资源简介

1　周期变化
1.设f（x）是定义在R上且以3为周期的函数，f（1）＝1，f（4）＝a，则（　　）
A.a＝2　 B.a＝－2　 C.a＝1　 D.a＝－1
2.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋8）＝f（x），f（x）的图象关于直线x＝2对称，在区间[0，2]上单调递增，且最大值为3，若关于x的方程f（x）－＝0在区间[－8，8]上有根，则所有根的个数为（　　）
A.1　　　　B.2　　　 C.3　　　D.4
3.（多选）按照规定，冬季奥运会每4年举行一次.2022年冬季奥运会在北京举办，那么下列年份中举办冬季奥运会的应该是（　　）
A.2026年 B.2029年
C.2032年 D.2034年
4.（多选）下列函数图象中具有周期性的是（　　）
5.下列函数是周期函数的是　　　　.
①f（x）＝x；②f（x）＝2x；③f（x）＝1＋（－1）x（x∈Z）；④f（x）＝
6.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙点的位置将处于图中的　　　　点处.
7.已知定义在R上的函数f（x）满足f（x＋3）＝f（x），且f（1）＝3，则f（2 026）＝　　　　.
8.已知定义在R上的函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x），当0＜x≤1时，f（x）＝2x－1，则f（5）＝　　　　.
9.已知f（x）满足f（x＋1）＝，若函数y＝f（x）是周期函数，则f（x）的周期T＝　　　　.
10.函数f（x）是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）＝x－1，则不等式f（x）＞0在[－4，4]上的解集为（　　）
A.（1，3） B.（－3，1）
C.（－3，－1）∪（1，3） D.（－1，0）∪（0，1）
11.定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋2）＝－，且在（0，1）上f（x）＝3x，则f（log354）＝　　　　.
12.设函数f（x）是定义在R上周期为3的奇函数，且f（1）＝2，则f（2）＋f（3）＝　　　　.
13.f（x）是定义在R上的偶函数，对 x∈R，均有f（x＋2）＝－f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝log2（2－x），则下列结论正确的序号是　　　　.
①函数f（x）的一个周期为4；②f（2 025）＝1；③当x∈[2，3]时，f（x）＝－log2（4－x）.
14.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称.
（1）求证：f（x）是周期为4的周期函数；
（2）若f（x）＝（0＜x≤1），求当x∈[－5，－4]时，函数f（x）的解析式.
1　周期变化
1.C　∵f（4）＝f（3＋1）＝f（1）＝1，又∵f（4）＝a，∴a＝1.
2.D　由题意知奇函数f（x）是一个周期函数且周期为8，又因f（x）关于x＝2对称，在区间[0，2]上单调递增且最大值为3，作示意图如图所示.
易知y＝与f（x）有四个交点，
则f（x）－＝0有4个根，故选D.
3.AD　　2026＝2022＋4，2029＝2022＋4＋3，2032＝2022＋4×2＋2，2034＝2022＋4×3，故选A、D.
4.ABD　抓住周期变化的特点：重复性.对于C，图象不重复出现，故不合题意.
5.③④　解析：①f（x＋T）＝x＋T≠x，∴f（x）不是周期函数，①错误.只能从B、C中选，又∵③是周期函数，∴只需判断④即可，f（x＋T）＝是周期函数，故④正确.
6.丁　解析：与乙点的位置相差周期的点为丁点.
7.3　解析：因为函数f（x）满足f（x＋3）＝f（x），所以函数f（x）是周期为3的周期函数，所以f（2 026）＝f（1＋675×3）＝f（1）＝3.
8.1　解析：因为定义在R上的函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x），所以函数的周期为2，所以f（5）＝f（5－2×2）＝f（1），因为当0＜x≤1时，f（x）＝2x－1，所以f（5）＝f（1）＝21－1＝1.
9.4　解析：∵f（x＋2）＝＝＝－，∴f（x＋4）＝－＝f（x），因此f（x）是周期函数，且周期T＝4.
