资源简介

(共30张PPT)
3.2 空间向量与向量运算
（第一课时）
学习目标
1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的表示方法，体现数学抽象能力（重难点）
2.理解共线向量、共面向量的概念，体现数学抽象能力（重难点）
3.理解并掌握空间向量加减、数乘运算及满足的运算律，体现逻辑推理能力（重点）
新课导入
我们曾通过力和位移引入了平面向量，事实上，力和位移都是空间中的概念，如图，在天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上，在其中一个秤盘中放入质量为1kg的物品，在另一个秤盘中放入质量为1kg的砝码，天平平衡．3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力（拉力分别为F1，F2，F3），这些力在同一平面内吗？
显然不在同一平面内
新课学习
空间向量的概念
在空间中，我们把具有大小和方向的量叫作空间向量．
向量的大小叫作向量的长度或模
举个例子:
上述问题3根细绳对物品的拉力F1，F2，F3就是3个空间向量
新课学习
思考一下：如何表示平面向量？你能类比平面向量的表示，给出空间向量的表示吗？
平面向量有两种表示方法：一种是用有向线段表示；一种用小写字母表示．类比平面向量的表示方法，空间向量也有两种表示方法：
1.用有向线段表示：例如，以点A为起点，点B为终点的有向线段可以表示一个向量，记作向量 ．
2.用小写字母a，b，c…表示:书写用 ，， …表示．
点A叫作向量 的起点，点B叫作向量 的终点．
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向量a的相关概念
我们把表示向量的有向线段的长度也叫作向量a的长度或模．用表示|a|．
我们把方向相同且模相等的向量称为相等向量
数学中所研究的向量，与向量的起点无关，称之为自由向量
方向相反且模相等的向量互为相反向量,向量a的相反向量用-a表示.
注：我们规定模为0的向量叫作零向量，记为0，零向量的起点与终点重合，零向量的方向为任意方向.
新课学习
思考一下：在下图的长方体中，你可以找到有什么关系的有向线段？
在长方体中，有向线段 ， ， ， 长度相等，方向相同，是相等向量，在数学中都表示同一向量，即
向量 与向量 长度相等，方向相反．
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共线向量的概念
当表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合时，称这两个向量互为共线向量（或平行向量）．
特殊情况：相等向量与相反向量都是共线向量的特殊情况
相等向量的记法：如图，向量a、向量b、向量c互为共线向量，记作a∥b∥c
c
a
b
规定：零向量与任意向量平行．
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共面向量的概念
当表示向量a的有向线段所在直线平行于平面α或在平面α内时，就说向量a平行于平面α，记作a∥α．通常，我们把平行于同一平面的向量，叫作共面向量．
特殊情况：共线向量是共面向量的一种特例．
新课学习
思考一下：空间中任意两个向量都是共面的吗？任意三个向量呢？
空间中任意两个向量一定共面，这是因为数学中，我们学习的向量都是自由向量，因此，可以通过平移使两个向量所在的直线有一个交点，根据 “两条相交直线确定一个平面” 可知空间中任意两个向量一定共面．
空间中任意三个向量可能是共面的，也可能是不共面的．能平移到同一平面内的三个向量叫做共面向量．
例如，在如图的长方体中，向量 ， ， 均平行于平面，是共面向量，而向量 ， ， 不是共面向量．
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思考交流：在平面向量的基础上研究空问向量, 一个很自然的问题就是平面向量的哪些内容可以推广到空间向量. 请回顾平面问量的所有运算, 并尝试填写表格.
平面向量的运算 定义 法则 性质 是否可推广到空间向量，为什么？
加法 求两个向量和的运算 三角形法则、平行四边形法则 交换律、结合律 可以，因为空间中任意两个向量都可以平移到一个平面内
减法 向量a加上向量b的相反向量 三角形法则 ——
新课学习
空间向量的加法的概念
已知空间向量a，b，过空间任意一点A作 ， ，再作向量 ，如图.把向量 叫作空间向量a，b的和．求空间向量和的运算叫作空间向量的加法．即
这个求两个空间向量和的法则，叫作向量求和的三角形法则．
新课学习
空间向量的平行四边形法则
当空间向量a，b不平行时，过空间任意一点O作 ， ，这时O，A，B三点不共线，在平面内，以OA，OB为邻边作 ABCD．因为 ，所以也有
由此可见，平面向量求和的平行四边形法则，对空间向量同样适用．
由此可证：空间向量的加法满足交换律.
新课学习
思考一下：空间向量是否满足结合律？
以平行六面体ABCD-A B C D 为例(如图)加以说明.
