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§2　任意角
2.1　角的概念推广 2.2　象限角及其表示
1.下面各组角中，终边相同的是（　　）
A.390°，690°　　　　　　　 B.－330°，750°
C.480°，－420° D.3 000°，－840°
2.若α是第四象限角，则180°－α是（　　）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
3.已知集合{α｜k·360°＋45°≤α≤k·360°＋90°，k∈Z}，则角α的终边落在阴影部分的区域是（　　）
4.（多选）下列说法不正确的是（　　）
A.终边在x轴非负半轴上的角是零角
B.钝角一定大于第一象限的角
C.第二象限的角不一定大于第一象限的角
D.第四象限角一定是负角
5.（多选）给出的下列四个命题中正确的有（　　）
A.75°角是第一象限角
B.225°角是第三象限角
C.475°角是第二象限角
D.－315°角是第四象限角
6.与－2 024°角终边相同的最小正角是　　　　.
7.在0°～360°范围内，与－60°角的终边在同一条直线上的角为　　　　.
8.已知角α，β的终边关于直线y＝－x对称，且α＝－60°，则β＝　　　　.
9.已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，则：
（1）最小的正角为　　　　；
（2）最大的负角为　　　　；
（3）－360°～720°之间的角为　　　.
10.若α＝k·180°＋45°（k∈Z），则α的终边在（　　）
A.第一或第三象限 B.第一或第二象限
C.第二或第四象限 D.第三或第四象限
11.（多选）已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，那么下列表示的A，B，C之间的关系正确的是（　　）
A.B A B.B＝A∩C
C.B∪C＝C D.A C
12.（多选）如果角α与角γ＋60°的终边相同，角β与角γ－60°的终边相同，那么α－β值的可能为（　　）
A.120° B.360°
C.1 200° D.3 600°
13.若角α满足180°＜α＜360°，角5α与α有相同的始边与终边，则角α＝　　　　.
14.如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx＝45°，点P从点A处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转.已知点P在1秒内转过的角度为θ（0°＜θ＜180°），经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A，求θ，并判断θ所在的象限.
2.1　角的概念推广
2.2　象限角及其表示
1.B　因为－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，所以－330°与750°终边相同.
2.C　可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角.
3.B　当α＝k·360°＋45°，k∈Z时，角α的终边落在第一象限的角平分线上，当α＝k·360°＋90°，k∈Z时，角α的终边落在y轴的非负半轴上，按照逆时针旋转的方向确定范围可得集合表示的区域如选项B所示.
4.ABD　A错，终边在x轴非负半轴上的角为k·360°，k∈Z，显然不只是零角；B错，390°是第一象限的角，大于任一钝角；C对，第二象限角中的－210°小于第一象限角中的30°；D错，285°为第四象限角，但不是负角.
5.ABC　0°＜75°＜90°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－360°＜－315°＜－270°，故A、B、C均正确.
6.136°　解析：因为－2 024°＝－6×360°＋136°，所以所求角为136°.
7.120°，300°　解析：根据终边相同的角的定义知，与－60°终边相同的角可表示为β＝－60°＋k·360°（k∈Z），当k＝1时β＝300°与－60°终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内的角为120°.
8.－30°＋k·360°，k∈Z　解析：在－90°到0°的范围内，－60°角的终边关于直线y＝－x对称的射线的对应角为－45°＋15°＝－30°，所以β＝－30°＋k·360°，k∈Z.
9.（1）315°　（2）－45°　（3）－45°，315°，675°
解析：因为－1 845°＝－45°＋（－5）×360°，
即－1 845°角与－45°角的终边相同，所以与角α终边相同的角的集合是{β｜β＝－45°＋k·360°，k∈Z}.
（1）最小的正角为315°.
（2）最大的负角为－45°.
（3）－360°～720°之间的角是－45°，315°，675°.
10.A　当k＝2m＋1（m∈Z）时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m（m∈Z）时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角.故α的终边在第一或第三象限.
11.AC　A＝{第一象限角}＝{θ｜k·360°＜θ＜k·360°＋90°，k∈Z}，B＝{锐角}＝{θ｜0°＜θ＜90°}，C＝{小于90°的角}＝{θ｜θ＜90°}，∴A、C正确.
12.AC　由角α与γ＋60°终边相同，得α＝m·360°＋γ＋60°，m∈Z，由角β与γ－60°终边相同，得β＝n·360°＋γ－60°，n∈Z，则α－β＝（m－n）·360°＋120°，m，n∈Z.1 200°＝3×360°＋120°，选项A、C符合题意，故选A、C.
