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(共31张PPT)
第三章 空间向量与立体几何
3.4.2.1空间向量与平行关系
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.
2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系.
探究1 设直线l，m的方向向量分别为l，m，平面α，平面β的法向量分别为n1，n2，若l∥m，l∥α，α∥β，那么其方向向量与法向量具有怎样的关系？
提示　l∥m l∥m，l∥α l⊥n1，α∥β n1∥n2.
探究2 能否用向量法证明平行关系？如何证明？
提示　可以.l∥m且l与m不重合 l∥m；l⊥n1，且l α l∥α；n1∥n2且α与β不重合 α∥β.
设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则
知识梳理
l∥m或l与m重合 ________；
l∥α或l α _______；
α∥β或α与β重合 n1∥n2.
l∥m
l⊥n1
例1
√
若l∥α，则a·n＝0.
(1)(多选)若直线l的方向向量为a，l不在平面α 内，平面α的法向量为n，能使l∥α的是
A.a＝(1，0，0)，n＝(0，－2，0) B.a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)
C.a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1) D.a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)
√
A中a·n＝0，
B中a·n＝1＋5＝6，
C中a·n＝－1，
D中a·n＝－3＋3＝0.
√
(2)(链接教材P140习题3－4A组T2)若两个不重合平面α，β的法向量分别为u＝(1，2，－1)，v＝(－3，－6，3)，则
A.α∥β B.α⊥β
C.α，β相交但不垂直 D.以上均不正确
∵v＝－3u，∴v∥u.故α∥β.
利用直线的方向向量和平面的法向量能直接判定平行关系或求参数.
训练1
√
(2)已知直线l的方向向量是a＝(3，2，1)，平面α的法向量是u＝(－1，2，－1)，则l与α的位置关系是
A.l⊥α B.l∥α
C.l与α相交但不垂直 D.l∥α或l α
√
因为a·u＝－3＋4－1＝0，
所以a⊥u，所以l∥α或l α.
例2
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点，求证：MN∥RS.
法二　如图所示，建立空间直角坐标系A－xyz，则根据题意得
思维升华
证明线线平行的两种思路
长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求证：EF∥AC1.
训练2
如图所示，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
例3
在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB.
如图所示，建立空间直角坐标系，
D是坐标原点，设PD＝DC＝a.
连接AC，交BD于点G，连接EG，
法二　因为四边形ABCD是正方形，
所以G是此正方形的中心，
又EG 平面EDB，且PA 平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
思维升华
利用空间向量证明线面平行的方法：
(1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基表示.
(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理求证.
(3)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
另外，证线面平行，一定注意直线在平面外.
训练3
如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，求证：AB1∥平面DBC1.
如图以A为坐标原点AC，AA1所在直线为y，z轴，建立空间直角坐标系.
例4
(链接教材P127练习T4)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点.求证：平面AMN∥平面EFDB.
如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.
设正方体棱长为a，
则D(0，0，0)，A(a，0，0)，A1(a，0，a)，D1(0，0，a)，
B1(a，a，a)，B(a，a，0)，C1(0，a，a).
设平面AMN与平面EFDB的法向量分别为m＝(x1，y1，z1)和n＝(x2，y2，z2)，
∴y1＝－x1＝－2z1.
取z1＝1，则x1＝2，y1＝－2.
∴平面AMN的一个法向量m＝(2，－2，1).
同理可得平面EFDB的一个法向量n＝(2，－2，1).
∵m＝n，∴m∥n，
∴平面AMN∥平面EFDB.
思维升华
证明面面平行问题的思路
(1)转化为相应的线线平行或线面平行；
(2)分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行.
训练4
已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，
求证：平面ADE∥平面B1C1F.
以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，
F(0，0，1)，B1(2，2，2)，
令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1，2).
同理，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量，
所以n2＝(0，－1，2).
因为n1＝n2，即n1∥n2，
所以平面ADE∥平面B1C1F.
1、背诵记忆线线平行的证明思路方法
2、记忆直线和平面平行的方法
3、背诵记忆面面平行的思路方法
√
√
∵平面α∥平面β，
2.已知平面α的一个法向量是(2，－1，－1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是
A.(4，2，－2) B.(2，0，4)
C.(2，－1，－5) D.(4，－2，－2)
∴平面β的法向量与平面α的法向量平行，
又∵(4，－2，－2)＝2(2，－1，－1)，∴选D.
-8
∵u·v＝(2，0，－1)·(－2，1，－4)＝－4＋0＋4＝0，∴u⊥v，
∴l∥α或l α.
4.已知直线l的一个方向向量为u＝(2，0，－1)，平面α的一个法向量为v＝(－2，1，－4)，则l与α的位置关系为____________.
l∥α或l α
1、把课堂检测习题同桌互批，各组长将检测结果汇总交给老师
2、强化记忆内容没有记住的学生继续进行强化记忆
0号作业：牢记强化记忆内容
1号作业：课本P126 练习1、
2号作业：课本P127 练习3、4(共35张PPT)
第三章 空间向量与立体几何
3.4.2.2空间向量与垂直关系
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.