10.C　由题意知，函数f（x）是周期为4的偶函数，且在x∈[0，2]时，f（x）＝x－1，作出该函数的图象如图所示，在[－4，4]上f（x）＞0的解集为（－3，－1）∪（1，3），故选C.
11.－　解析：由已知f（x＋2）＝－可得f（x＋4）＝－＝－＝f（x），即函数f（x）的周期是4，∴f（log354）＝f（log3（27×2））＝f（3＋log32）＝f（－1＋log32）＝－f（1－log32）＝－f（log3）＝－＝－.
12.－2　解析：因为函数f（x）是定义在R上周期为3的奇函数，所以f（0）＝0，且f（－x）＝－f（x），f（x＋3）＝f（x），所以f（2）＝f（－1）＝－f（1）＝－2，f（3）＝f（0）＝0，所以f（2）＋f（3）＝－2.
13.①③　解析：∵f（x）是定义在R上的偶函数，对 x∈R，均有f（x＋2）＝－f（x），∴f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），故函数的一个周期为4，故①正确；f（2 025）＝f（4×506＋1）＝f（1）＝0，故②错误；当x∈[2，3]时，x－2∈[0，1]，则f（x）＝－f（x－2）＝－log2[2－（x－2）]＝－log2（4－x），故③正确.
14.解：（1）证明：由函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，
则有f（x＋1）＝f（1－x），即有f（－x）＝f（x＋2）.
又函数f（x）是定义在R上的奇函数，故有f（－x）＝－f（x）.
故f（x＋2）＝－f（x）.
从而f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），
所以f（x）是周期为4的周期函数.
（2）由函数f（x）是定义在R上的奇函数，有f（0）＝0.
当x∈[－1，0）时，即－x∈（0，1]，f（x）＝－f（－x）＝－.
故x∈[－1，0]时，f（x）＝－.
当x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1，0]，f（x）＝f（x＋4）＝－.
从而，x∈[－5，－4]时，函数f（x）＝－.
1 / 21　周期变化
新课程标准解读 核心素养
1.理解周期函数的定义，会利用周期函数的定义判断某些函数是否为周期函数 数学抽象
2.了解周期函数最小正周期的定义，会求某些周期函数的最小正周期 数学运算
东升西落照苍穹，
影短影长角不同.
昼夜循环潮起伏，
冬春更替草枯荣.
不难发现，这首诗中描绘了大量的自然界重复出现的现象，太阳东升西落、昼夜循环、潮涨潮落、冬去春来（四季更替）、草枯草荣等都说明了周期变化.
【问题】　你还能举出有关周期变化的其他例子吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　周期函数
概念 一般地，对于函数y＝f（x），x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D，且满足f（x＋T）＝f（x），那么函数y＝f（x）称作周期函数
周期 非零常数T称作这个函数的周期
最小正 周期 如果在周期函数y＝f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y＝f（x）的最小正周期
【想一想】
1.是否所有的函数都是周期函数？
2.周期函数的定义域有什么特点？
3.周期函数的周期唯一吗？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）周期函数一定有最小正周期.（　　）
（2）函数y＝1的最小正周期是1.（　　）
（3）春、夏、秋、冬的变化属于自然界中的周期现象.（　　）
2.若f（x）的最小正周期T＝1，则下列选项不是f（x）的周期的是（　　）
A.－1　　　B.0　　　C.2　　　D.－2
3.如果今天是星期五，则59天后是星期　　　　　　　.
