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(共31张PPT)
3.3.2 空间向量运算的坐标表示及应用
学习目标
1.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，体现数学抽象能力（重点）
2.掌握空间向量运算的坐标表示、掌握空间向量的平行和垂直的条件，体现数学抽象能力（重难点）
3.掌握空间向量的夹角与向量长度的坐标计算公式，体现逻辑推理能力（重难点）
新课导入
回顾一下：空间向量基本定理的内容是什么？
如果向量a,b,c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc．
思考一下：当空间的一组基向量两两垂直时，空间向量与空间直角坐标系之间有什么关系呢？
让我们这节课学习一下.
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标准正交基的概念
在空间直角坐标系O-xyz中，分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组基{i，j，k}，这组基叫作标准正交基.
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空间向量的坐标表示
根据空间向量基本定理，对于任意一个向量p，都存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得
p=xi+yj+zk
反之，任意给出一个三元有序实数组(x，y，z)，也可找到唯一的一个向量p=xi+yj+zk与之对应.
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空间向量的坐标表示
这样，就在空间向量与三元有序实数组之间建立了一一对应的关系，把三元有序实数组(x，y，z)叫作向量p在标准正交基{i，j，k}下的坐标，记作
p=(x，y，z).
单位向量i，j，k都叫作坐标向量.xi，yj，zk实际上分别是向量p在i，j，k方向上所作的投影向量，x，y，z分别是向量p在i，j，k方向上所作投影向量的数量.
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思考一下：空间中任意向量如何用坐标表示？
在空间直角坐标系O-xyz中，对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量
若点P的坐标为(x，y，z)，由空间向量的加法不难得出 =xi+yj+zk(如图)，
于是向量 的坐标也是(x，y，z).
z
y
x
k
p
p
向量p的坐标恰是点P在空间直角坐标系O-xyz中的坐标(x，y，z).
i
j
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思考一下：空间中任意两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),如何用坐标表示 ？
若点A的坐标为(x1，y1，z1)，点B的坐标为(x2，y2，z2)，则
结论：一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
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设向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，根据空间向量的运算法则，不难得到：
空间向量的坐标表示
(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)
(2)a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)
(3)λa＝(λx1，λy1，λz1)(λ∈R)
(4)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2
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思考一下：如何证明空间向量的数量积？
设向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，所以
根据向量数量积的分配律，以及i·i=j·j=k·k=1，i·j=j·k=i·k=0,
即可得出
a·b=(x1x2)i·i+(x1y2)i·j+(x1z2)i·k+(y1x2)j·i+(y1y2)j·j+(y1z2)j·k
+(z1x2)k·i+(z1y2)k·j+(z1z2)k·k
=x1x2+y1y2+z1z2
因此，空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和.
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例2:已知向量a=(-1,-3,2)，b=(1,2,0),求：
(1) 2a； (2)(a+2b)·(-2a+b).
(1)2a=2(-1,-3,2)=(-2,-6,4).
(2)因为 a+2b=(-1,-3,2)+2(1,2,0)
=(-1,-3,2)+(2,4,0)=(1,1,2)，
-2a+b=-2(-1,-3,2)+(1,2,0)
=(2,6,-4)+(1,2,0)=(3,8,-4)；
所以
(a+2b)·(-2a+b)=(1,1,2)·(3,8,-4)
=1×3+1×8+2×(-4)=3.
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空间向量平行与垂直的条件
我们知道，当b≠0时，
a∥b 使得a=λb.
如果设向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，那么当b≠0时，
a∥b 使得
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空间向量平行与垂直的条件
当b与三个坐标平面都不平行(即x2y2z2≠0)时，
a∥b
类似地，可得
a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2+z1z2=0.
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空间向量长度与夹角的坐标表示
设向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，根据空间向量运算的坐标表示，可以得到：
若点A的坐标为(a1，b1，c1)，点B的坐标为(a2，b2，c2)，则
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例3:已知空间三点A(1,0,0)，B(3,1,1)，C(2,0,1)，求线段AB的长和∠BAC的大小.
又∵两个向量的夹角取值范围为[0，π]，
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例4：如图(1)，三棱柱ABC-A'B'C'中，侧棱与底面垂直，CA=CB=1，∠BCA= 棱AA'=2，点M，N分别是A'B'和A'A的中点.
(1)求 ；
如图(2)，以点C为原点，CA，CB，CC'所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
由题意，得B(0,1,0)，N(1,0,1).
则
(2)
(1)
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(2)求 的值；
由题意,得B(0,1,0)，C(0,0,0)，A'(1,0,2)，B'(0,1,2).
因为
所以
所以
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(3)求证：
证明：
由题意,得A'(1,0,2)，B(0,1,0)，C'(0,0,2)，
因为
所以
所以
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A
课堂巩固
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B
课堂巩固
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C
课堂巩固
课堂巩固
C
课堂巩固
课堂巩固
A
课堂巩固
课堂巩固
-3
课堂总结
1.标准正交基的概念
2.空间向量的坐标表示
3.空间向量平行与垂直的条件
4.空间向量长度与夹角的坐标表示
THANK YOU

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