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期末提优测评卷
时间:100分钟 总分:100分
第Ⅰ卷(选择题 共20分)
一、选择题(每题2分，共20分)
1.(2024·无锡中考)分式方程 的解是（ ）.
A. x=1 B. x=-2 D. x=2
2.(2024·巴中中考)下列图形中，是轴对称图形的是（ ）.
3.(2025·福建厦门一中期中)一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）.
A. 55° B. 60° C. 65° D. 75°
4.如图,点 P 是△ABC 的三个内角平分线的交点,若△ABC 的周长为24 cm,面积为 36cm ,则点 P 到边 BC 的距离是( ).
A. 8cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm
5.如图，△ABC 是等边三角形，D 是线段BC 上一点(不与点B，C重合),连接AD,点E,F分别在线段AB,AC 的延长线上,且DE=DF=AD,点D从B运动到C 的过程中，△BED 周长的变化规律是（ ）.
A.不变 B.一直变小
C.先变大后变小 D.先变小后变大
6.我国的泉州湾跨海大桥是世界首座跨海高铁大桥，其创新采用的“石墨烯重防腐涂装体系”，将实现30年超长防腐寿命的突破.石墨烯作为本世纪发现的最具颠覆性的新材料之一，其理论厚度仅有0.00000000034m,将0.000 00000034用科学记数法表示为( ).
7.(2025·北京海淀区期中)如图，在△ABC 中，以点A 为圆心，AC的长为半径作弧，与BC 交于点E，分别以点E 和点C 为圆心、大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 P，作射线 AP 交BC于点D.若∠B=45°,∠C=2∠CAD,则∠BAE 的度数为( ).
A. 15° B. 25° C. 30° D. 35°
8.(2024·辽宁抚顺清原期末)已知正方形 ABCD 的边长为a,正方形 FGCH 的边长为b,长方形 AB-GE 和EFHD 为阴影部分,将图(1)中的长方形ABGE 和EFHD 剪下来,拼成图(2)所示的长方形，比较图(2)与图(1)的阴影部分的面积，可得等式（ ）.
9.(2024·江苏南通如皋期末)在下面的正方形分割方案中，可以验证( 的图形是( ).
10.(2025·重庆长寿区期末)已知 下面关于A，B的三个结论：①关于x的方程 的解是x=-6;②A+4B+12>0;③若式子A/B的值为整数,则整数x的取值是4或2，其中正确的有（ ）.
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
第Ⅱ卷(非选择题 共80分)
二、填空题(每题2分，共16分)
11.(2025·山东德州宁津大庄中学期中)如图,∠BDC=110°,∠C=40°,∠B=25°,则∠A 的度数是 .
12.(2024·黑龙江绥化期末)已知x+y=4, xy=2,则.
13.某校购买了一批篮球和足球，已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元.根据题意可列方程 则方程中x表示的是 .
14.(2024·河南南阳淅川期末)如图,△ABC 的面积为 ,AP 垂直∠B 的平分线BP 于点 P,则△PBC 的面积为
15.分类讨论思想(2024·福建厦门思明区期末)已知在 Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=12.点 P在BC上，PC=y，点Q从点C 出发，沿△ABC的边上运动，最后回到点C，在运动的过程中，若满足 PQ=PC 的点Q 恰好有3个(点Q，C重合不包括在内)，则y 的取值范围为 .
16.(2025·重庆江北区一模)若关于x 的不等式组 至少有3个整数解，且关于 y 的分式方程 的解为非负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和为 .
17.如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为a 的长方体形状的无盖纸盒.若纸盒的容积为 ，底面长方形的一边长为b(b<4a)，则这个长方形纸板的面积是 .
18.(2025·山东德州德城区期中)如图,AP,BP 分别平分△ABC 内角∠CAB 和外角∠CBD,连接CP,若∠ACP=130°,则∠APB= .
三、解答题(第19~21题每题6分,第22,23题每题8分,其余每题10分,共64分)
19.(2025·山东泰安泰山区期中)分解因式：
20.(2025·广东中山期中)如图,在 中,AN 是 的平分线， 求 的度数.