题型一 周期函数的判定
【例1】　（多选）下列函数是周期函数的是（　　）
A.每月的气温变化y与时间t（天）的关系y＝g（t）
B.函数y＝h（x）（x∈R）的图象如图所示
C.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ与时间t（单位：s）满足函数关系式θ＝R（t），在不考虑任何阻力的情况下，此单摆10秒来回摆动一次
D.为了研究钟表时针的运动变化规律，建立如图所示的直角坐标系，设t为时针运动的时间，y为时针对应表盘上的数字，则y＝f（t），t∈[0，＋∞）
尝试解答
通性通法
判断函数f（x）是否是周期函数的方法
（1）定义法：利用周期函数的定义判断函数f（x）是否是周期函数时，必须抓住3点：
①存在一个不等于零的常数T；
②对于定义域内的每一个x值，都有x＋T属于这个定义域；
③满足f（x＋T）＝f（x）.
（2）图象法：如果函数f（x）的图象在定义域内呈现周而复始的变化规律，那么这个函数f（x）是周期函数.
【跟踪训练】
一物体相对于某一固定位置的位移y（单位：cm）和时间t（单位：s）之间的一组对应值如表所示，由该物体的位移y和时间t之间的关系每隔0.8 s重复出现一次，试判断该函数是否为周期函数？并求当t＝4.2 s时y的值.
t/s … 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 …
y/cm … －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0 …
题型二 求函数的周期
【例2】　若对任意x∈R，函数f（x）满足f（x＋1）＝－f（x＋2），则函数f（x）的周期为　　　　.
尝试解答
通性通法
函数周期的求解方法及常见形式
（1）定义法：利用函数f（x）具有的某些性质，对其解析式进行变换，求满足定义条件f（x＋T）＝f（x）成立的非零常数T；
（2）求周期常见的四种形式，往复应用条件变换，即可求得周期：
设函数y＝f（x），x∈R，a＞0：
①若f（x＋a）＝f（x－a），则函数的周期为2a；
②若f（x＋a）＝－f（x），则函数的周期为2a；
③若f（x＋a）＝，则函数的周期为2a；
④若f（x＋a）＝－，则函数的周期为2a.
【跟踪训练】
已知f（x）是定义在R上的函数，且满足f（x＋2）＝－，则函数f（x）的周期为　　　　.
题型三 周期函数的图象、性质及应用
【例3】　已知函数f（x）是周期为2的周期函数，且f（x）＝｜x｜，x∈[－1，1].
（1）画出函数f（x）在[－2，2]上的图象，并求其单调区间、零点、最大值、最小值；
（2）求f（7.5）的值.
尝试解答
通性通法
1.画周期函数图象的步骤
（1）先画出函数f（x）在一个周期内的图象；
（2）再利用周期性将f（x）在一个周期内的图象左右平移即可得出其他部分的图象.
2.根据函数的周期性，可以由函数的局部性质（一个周期内的性质）得到函数的整体性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.
【跟踪训练】
1.在如图所示的y＝f（x）的图象中，若f（0.005）＝3，则f（0.025）＝　　　　.
2.函数f（x）是周期为2的周期函数，且f（x）＝，x∈[－1，1].
（1）画出函数f（x）在（－3，3）上的图象；
（2）求f（10）的值.
题型四 周期性在实际问题中的应用
【例4】　已知做周期运动的钟摆的高度h（单位：mm）与时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示.
（1）求该函数的周期；
（2）求t＝10 s时钟摆的高度.
尝试解答
通性通法
应用周期性解决实际问题的两个要点
【跟踪训练】
受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫作潮汐.已知某海滨浴场的海浪高度y（单位：米）是时间t（0≤t≤24，单位：时）的函数，记作y＝f（t），下表是某日各时的浪高数据：
t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/米 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5
根据规定，当海浪高度不低于1米时才对冲浪爱好者开放，判断一天内对冲浪爱好者能开放几次？时间最长的一次是什么时候？有多长时间？
1.下列现象是周期现象的有（　　）
①太阳的东升西落；②月亮的圆缺；③太阳表面的太阳黑子活动；④心脏的收缩与舒张.
