资源简介

(共27张PPT)
3.3.1 空间向量基本定理
学习目标
1.掌握共面向量的判断方法，体现数学抽象能力（重点）
2.理解空间向量基本定理，会用空间三个不共面的向量表示其他向量，解决立体几何中的简单问题，体现逻辑脱离能力（难点）
新课导入
回顾一下：平面向量基本定理的内容是什么？
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.
思考一下：根据平面向量基本定理，我们知道对于该平面内的任意一个向量p，存在唯一的有序实数对(x,y)，使得p=xa+yb,特别地，当a,b为直角直角平面内的向量时，向量p就与坐标(x,y)建立了一一对应的关系，设a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，是否可以用向量a，b，c是来表示向量p？
a
b
c
p
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对于上面的问题进行分析：
如图，过空间任意一点O作
因为向量a，b，c不共面，所以O，A，B，C四点不共面.
作
当点P不在直线OC上时，过点P作与OC平行的直线交平面AOB于点Q，则 故存在实数z，使得
P
A
B
C
O
Q
在平面AOB内，由平面向量基本定理可知：存在唯一的有序实数对(x，y)，使得
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从而，存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得
当点P在直线OC上，则p∥c，故存在唯一的实数x，使得p=zc.
从而也存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)=(0，0，z)，使得
p=xa+yb+zc.
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空间向量基本定理的概念
如果向量a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得
p=xa+yb+zc.
如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|
p= xa+ yb+zc，x，y，z∈R}．这个集合可看作由向量a，b，c生成的．
我们把{a，b，c}叫作空间的一组基，a，b，c都叫作基向量.
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思考一下：空间向量基本定理中三元有序实数组是唯一性的吗？让我们证明一下.
假设还有另一个三元有序实数组(x'，y'，z')也满足p=x'a+y'b+z'c，则
0=(x-x')a+(y-y')b+(z-z')c.
不妨设x≠x'，则
也就是说，向量a可以被向量b，c线性表示，
不难得出，此时向量a应该与向量b，c共面，这与a，b，c是空间三个不共面的向量矛盾，所以x=x'，同理可得y=y'，z=z'.
所以空间向量基本定理中三元有序实数组具有唯一性.
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思考一下：空间的基有多少个，需要满足什么条件？
无数个，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一组基．
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空间向量基本定理注意的问题：
(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基.基选定后，空间的所有向量均可由基唯一表示；不同基下，同一向量的表达式也有可能不同.
(2)一组基是一个向量组，一个基向量是指基中的某一个向量，二者是相关联的不同概念.
(3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量.
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例1:如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，点M是 A'B'C'D'的对角线的交点，点N是棱BC的中点.如果 试用a，b，c表示
因为点M是 A'B'C'D'的对角线的交点，
所以
又
所以
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拓展：用一组基表示向量的步骤：
1.定基：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一组基.
2.找目标：用确定的基(或已知基)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.
3.下结论：利用空间向量的一组基{a，b，c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.
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练一练：
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A
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D
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D
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A
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B
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2
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课堂总结
空间向量基本定理：如果向量a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.
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