21.已知a - )
（1）)（ ）
(2)若 你能根据上述规律求出代数式 的值吗
22.规定两数a，b之间的一种运算，记作(a，b)：如果 那么(a,b)=c.例如：因为 所以(2,8)=3.
(1)根据上述规定，填空：
(2)小明在研究这种运算时发现一个特征：( ，小明给出了如下的证明：
设 则 即
所以 即(3,4)=x,
所以(
试参照小明的证明过程，解决下列问题：
①计算((8,1000)-(32,100000);
②请你尝试运用这种方法证明这个等式：(3,20)-(3,4)=(3,5).
23.如图，在 中， ，点 D 在BC所在的直线上，点 E 在射线AC上，连接DE，且
(1)如图(1),若 求 的度数；
(2)如图(2),若 求 的度数；
(3)当点 D 在直线BC 上(不与点 B，C重合)运动时，试探究 与 的数量关系，并说明理由.
24.(2024·大庆中考)为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段(简称峰时)：7：00-23:00,，用电低谷时段(简称谷时)：23：00—次日7：00，峰时电价比谷时电价高0.2元/度.市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价.
25.已知点O到 的两边AB,AC所在直线的距离OE,OF 相等,且OB=OC.
(1)如图(1),若点O在边BC上,求证:AB=AC.
(2)如图(2),若点O 在 的内部，则(1)中的结论还成立吗 若成立，请证明；若不成立，说明理由.
(3)若点O在 的外部，则(1)的结论还成立吗 请画图表示.
26.在 中，已知
(1)如图(1),点D 在BC的延长线上,连接AD,过点 B 作BE⊥AD 于点E,交AC 于点F.求证：AD=BF;
(2)如图(2),点 D 在线段BC上,连接AD,过点A 作AE⊥AD,且AE=AD,连接BE 交AC 于点F，连接DE，问BD与CF 有何数量关系，并加以证明；
(3)如图(3),点D 在CB 的延长线上,AE=AD 且AE⊥AD,连接BE,AC 的延长线交BE于点M,若AC=3MC,请直接写出 的值.
期末提优测评卷
1. A [解析] 去分母,得x+1=2x,x=1,
检验:当x=1时,x(x+1)≠0,
∴x=1是原分式方程的解.故选 A.
2. D[解析]选项 A，B，C的图形均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，不符合题意；
选项D的图形能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形，符合题意.故选 D.
归纳总结 轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
3. D [解析]由题意,得∠1=90°-60°=30°,则∠α=45°+30°=75°.故选 D.
解后反思 本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键.
4. B [解析]过点 P 作PD⊥AB 于点D,PE⊥BC 于点E,PF⊥AC于点F,如图.
∵点 P 是△ABC 的内角平分线的交点，
∴PE=PF=PD.
又△ABC 的周长为24 cm,面积为
故选B.
思路引导 解答本题需要过点 P 作 PD⊥AB 于点 D,PE⊥BC 于点 E,PF⊥AC 于点 F,根据角平分线的性质,得到PE=PF=PD，最后再根据三角形的面积公式进行计算.
5. D [解析]∵AD=DE=DF,
∴∠DAE=∠DEA,∠DAF=∠DFA.
∵∠DAE+∠DAF=∠BAC=60°,
∴∠DEA+∠DFA=60°.
∵∠ABC=∠DEA+∠EDB=60°,
∴∠EDB=∠DFA.
∵∠ACB=∠CFD+∠CDF=60°,
∴∠CDF=∠BED,且∠EDB=∠DFA,DE=DF,
∴△BDE≌△CFD(ASA),∴BD=CF,BE=CD,
∴△BED 周长=BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD.
→将△BED周长的变化转化为线段AD 长度的变化
∵点D 在边BC上从B 至C的运动过程中，AD 的长先变小后变大，
∴△BED 周长先变小后变大.故选 D.
思路引导 解答本题需要先由“ASA”可证△BDE≌△CFD,再由全等三角形的性质可得BD=CF,BE=CD,可得△BED周长=BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD,从而解决问题.