A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个
2.如图所示的是一个单摆，让摆球从A点开始摆动，最后又回到A点，单摆所经历的时间是一个周期T，则摆球在O→B→O→A→O的运动过程中，经历的时间是（　　）
A.2T B.T
C. D.
3.已知函数f（x）满足对 x∈R，f（x＋2）＝f（x），且当x∈[1，3）时，f（x）＝log2x＋1，则f（2 025）＝（　　）
A.－1 B.0
C.1 D.2
4.函数f（x）是以2为周期的函数，且f（2）＝3，则f（6）＝　　　　.
1　周期变化
【基础知识·重落实】
想一想
1.提示：不是，如y＝x＋1就不是周期函数.
2.提示：设周期为T的函数的定义域为M，若x∈M，则必有x＋nT∈M（n∈Z且n≠0）.因此周期函数的定义域一定是无限集.
3.提示：周期函数的周期不唯一，如果T是函数f（x）的周期，那么nT（n∈Z且n≠0）也是函数f（x）的周期.
自我诊断
1.（1）×　（2）×　（3）√
2.B　若T是f（x）的周期，则nT（n∈Z且n≠0）也是f（x）的周期，故B错.
3.一　解析：每隔七天循环一次，59＝7×8＋3，故59天后为星期一.
【典型例题·精研析】
【例1】　BCD　选项A，每月的气温变化y与时间t（天）显然没有周期规律，该函数不是周期函数；选项B，由函数图象可以看出，函数值每隔2个单位长度重复出现一次，该函数为周期函数；选项C，在不考虑任何阻力的情况下，该单摆每隔10秒，摆动角度重复出现一次，函数θ＝R（t）为周期函数；选项D，由钟表时针所对应表盘的数值与时间t的关系为每隔12小时重复出现一次，该函数y＝f（t）为周期函数.
跟踪训练
　解：该函数关系是周期函数，由表及题意可知，位移y与时间t的关系每隔0.8 s重复出现一次，则满足存在一个非零常数T＝0.8，使得f（t＋0.8）＝f（t），故是周期函数.所以f（4.2）＝f（0.2＋5×0.8）＝f（0.2）＝0.
【例2】　2　解析：由f（x＋1）＝－f（x＋2），得f（x＋1）＝－f（x＋1＋1），令x＋1＝t，即f（t）＝－f（t＋1），所以f（t＋2）＝f（t），即函数f（x）的周期是2.
跟踪训练
　4　解析：因为f（x＋2）＝－，所以f（x＋4）＝f（x），所以函数f（x）的周期为4.
【例3】　解：（1）函数f（x）的图象如图所示：
由图可知：函数f（x）的单调递增区间为（－2，－1），（0，1），单调递减区间为（－1，0），（1，2）.
函数的零点为－2，0，2，函数的最大值为1，最小值为0.
（2）f（7.5）＝f（7.5－8）＝f（－0.5）＝｜－0.5｜＝0.5.
跟踪训练
1.3　解析：由题中图象知，周期为0.02，
∴f（0.025）＝f（0.005＋0.02）＝f（0.005）＝3.
2.解：（1）函数f（x）的图象如图所示：
（2）f（10）＝f（10－2×5）＝f（0）＝＝1.
【例4】　解：（1）由图象知，该函数的周期为1.5 s.
（2）设h＝f（t），
∵T＝1.5，
∴f（10）＝f（1＋6×1.5）＝f（1）＝20.
∴t＝10 s时钟摆的高度为20 mm.
跟踪训练
　解：由题中表可知，一天内能开放三次，时间最长的一次是上午9时至下午3时，共6个小时.
随堂检测
1.D　由周期现象的描述知①②③④均为周期现象.
2.B　整个运动恰好是一个周期，所以运动的时间是T.
3.C　根据题意，f（x）满足对 x∈R，f（x＋2）＝f（x），则f（x）是周期为2的周期函数，则f（2 025）＝f（1＋2×1 012）＝f（1）＝log21＋1＝1.
4.3　解析：因为函数f（x）是以2为周期的函数，所以f（6）＝f（2）＝3.
