作探究】
任务驱动一
1.③④
方法归纳交流
互相平行　垂直
变式演练　B
任务驱动二
2.D
变式演练　A
方法归纳交流
也平行
3.解:(1)边AC,BC在AB上的投影分别为AD,BD.
(2)AC2=AD·AB.理由如下:
∵点C在斜边AB上的正投影为点D,
∴CD⊥AB,
∴∠ADC=90°,
而∠DAC=∠CAB,
∴△ADC∽△ACB,
∴AC∶AB=AD∶AC,
∴AC2=AD·AB.
(3)线段BC,AB和BD之间也有类似于AC,AB和AD之间的数量关系,即BC2=BD·AB,还有CD,AD,BD也有类似的数量关系,即CD2=AD·BD.理由如下:
∵点C在斜边AB上的正投影为点D,∴CD⊥AB,
∴∠BDC=∠ACB=90°.
又∵∠B=∠B,
∴△BCD∽△BAC,
∴BC∶AB=BD∶BC,
∴BC2=BD·AB.
∵∠A+∠ACD=90°,∠BCD+∠ACD=90°,
∴∠A=∠BCD.
∵∠ADC=∠BDC,
∴△ADC∽△CDB,
∴AD∶CD=CD∶BD,
∴CD2=AD·BD.
变式演练　
解:如图,过点B作BH⊥CC1于点H.
∵∠BCC1=45°,
∴BH=BC= cm.
∵正方形纸板ABCD在投影面α上的正投影为长方形A1B1C1D1,
∴B1C1=BH= cm,C1D1=CD=5 cm,
∴四边形A1B1C1D1的面积为×5=(cm2).
任务驱动三
4.解:
变式演练　
解:(1)如图1所示:
图1
(2)如图2所示:
图2
(3)如图3所示:
图3

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