6. D [解析]0.00000000034=3.4×10 .故选 D.
7. A [解析]由题意可知,AP 是EC 的垂直平分线,
∴AD⊥BC,DE=CD,
∴△ADE≌△ADC(SAS),
∴∠EAD=∠CAD,∠C=∠AED,
∴∠EAC=2∠CAD.
∵∠C=2∠CAD,∴∠C=∠EAC=∠AED,
∴△AEC 是等边三角形,
∴∠C=∠EAC=∠AED=60°.
在△ABC 中,∠B=45°,∠C=60°,
∴∠BAC=180°-45°-60°=75°,
∴∠BAE=75°-60°=15°.故选 A.
解后反思 本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定是解题的关键.
8. A [解析]由题图(1),得正方形ABCD 的面积是a ,正方形 FGCH 的面积是b ，∴阴影部分的面积是
由题图(2),得AH=AB+FH=a+b,AE=AD-DE=a-b,
∴长方形AHDE 的面积即阴影部分的面积是(a+b)(a- 故选 A.
9. D
10. B [解析]①把B=x-3代入关于x 的方程 1中，得
去分母，得
经检验：x=6是原分式方程的解，故①错误；
，故②正确；
∵式子A/B的值为整数，x为整数，
∴x-3=±1或x-3=±5,∴x=4或x=2或x=8或x=-2,故③不正确.
∴正确的结论有1个.故选 B.
11.45°
12.18 [解析
13.购买篮球的数量 [解析]设购买篮球的数量为x个，则购买足球的数量是2x个，
根据题意，得
14.4 [解析]如图,延长AP 交BC 于点 E.
∵AP 垂直∠B 的平分线BP 于点P,
∴∠ABP=∠EBP,∠APB=∠BPE=90°.
又BP=BP,
∴△ABP≌△EBP(ASA),
∴S△ABP=S△BEP,AP=PE.
∵△APC 和△CPE 等底同高,
思路引导 解答本题需要先延长AP 交BC 于点E，根据AP 垂直∠B 的平分线BP 于点 P,即可求出△ABP≌△EBP,又△APC和△CPE 等底同高,可以证明两三角形面积相等，即可证明
15.4PC;
当点 Q在BC 上时,只有一个Q,使PQ=PC;则当点Q在AB 上时,存在两个Q,使PQ=PC,若点Q在AB上时,只存在一个点Q,使 PQ=PC,此时,点 Q与点 H 重合或2PC>BC,当点 Q 与点 H 重合时.
∵∠B=30°,∴PB=2PH=2PC,
∴BC=PC+PB=3PC=12,∴y=PC=4;当2PC>BC时,y>6.
当y=6时,只存在两个点 Q 使PQ=PC,综上，y的取值范围为416.8 [解析
由①,得4x-1-3x≤3,x-1≤3,x≤4,
由②,得2x+2>a-x,2x+x>a-2,
∵关于x的不等式组 至少有3个整数解，
∵关于y的分式方程 的解为非负整数， 且 是整数,∴a=2或6,
∴所有满足条件的整数a 的值为2或6，
∴所有满足条件的整数a 的值之和为2+6=8.
[解析]设长方体底面的另一边长为x，则根据长方体的体积公式，可得 解得x=4a，所以长方形纸板的长为4a+a+a=6a,长方形纸板的面积
18.40°[解析]如图,过点 P 分别作PE⊥AC,PF⊥BC,PG⊥AD,分别交 AC 的延长线于E,交 BC 于点F,交AD于点G.
∵AP 平分∠BAC,∴PE=PG,∠BAC=2∠BAP.
∵BP 平分∠CBD,∴PF=PG,∠CBD=2∠DBP,
∴PE=PF,∴CP 平分∠BCE,∴∠BCP=∠PCE.
∵∠ACP=130°,
∴∠ACB=∠ACP-∠BCP=130°-50°=80°.
∵∠DBC=∠BAC+∠ACB,∠DBP=∠BAP+∠APB,
∴∠ACB=2∠APB,∴∠APB=40°.