5 / 5(共50张PPT)
§1　周期变化
新课程标准解读 核心素养
1.理解周期函数的定义，会利用周期函数的定义判断
某些函数是否为周期函数 数学抽象
2.了解周期函数最小正周期的定义，会求某些周期函
数的最小正周期 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
东升西落照苍穹，
影短影长角不同.
昼夜循环潮起伏，
冬春更替草枯荣.
不难发现，这首诗中描绘了大量的自然界重复出现的现象，太
阳东升西落、昼夜循环、潮涨潮落、冬去春来（四季更替）、草枯草
荣等都说明了周期变化.
【问题】　你还能举出有关周期变化的其他例子吗？



知识点　周期函数
概念 一般地，对于函数y＝f（x），x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D，且满足f（x＋T）＝f（x），那么函数y＝f（x）称作周期函数
周期 非零常数T称作这个函数的周期
最小正周期 如果在周期函数y＝f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y＝f（x）的最小正周期
【想一想】
1. 是否所有的函数都是周期函数？
提示：不是，如y＝x＋1就不是周期函数.
2. 周期函数的定义域有什么特点？
提示：设周期为T的函数的定义域为M，若x∈M，则必有x＋
nT∈M（n∈Z且n≠0）.因此周期函数的定义域一定是无限集.
3. 周期函数的周期唯一吗？
提示：周期函数的周期不唯一，如果T是函数f（x）的周期，那
么nT（n∈Z且n≠0）也是函数f（x）的周期.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）周期函数一定有最小正周期. （　×　）
（2）函数y＝1的最小正周期是1. （　×　）
（3）春、夏、秋、冬的变化属于自然界中的周期现象.
（　√　）
×
×
√
2. 若f（x）的最小正周期T＝1，则下列选项不是f（x）的周期的是
（　　）
A. －1 B. 0 C. 2 D. －2
解析：　若T是f（x）的周期，则nT（n∈Z且n≠0）也是f
（x）的周期，故B错.
3. 如果今天是星期五，则59天后是星期 .
解析：每隔七天循环一次，59＝7×8＋3，故59天后为星期一.
一　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 周期函数的判定
【例1】　（多选）下列函数是周期函数的是（　　）
A. 每月的气温变化y与时间t（天）的关系y＝g（t）
B. 函数y＝h（x）（x∈R）的图象如图所示
C. 如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ与时间t（单位：s）满足函数关系式θ＝R（t），在不考虑任何阻力的情况下，此单摆10秒来回摆动一次
D. 为了研究钟表时针的运动变化规律，建立如图所示的直角坐标系，设t为时针运动的时间，y为时针对应表盘上的数字，则y＝f（t），t∈[0，＋∞）
解析：　选项A，每月的气温变化y与时间t（天）显然没有周期规律，该函数不是周期函数；选项B，由函数图象可以看出，函数值每隔2个单位长度重复出现一次，该函数为周期函数；选项C，在不考虑任何阻力的情况下，该单摆每隔10秒，摆动角度重复出现一次，函数θ＝R（t）为周期函数；选项D，由钟表时针所对应表盘的数值与时间t的关系为每隔12小时重复出现一次，该函数y＝f（t）为周期函数.
通性通法
判断函数f（x）是否是周期函数的方法
（1）定义法：利用周期函数的定义判断函数f（x）是否是周期函数
时，必须抓住3点：
①存在一个不等于零的常数T；
②对于定义域内的每一个x值，都有x＋T属于这个定义域；
③满足f（x＋T）＝f（x）.
（2）图象法：如果函数f（x）的图象在定义域内呈现周而复始的变
化规律，那么这个函数f（x）是周期函数.