一方面，
另一方面，
所以
结论：空间向量满足结合律
新课学习
空间向量的加法的运算律
加法交换律:
a+b=b+a
加法结合律：
a+(b+c)=(a+b)+c
我们知道，平面向量有减法运算，那么空间向量有减法运算吗？和平面向量吗？
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空间向量的减法的概念
已知空间向量a，b，空间向量a，b的差也可以定义为
a+(-b)
记作a-b，其中-b是b的相反向量．
如图(1)中，
a-b=
满足交换律
如图(2)中， 是 的相反向量，所以
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B
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B
课堂巩固
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D
课堂巩固
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A
课堂巩固
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D
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课堂巩固
①③④
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课堂总结
1.空间向量的概念
2.空间向量的相关概念
3.共线向量的概念
4.共面向量的概念
5.空间向量的加减法
THANK YOU(共33张PPT)
3.2 空间向量与向量运算
（第二课时）
学习目标
2.掌握空间向量的数量积运算，体现数学抽象能力（重点）
1.掌握空间向量的线性运算，体现数学抽象能力（重点）
3.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法，会求空间向量的数量积，体现数学计算能力（难点）
新课导入
有两个中学生在一个密闭的房间内用塑料子弹练习打靶，其中一个人直接将枪对准目标射击，正中靶心；另外一个人在准备瞄准时意外“走火”，子弹经房顶、墙壁、地面等多次反射，最后居然也打中靶心，不考虑空气阻力等因素，两人的子弹起点和终点位置相同，那么它们所对应的向量也相同吗？其中的道理是什么呢？
新课学习
空间向量的数乘运算的概念
与平面向量类似，实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作λa.求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算.
数乘的几何意义：
1.当λ>0时，向量λa与向量a的方向相同
2.当λ<0时，向量λa与向量a的方向相反
3.当λ=0时，λa=0
4.|λa|=|λ||a|
新课学习
空间向量数乘的运算律
1.结合律：
λ(μa)＝(λμ)a
2.分配律：
(λ＋μ)a＝λa＋μa
λ(a＋b)＝λa＋λb
其中λ∈R，μ∈R
向量a同方向的单位向量：
对于任意一个非零向量a,当λ= 时，λa= 表示与向量a同方向的单位向量.
新课学习
思考一下：两个空间向量共线的充要条件是什么？
根据空间向量数乘运算的定义，λa是与向量a共线的向量，因此，对于空间任意两个向量a，b，若存在实数λ，使得a=λb，则a与b共线.
反之，由共线向量的定义，若向量a与b共线且b≠0，则一定存在实数λ使得a=λb（其中 ，若向量a，b方向相同，则λ>0；若向量a，b方向相反，则λ<0；若a=b，则λ=0）．
也就是说，平面中两个向量共线的充要条件，对于空间向量同样成立．
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共线向量基本定理
空间两个向量a，b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a=λb.(也称“一维向量基本定理”)
共线向量基本注意的问题：
1.向量共线等价于向量平行；
2.验证过程中对b≠0的约束；
3.该定理在用于证明直线平行时，需要注意排除重合的情况．
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思考交流：任意给定两个不共线的向量a，b，若存在实数x，y，使得向量c＝xa＋yb，则向量c与a，b是否为共面向量？
根据平面向量基本定理：若向量a，b是平面α内两个不共线的向量，则α内任意一个向量c，存在唯一的有序实数对(x,y)，使得：c=xa+yb．
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例1：如图，已知平行六面体ABCD-A B C D ，化简下列向量表达式，并在图中标出化简后的结果所对应的向量．
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设M为CB 的中点，则
化简后，所对应的向量如图
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两个向量的夹角的概念
两个非零向量a，b(如图)，在空间中任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作．
通常规定:0≤≤
在此规定下，两个向量的夹角被唯一确定，并且
=
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当=0时，向量与方向相同；
夹角与向量的关系
当=π时，向量与方向相反；
当= 时，称向量a与b互相垂直，记作a⊥b．
规定：零向量与任意向量垂直．
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两个向量数量积的概念
已知两个非零向量a，b，把|a||b|cos叫作a与b的数量积，记作a b．即
a b=|a||b|cos
与平面向量类似，空间向量的数量积也是一个实数，容易得到以下结论：
3.a⊥b a b=0
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数量积的运算律
1.交换律：
a b=b a
2.分配律：
a (b+c)=a b+a c
3.(λa) b=λ(a b)
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投影向量的概念
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 过点B作直线OA的垂线，垂足为点B1，称向量 为向量b在向量a方向上的投影向量，其长度等于||b|cos|.
当为锐角时，|b|cos＞0，如图(1)；
当为钝角时，|b|cos＜0，如图(2)；
当= 时，|b|cos=0，如图(3).
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若用a0表示与向量a(a≠0) 同方向的单位向量，则向量b在向量a方向上的投影向量为
投影数量的概念
因此，称|b|cos为投影向量 的数量，简称为向量b在向量a 方向上的投影数量.结合空间向量数量积的定义可知：向量b在向量a方向上的投影数量为
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例2:如图，已知单位正方体ABCD-A'B'C'D'.
（1）指出向量 分别在 方向上的投影向量；
（2）求向量 在 方向上的投影数量；
（3）求向量 在 方向上的投影数量.
(1)根据正方体的性质知：A'B⊥CB，A'D⊥CD，A'C'⊥CC'，
所以向量 分别在 方向上的投影向量为
新课学习
所以向量 在 方向上的投影数量为
所以向量 在 方向上的投影数量为
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例3:如图，已知四棱柱ABCD-A'B'C'D'的底面ABCD是边长为1的菱形，且∠C'CB=∠C'CB=∠BCD= ，DD'=2．求：
(1)因为∠D'DA=∠C'CB=
所以
(2)因为
而
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所以
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D
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C
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C
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A
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D
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课堂巩固
8
课堂总结
1.空间向量数乘的概念
2.空间向量数乘的运算律
3.共线向量基本定理
4.两个向量数量积的概念
5.投影向量的概念
6.投影数量的概念
THANK YOU

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