资源简介

(共30张PPT)
2.3.2 抛物线的简单几何性质
学习目标
1.掌握抛物线的简单几何性质，体现数学抽象能力（重点）
2.了解抛物线几何性质的简单应用，体现逻辑推理能力（重点）
3.归纳、对比四种方程所表示的抛物线的几何性质的异同，体现逻辑推理能力（难点）
新课导入
前面我们由椭圆和双曲线的方程，讨论了它们的几何性质，下面我们继续通过抛物线的方程来研究抛物线具有的几何性质．
思考一下：回顾一下我们对椭圆和双曲线的研究，想一想我们可以从哪几个方面来研究抛物线的几何性质呢？
我们可以从抛物线的范围，对称性，顶点，离心率及准线等方面来研究抛物线的性质.
这节课我们来研究抛物线的几何性质.
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根据抛物线的标准方程
和图象研究它的几何性质．
y2=2px ①
1.范围
由方程①可知，对于抛物线①上的任意一点M(x,y)，都有x≥0，y∈R，所以这条抛物线在y轴的右侧，开口向右；
当x的值增大时，|y|也随之增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
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2.对称性
根据方程①的结构特点，可以发现：若(x0,y0)满足方程①，则:
(-y0)2=2p·(x0)
y02=2p·(x0)
把(x0,-y0)代入
则(x0,-y0)也满足方程①，所以抛物线y2=2px(p>0)是关于x轴对称的曲线．
3.顶点
抛物线和它的对称轴的交点叫作抛物线的顶点．
在方程①中，当y=0时，x=0，因此，抛物线的顶点就是坐标原点．
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抛物线的离心率的概念
抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率，用e表示．
由抛物线的定义可知e=1．
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抛物线的标准方程
在平面直角坐标系中，顶点在原点、焦点在坐标轴上的抛物线有四种位置情况，因此抛物线的方程相应地也有四种形式，它们都叫作抛物线的标准方程，设焦点到准线的距离为p(p>0)，则抛物线标准方程的四种形式分别为：
y2=2px(p>0)，y2=-2px(p>0)，x2=2py(p>0)和x2=-2py(p>0)
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总结一下：
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思考一下：四种位置不同的抛物线和它们的标准方程的相同点？
1.顶点都为原点；
2.对称轴为坐标轴；
3.准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别关于原点对称．它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的
4.焦点到准线的距离均为p．
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思考一下：四种位置不同的抛物线和它们的标准方程的不同点？
2.开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同．焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，方程的右端取正号；
开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同，焦点在x轴(或y轴)的负半轴上方程的右端取负号．
1.对称轴为x轴时方程的右端为±2px； 左端为 y2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py ，左端为x2；
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例3：求顶点在原点，经过点 ，且以坐标轴为对称轴的抛物线的标准方程．
因为点 在第四象限，
所以若x轴是抛物线的对称轴，则设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)
因为点 在抛物线上，所以
解得2p= ，所求抛物线的标准方程为 ．如图（1）．
若y轴是抛物线的对称轴，同理可得抛物线的标准方程为
如图（2）
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例4:已知点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2，求点M的轨迹方程.
如图，点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2，即“点M到点F(4,0)的距离等于它到直线l':x+4=0的距离”.
由此可知，点M的轨迹是以F(4,0)为焦点，以直线l':x+4=
0为准线的抛物线.
故点M的轨迹方程是y2=16x.
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例5:已知抛物线y2=4x上的点P到焦点F的距离为5，求点P的坐标.
解法1:
由抛物线方程y2=4x，可得焦点F(1，0).
设点P的坐标为(x0，y0)，依题意有
①
②
将①代入②，消去y0，然后两边平方，得(x0-1)2+4x0=25，
解得x0=-6或x0=4.
将x0=-6代入①，得y02=-24无解，故舍去；
将x0=4代入①，得y02=16，即y0=±4.
∴点P的坐标为(4，4)或(4，-4).
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例5:已知抛物线y2=4x上的点P到焦点F的距离为5，求点P的坐标.
解法2:
设点P的坐标为(x0，y0)，由点P在抛物线y2=4x上，得y02=4x0.
由抛物线方程y2=4x，可得其准线方程x=-1.
由点P到焦点F的距离为5可知，点P到抛物线的准线的距离也为5，
即x0-(-1)=5,解得x0=4.
将x0=4代入y2=4x，得y02=16，即y0=±4.
∴点P的坐标为(4，4)或(4，-4).
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例6:某单行隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边组成，尺寸如图(单位:m)，某卡车载一集装箱，车宽3m，车与集装箱总高4.5m，此车能否安全通过隧道？说明理由.
如图，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，则点A的坐标为(3，-3).
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设抛物线的标准方程为x2=-2py(p＞0).
将点A的坐标代入上式，得9=6p，即2p=3.
所以抛物线的标准方程为x2=-3y.
将x=1.5代入抛物线的标准方程，得y=-0.75，
则5-0.75=4.25＜4.5 .
这说明，即使集装箱处于隧道的正中位置，车与集装箱的总高也会高于BD，所以此车不能安全通过隧道.
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求解抛物线的实际应用问题的基本步骤
1.建:建立适当的坐标系；
2.设:设出合适的抛物线标准方程；
3.算:通过计算求出抛物线标准方程；
4.求:求出所要求出的量；
5.还:还原到实际问题中,从而解决实际问题.
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B
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课堂总结
1.抛物线的几何性质
2.抛物线的离心率
3.抛物线的标准方程的概念
4.求解抛物线的实际应用问题的基本步骤
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