【跟踪训练】
一物体相对于某一固定位置的位移y（单位：cm）和时间t（单位：
s）之间的一组对应值如表所示，由该物体的位移y和时间t之间的关
系每隔0.8 s重复出现一次，试判断该函数是否为周期函数？并求当t
＝4.2 s时y的值.
t/s … 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 …
y/cm … －
4.0 －
2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －
2.8 －
4.0 …
解：该函数关系是周期函数，由表及题意可知，位移y与时间t的关系
每隔0.8 s重复出现一次，则满足存在一个非零常数T＝0.8，使得f
（t＋0.8）＝f（t），故是周期函数.所以f（4.2）＝f（0.2＋
5×0.8）＝f（0.2）＝0.
题型二 求函数的周期
【例2】　若对任意x∈R，函数f（x）满足f（x＋1）＝－f（x＋
2），则函数f（x）的周期为 .
解析：由f（x＋1）＝－f（x＋2），
得f（x＋1）＝－f（x＋1＋1），
令x＋1＝t，即f（t）＝－f（t＋1），
所以f（t＋2）＝f（t），
即函数f（x）的周期是2.
2　
通性通法
函数周期的求解方法及常见形式
（1）定义法：利用函数f（x）具有的某些性质，对其解析式进行变
换，求满足定义条件f（x＋T）＝f（x）成立的非零常数T；
（2）求周期常见的四种形式，往复应用条件变换，即可求得周期：
设函数y＝f（x），x∈R，a＞0：
①若f（x＋a）＝f（x－a），则函数的周期为2a；
②若f（x＋a）＝－f（x），则函数的周期为2a；
③若f（x＋a）＝ ，则函数的周期为2a；
④若f（x＋a）＝－ ，则函数的周期为2a.
【跟踪训练】
已知f（x）是定义在R上的函数，且满足f（x＋2）＝－ ，则
函数f（x）的周期为 .
解析：因为f（x＋2）＝－ ，所以f（x＋4）＝f（x），所以
函数f（x）的周期为4.
4　
题型三 周期函数的图象、性质及应用
【例3】　已知函数f（x）是周期为2的周期函数，且f（x）＝｜
x｜，x∈[－1，1].
（1）画出函数f（x）在[－2，2]上的图象，并求其单调区间、零
点、最大值、最小值；
解：函数f（x）的图象如图所示：
由图可知：函数f（x）的单调递增区
间为（－2，－1），（0，1），单调
递减区间为（－1，0），（1，2）.
函数的零点为－2，0，2，函数的最
大值为1，最小值为0.
（2）求f（7.5）的值.
解：（2）f（7.5）＝f（7.5－8）＝f（－0.5）＝｜－0.5｜＝0.5.
通性通法
1. 画周期函数图象的步骤
（1）先画出函数f（x）在一个周期内的图象；
（2）再利用周期性将f（x）在一个周期内的图象左右平移即可得
出其他部分的图象.
2. 根据函数的周期性，可以由函数的局部性质（一个周期内的性
质）得到函数的整体性质，函数的周期性常与函数的其他性质
综合命题.
【跟踪训练】
1. 在如图所示的y＝f（x）的图象中，若f（0.005）＝3，则f
（0.025）＝ .
解析：由题中图象知，周期为0.02，
∴f（0.025）＝f（0.005＋0.02）＝f（0.005）＝3.
3　
2. 函数f（x）是周期为2的周期函数，且f（x）＝ ，x∈[－
1，1].
（1）画出函数f（x）在（－3，3）上的图象；
解：函数f（x）的图象如图所示：
（2）求f（10）的值.
解：f（10）＝f（10－2×5）＝f（0）＝ ＝1.
题型四 周期性在实际问题中的应用
【例4】　已知做周期运动的钟摆的高度h（单位：mm）与时间t
（单位：s）之间的函数关系如图所示.
（1）求该函数的周期；
解：由图象知，该函数的周期为1.5 s.
（2）求t＝10 s时钟摆的高度.
解：设h＝f（t），∵T＝1.5，
∴f（10）＝f（1＋6×1.5）＝f（1）
＝20.∴t＝10 s时钟摆的高度为20 mm.