思路引导 解答本题需要过 P 点分别作 PE⊥AC，PF⊥BC,PG⊥AD,分别交 AC 的延长线于 E,交 BC 于点F，交AD 于点G，由角平分线的性质及判定可得CP 平分∠BCE，进而可求解∠ACB 的度数，根据三角形外角的性质可推知∠ACB=2∠APB,进而可求解.
(2)原式=(3x-4y+4x+3y)(3x-4y-4x-3y)
=(7x-y)(-x-7y)=-(7x-y)(x+7y).
(3)原式
(4)原式
20.∵∠ANC=∠B+∠BAN,
∵AN 是∠BAC的平分线,
∴∠BAC=2∠BAN=60°,
在△ABC中,∠C=180°-∠B-∠BAC=70°.
∴原式
22.(1)2 0 - 2
(2,10)-(2,10)=0.
②设 则
∴(3,4)=x,(3,5)=y,(3,20)=x+y,
∴(3,20)-(3,4)=x+y-x=y=(3,5),
即(3,20)-(3,4)=(3,5).
23.(1)∵∠B=∠C=30°,∴∠BAC=120°.
∵∠BAD=70°,∴∠DAE=50°,
∴∠ADE=∠AED=65°,
∴∠CDE=∠AED-∠C=35°.
(2)∵∠ACB=70°,∠CDE=15°,∴∠AED=55°,
∴∠ADE=∠AED=55°,∴∠ADC=40°.
∵∠ABC=∠ADC+∠BAD=70°,∴∠BAD=30°.
(3)设∠ABC=∠ACB=y,∠ADE =∠AED=x,∠CDE=α,∠BAD=β.
设未知数，建立方程组探究各角之间的关系
①如图(1),当点 D 在点 B 的左侧时,∠ADC=x-α, 得2α-β=0,∴2α=β;
②如图(2),当点 D 在线段 BC 上时,∠ADC=x+α, 得α=β-α,∴2α=β;
③如图(3),当点 D 在点C右侧时,∠ADC=x-α, 得β-2α=0,∴2α=β.综上,∠BAD 与∠CDE 的数量关系是2∠CDE=∠BAD.
24.设该市谷时电价为x元/度，则该市峰时电价为(x+0.2)元/度，
根据题意，得 解得x=0.3,
经检验，x=0.3是所列方程的解，且符合题意.
故该市谷时电价为0.3元/度.
25.(1)∵OE⊥AB,OF⊥AC,
∴∠BEO=∠CFO=90°.
在 Rt△OBE和 Rt△OCF 中,
∴Rt△OBE≌Rt△OCF(HL).
∴∠B=∠C.∴AB=AC.
(2)成立.证明如下：
如图(1),过点O 作OE⊥AB,OF⊥AC,垂足分别为E,F,则∠BEO=
在Rt△OBE 和 Rt△OCF 中,
∴Rt△OBE≌Rt△OCF(HL).∴∠EBO=∠FCO.
∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.
∴∠EBO+∠OBC=∠FCO+∠OCB,即∠ABC=∠ACB.∴AB=AC.
(3)不一定成立,如图(2).
26.(1)∵BE⊥AD,∠ACB=90°,
∴∠AEF=∠BCF=90°.
∵∠AFE=∠CFB,∴∠DAC=∠CBF.
在△BCF 和△ACD中,
∴△BCF≌△ACD(ASA).∴BF=AD.
(2)BD=2CF.理由如下:
如图,过点 E 作EH⊥AC 于点 H.
∵∠AHE=∠ACD=∠DAE=90°,
∴∠DAC+∠ADC=90°,∠DAC+∠EAH=90°.
∴∠ADC=∠EAH.
∵AD=AE,∴△ACD≌△EHA(AAS).
∴CD=AH,EH=AC=BC.∴BD=CH.在△EHF 和△BCF 中
∴△EHF≌△BCF(AAS).
∴FH=CF.∴BD=CH=2CF.
(3)同(2)可证BD=2MC.
∵AC=3MC,设MC=a,则AC=CB=3a,BD=2a,

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