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(共21张PPT)
3.2.2空间向量的数量积
知识回顾
与 反向
O
A
B
与 同向
O
A
B
记作
与 垂直，
O
A
B
范围：________
定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作 ＝a，
＝b，则_______＝θ 叫做向量a与b的夹角．记作: ________
∠AOB
0≤θ≤π

特殊情况：
O
A
B
空间向量的夹角
定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 ＝a，
＝b，则_______叫做向量a与b的夹角．记作: ________
∠AOB

关键是起
点相同！
O
B
A
通常规定：________
0≤ ≤π
如果=90°，那么a,b互相垂直，记作a⊥b
1. 在正三角形ABC中B，求下列夹角：
60°
120°
60°
练一练
大本例1
解：连接BD(图略)，
则在正方体ABCD-A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′，

解：×，√，×。
空间向量的数量积运算
【注意】①两个向量的数量积是数量，而不是向量.
　 ②零向量与任意向量的数量积等于零.
定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos叫做a，b的数量积．即
【性质】① (判断垂直的依据)
　 ② (求模长)
③ (求夹角)
(1); (对数乘的结合律)
(2); (交换律)
(3).(分配律)
(1)若，则.
(2)若，则.
(3) .
辨析:以下说法是否正确.
×，如， 时
×，向量没有除法,向量的除法没有意义
×，共线， 与，但不一定共线
空间向量数量积的运算律
第页竢实扬华，自强不息辨析1.（1）向量的夹角为，且=3， ||=4，则=.（2）已知=2， ||=，=-，则的夹角为.135
如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，
求值：
【解】
大本例2
如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，
求值：
【解】
大本例2
如图，已知两个非零向量，在空间任取一点，作＝，＝，过点作直线的垂线，垂足为点，称向量为向量在向量方向上的投影向量，其长度等于
（1） （2） （3）
投影向量与投影数量
当为锐角时，>0（如图（1））；
当为钝角时，<0（如图（2））；
当＝时，＝0（如图（3））.
投影向量与投影数量
若用表示与向量同方向的单位向量，则向量在向量方向上的投影向量为＝.
因此，称为投影向量的数量，简称为向量在向量方向上的投影数量.可正，可负，可为零.
结合空间向量数量积的定义可知：向量在向量方向上的投影数量为＝＝.
投影向量与投影数量
投影向量

已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，则2a－b在a方向上的
投影数量为___．
大本例3
因为a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，所以(2a－b)·a＝2|a|2－a·b＝2×22－2×6× ＝2，所以2a－b在a方向上的投影数量为
＝1.
1
规律方法
1．求投影向量的方法
(1)依据投影向量的定义和平面几何知识作出恰当的垂线，直接得到投影向量；
(2)首先根据题意确定向量a的模、与b同向的单位向量e及两向量a与b的夹角θ，然后依据公式|a|cos θ·e计算．
2．a在b方向上的投影数量为|a|cos〈a，b〉＝
对点练3．已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝－12且e是与b方向相同的单位向量，则a在b方向上的投影向量为______．
返回
1、已知和是相互垂直的单位向量，则
A.1 B.2 C.3 D.4
解：∵且
∴
2、已知空间向量满足，，，，
则
解：
所以
习题演练
3. 如图，在平行六面体中，
求：
(1)；(2)的长.
解:(1)
(2)
习题演练
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