2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系.
探究1 如图，根据直线、平面的位置关系，判断直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？
提示　l⊥m，n1∥l，n1⊥n2.
探究2 如图所示，AB⊥α，垂足为点B，AC∩α＝C，l α，且l⊥BC，由向量法能否得到l⊥AC.
提示　能.
1.设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则
l⊥m ________；
l⊥α ________；
α⊥β _________.
知识梳理
l⊥m
l∥n1
n1⊥n2
2.三垂线定理及其逆定理
(1)三垂线定理：若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的______垂直，则它也和这条______垂直.
(2)三垂线定理的逆定理：若平面内的一条直线和这个平面的一条______垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的______垂直.
投影
斜线
斜线
投影
提示：在三垂线定理及逆定理中“平面内的一条直线”这个条件不能忽略.
例1
5
∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量u与平面β的法向量v互相垂直，
(1)已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，则t的值为________.
∴u·v＝0，即－1·t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.
√
(2)下列命题中正确的是
A.若直线l与平面α外的一条直线l′在平面α内的投影垂直，则l⊥l′
B.若直线l与平面α外的一条直线l′垂直，则l与l′在平面α内的投影垂直
C.若向量a和直线l在平面α内的投影垂直，则a⊥l
D.若非零向量a和平面α平行，且和直线l垂直，直线l不与平面α垂直，则a垂直于l在平面a内的投影
由三垂线定理及逆定理知，A，B选项中均缺少“直线l在平面α内”这一条件，A，B均不正确；当a与平面α平行或a在平面α内时正确，否则结论不成立，故C不正确，故选D.
注意垂直关系与向量关系间的正逆应用，既可判定垂直关系，也可以求参数.
思维升华
训练1
√
因为l1⊥l2，所以a⊥b.
因为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，m)，
所以1×(－2)＋2×3＋(－2)×m＝0，
解得m＝2.故选B.
l⊥α
(2)若直线l的一个方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的一个法向量为μ＝(－2，0，－4)，则直线l与平面α的关系为________.
∵μ＝－2a，∴a∥μ，∴l⊥α.
例2
法二　设AB中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得
思维升华
利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤：
(1)基向量法：①选取三个不共面的已知向量为空间向量的一组基；
②把两直线的方向向量用基表示；③计算两直线的方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直.
(2)坐标法：①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；②根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标；③④与(1)同.
(3)借助平面的法向量来证明线线垂直：①平面α的法向量为v，直线l的方向向量为a，若a∥α，则l与法向量所在直线垂直；②平面α、β的法向量分别为v1，v2，若α⊥β，则v1⊥v2.
如图，在四棱锥S－ABCD中，SA⊥底面ABCD，四边形ABCD是边长为1的正方形，且SA＝1，点M是SD的中点.求证：SC⊥AM.
训练2
以A为原点，AB，AD，AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
例3
(链接教材P127练习T3)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.
求证：EF⊥平面B1AC.
法一　设正方体的棱长为2，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，
E(2，2，1)，F(1，1，2)，
∴EF⊥AB1，EF⊥AC.
又AB1∩AC＝A，AB1，AC 平面B1AC，
∴EF⊥平面B1AC.
即EF⊥AB1.同理，EF⊥B1C.
又AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C 平面B1AC，
∴EF⊥平面B1AC.
思维升华
证明直线与平面垂直的方法：本例法一、法二中建立空间直角坐标系，利用坐标将向量的运算转化为实数(坐标)的运算，以达到证明的目的.法三选一组基，将相关向量用基表示出来，然后利用向量的运算来证明.
训练3
如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F分别为CD，PB的中点.求证：EF⊥平面PAB.
以D为坐标原点，DC，DA，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设CD＝2a，AD＝b.
例4
在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面GEF⊥平面PBC.
法一　如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
而PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC.又FG 平面EFG，
∴平面EFG⊥平面PBC.
法二　同法一，建立空间直角坐标系，
则E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0).
思维升华
用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，计算它们的数量积是否为0即可.
训练4
已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点.
(1)求证：A1E⊥BD；
以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为a，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a).
设E(0，a，e)(0≤e≤a).
(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置.
设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2).
1、背诵记忆两直线垂直的常用方法及步骤
2、背诵记忆直线与平面垂直的方法
3、背诵记忆面面垂直的方法思路
1.若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，2)，则
A.l1∥l2 B.l1⊥l2
C.l1，l2相交但不垂直 D.不能确定
√
∵a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.
√
a·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，
2.若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1，0)，b＝(－1，－2，0)，则α与β的位置关系是
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.无法确定
∴α⊥β.
3.设l1的一个方向向量为a＝(1，3，－2)，l2的一个方向向量为b＝(－4，3，m)，若l1⊥l2，则m等于________.
因为l⊥α，
所以e与n平行，
则存在实数m使得e＝mn，
1、把课堂检测习题同桌互批，各组长将检测结果汇总交给老师
2、强化记忆内容没有记住的学生继续进行强化记忆
0号作业：牢记强化记忆内容
1号作业：课本P129 练习2、3
2号作业：课本P129 练习4、5

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