通性通法
应用周期性解决实际问题的两个要点
【跟踪训练】
受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫作潮汐.已知某海滨浴
场的海浪高度y（单位：米）是时间t（0≤t≤24，单位：时）的函
数，记作y＝f（t），下表是某日各时的浪高数据：
t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/米 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5
根据规定，当海浪高度不低于1米时才对冲浪爱好者开放，判断一
天内对冲浪爱好者能开放几次？时间最长的一次是什么时候？有
多长时间？
解：由题中表可知，一天内能开放三次，时间最长的一次是上午9时
至下午3时，共6个小时.
1. 下列现象是周期现象的有（　　）
①太阳的东升西落；②月亮的圆缺；③太阳表面的太阳黑子活动；
④心脏的收缩与舒张.
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
解析：　由周期现象的描述知①②③④均为周期现象.
2. 如图所示的是一个单摆，让摆球从A点开始摆动，最后又回到A
点，单摆所经历的时间是一个周期T，则摆球在
O→B→O→A→O的运动过程中，经历的时间是（　　）
A. 2T B. T
解析：　整个运动恰好是一个周期，所以运动的时间是T.
3. 已知函数f（x）满足对 x∈R，f（x＋2）＝f（x），且当
x∈[1，3）时，f（x）＝log2x＋1，则f（2 025）＝（　　）
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
解析：　根据题意，f（x）满足对 x∈R，f（x＋2）＝f
（x），则f（x）是周期为2的周期函数，则f（2 025）＝f（1＋
2×1 012）＝f（1）＝log21＋1＝1.
4. 函数f（x）是以2为周期的函数，且f（2）＝3，则f（6）＝ .
解析：因为函数f（x）是以2为周期的函数，所以f（6）＝f（2）
＝3.
3　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 设f（x）是定义在R上且以3为周期的函数，f（1）＝1，f（4）
＝a，则（　　）
A. a＝2 B. a＝－2
C. a＝1 D. a＝－1
解析：　∵f（4）＝f（3＋1）＝f（1）＝1，又∵f（4）＝a，
∴a＝1.
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2. 已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋8）＝f（x），f
（x）的图象关于直线x＝2对称，在区间[0，2]上单调递增，且最
大值为3，若关于x的方程f（x）－ ＝0在区间[－8，8]上有根，
则所有根的个数为（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
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解析：　由题意知奇函数f（x）是一个周期函数且周期为
8，又因f（x）关于x＝2对称，在区间[0，2]上单调递增且最大
值为3，作示意图如图所示.
易知y＝ 与f（x）有四个交点，则f（x）－ ＝0有4个根，故选D.
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3. （多选）按照规定，冬季奥运会每4年举行一次.2022年冬季奥运会
在北京举办，那么下列年份中举办冬季奥运会的应该是（　　）
A. 2026年 B. 2029年
C. 2032年 D. 2034年
解析：　2026＝2022＋4，2029＝2022＋4＋3，2032＝2022＋
4×2＋2，2034＝2022＋4×3，故选A、D.
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4. （多选）下列函数图象中具有周期性的是（　　）
解析：抓住周期变化的特点：重复性.对于C，图象不重复出现，故不合题意.
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5. 下列函数是周期函数的是 .
①f（x）＝x；②f（x）＝2x；③f（x）＝1＋（－1）x
（x∈Z）；④f（x）＝
解析：①f（x＋T）＝x＋T≠x，∴f（x）不是周期函数，①错
误.只能从B、C中选，又∵③是周期函数，∴只需判断④即可，f
（x＋T）＝是周期函数，故④正确.
③④　
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6. 如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过 周
期后，乙点的位置将处于图中的 点处.
解析：与乙点的位置相差 周期的点为丁点.
丁　
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7. 已知定义在R上的函数f（x）满足f（x＋3）＝f（x），且f（1）
＝3，则f（2 026）＝ .
解析：因为函数f（x）满足f（x＋3）＝f（x），所以函数f
（x）是周期为3的周期函数，所以f（2 026）＝f（1＋675×3）
＝f（1）＝3.
3　
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8. 已知定义在R上的函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x），当0＜
x≤1时，f（x）＝2x－1，则f（5）＝ .
解析：因为定义在R上的函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x），所
以函数的周期为2，所以f（5）＝f（5－2×2）＝f（1），因为当
0＜x≤1时，f（x）＝2x－1，所以f（5）＝f（1）＝21－1＝1.
1　
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解析：∵f（x＋2）＝ ＝ ＝－ ，∴f
（x＋4）＝－ ＝f（x），因此f（x）是周期函数，且周
期T＝4.
9. 已知f（x）满足f（x＋1）＝ ，若函数y＝f（x）是周期
函数，则f（x）的周期T＝ .
4　
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10. 函数f（x）是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）＝x－
1，则不等式f（x）＞0在[－4，4]上的解集为（　　）
A. （1，3）
B. （－3，1）
C. （－3，－1）∪（1，3）
D. （－1，0）∪（0，1）
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√
解析：　由题意知，函数f（x）是周期为4的偶函数，且在∈[0，2]时，f（x）＝x－1，作出该函数的图象如图所示，在[－4，4]上f（x）＞0的解集为（－3，－1）∪（1，3），故选C.
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11. 定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋2）＝－ ，且在
（0，1）上f（x）＝3x，则f（log354）＝ .
解析：由已知f（x＋2）＝－ 可得f（x＋4）＝－
＝－ ＝f（x），即函数f（x）的周期是4，∴f
（log354）＝f（log3（27×2））＝f（3＋log32）＝f（－1＋
log32）＝－f（1－log32）＝－f（log3 ）＝－ ＝－ .
－ 　
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12. 设函数f（x）是定义在R上周期为3的奇函数，且f（1）＝2，则f
（2）＋f（3）＝ .
解析：因为函数f（x）是定义在R上周期为3的奇函数，所以f
（0）＝0，且f（－x）＝－f（x），f（x＋3）＝f（x），所以
f（2）＝f（－1）＝－f（1）＝－2，f（3）＝f（0）＝0，所以f
（2）＋f（3）＝－2.
－2　
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13. f（x）是定义在R上的偶函数，对 x∈R，均有f（x＋2）＝－f
（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝log2（2－x），则下列结论正
确的序号是 .
①③　
①函数f（x）的一个周期为4；
②f（2 025）＝1；
③当x∈[2，3]时，f（x）＝－log2（4－x）.
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解析：∵f（x）是定义在R上的偶函数，对 x∈R，均有f（x＋
2）＝－f（x），∴f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），故函数
的一个周期为4，故①正确；f（2 025）＝f（4×506＋1）＝f
（1）＝0，故②错误；当x∈[2，3]时，x－2∈[0，1]，则f
（x）＝－f（x－2）＝－log2[2－（x－2）]＝－log2（4－x），
故③正确.
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14. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x
＝1对称.
（1）求证：f（x）是周期为4的周期函数；
解：证明：由函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，
则有f（x＋1）＝f（1－x），即有f（－x）＝f（x＋2）.
又函数f（x）是定义在R上的奇函数，故有f（－x）＝－f
（x）.故f（x＋2）＝－f（x）.
从而f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），
所以f（x）是周期为4的周期函数.
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（2）若f（x）＝ （0＜x≤1），求当x∈[－5，－4]时，函
数f（x）的解析式.
解：由函数f（x）是定义在R上的奇函数，有f（0）＝0.
当x∈[－1，0）时，即－x∈（0，1]，f（x）＝－f（－
x）＝－ .故x∈[－1，0]时，f（x）＝－ .
当x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1，0]，f（x）＝f（x＋
4）＝－ .
从而，x∈[－5，－4]时，函数f（x）＝－ .
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