13.270°　解析：∵角5α与α具有相同的始边与终边，∴5α＝k·360°＋α，k∈Z，得4α＝k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z，又180°＜α＜360°，∴当k＝3时，α＝270°.
14.解：根据题意知，14秒钟后，点P在角14θ＋45°的终边上，∴45°＋k·360°＝14θ＋45°，k∈Z.
又180°＜2θ＋45°＜270°，
即67.5°＜θ＜112.5°，
∴67.5°＜＜112.5°.
又k∈Z，∴k＝3或4，
∴所求的θ的值为或.
∵0°＜＜90°，90°＜＜180°，
∴θ在第一象限或第二象限.
1 / 2§2　任意角
2.1　角的概念推广 2.2　象限角及其表示
新课程标准解读 核心素养
1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角 数学抽象
2.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合 数学抽象
3.掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角 数学抽象
奥运会赛场上，跳水运动员的优美动作引来阵阵喝彩声.跳水（Diving）是一项优美的水上运动，它是从高处通过空中转体，并以特定动作入水的运动.
【问题】　如果跳水运动员在空中顺时针连续转体一周半，那么运动员转过的角度是多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　角的概念的推广
1.角的概念：
平面内一条　　OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB，形成角α.其中点O是角α的顶点，　　　　　　是角α的始边，　　　　　　是角α的终边.
2.角的分类
名称 定义 图形
正角 按　　　　方向旋转形成的角
负角 按　　　　方向旋转形成的角
零角 一条射线没有作　　　　旋转形成的角
提醒　（1）在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记成“α”；（2）角的范围由0°～360°推广到任意角后，角的加减运算就类似于实数的加减运算.
【想一想】
1.当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？
2.你能说出角的三要素吗？
3.正角、负角、零角是根据什么区分的？
知识点二　象限角及其表示
1.象限角：在平面直角坐标系中，若角的顶点在坐标原点，始边在　　　轴的非负半轴，那么，角的　　　　在第几象限，就说这个角是第几　　　　；如果角的终边在　　　　　，这个角就不属于任何象限.
2.终边相同的角：一般地，给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝　　　　　，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与　　　　　　　.
提醒　对集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}的再理解：①角α为任意角，“k∈Z”不能省略；②k·360°与α中间要用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋（－α）；③相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）小于90°的角都是锐角.（　　）
（2）终边与始边重合的角为零角.（　　）
（3）第二象限角是钝角.（　　）
（4）225°角是第三象限角.（　　）
2.与 610°角终边相同的角表示为（其中k∈Z）（　　）
A.k·360°＋230°　 　B.k·360°＋250°
C.k·360°＋70° D.k·180°＋270°
3.图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是　　　　、　　　　、　　　　.
题型一 任意角的概念
【例1】　（多选）下列说法正确的是（　　）
A.锐角都是第一象限角
B.第一象限角一定不是负角
C.小于180°的角是钝角、直角或锐角
D.在90°≤β＜180°范围内的角β不一定是钝角
尝试解答
通性通法
理解与角的概念有关问题的关键
　　关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需要举一个反例即可.
【跟踪训练】
1.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝（　　）
A.150°　　　　　　　　　 B.－150°
C.390° D.－390°
2.经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是　　　　.
题型二 终边相同的角的表示
【例2】　已知α＝－1 910°.
（1）把α写成β＋k·360°（k∈Z，0°≤β＜360°）的形式，并指出它是第几象限角；
（2）求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.
尝试解答
通性通法
终边相同的角的表示
（1）终边相同的角都可以表示成α＋k·360°（k∈Z）的形式；
（2）终边相同的角相差360°的整数倍；
（3）终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍.
【跟踪训练】
1.下列各角中与60°角的终边相同的是（　　）
A.－300°　B.－240°　C.120°　D.390°
2.在直角坐标系中写出下列角的集合：
（1）终边在x轴的非负半轴上；
（2）终边在y＝x（x≥0）上.
题型三 象限角和区间（域）角
【例3】　（1）（多选）在①160°；②480°；③－960°；④1 530°这四个角中，是第二象限角的是（　　）
A.① B.② C.③ D.④
（2）已知α是第二象限角，则角所在的象限为（　　）
A.第一或第三象限 B.第一或第二象限
C.第二或第四象限 D.第三或第四象限
尝试解答
【母题探究】
（变设问）在本例（2）的条件下，求角2α的终边的位置.
通性通法
1.nα或所在象限的判断方法
（1）用不等式表示出角nα或的范围；
（2）用旋转的观点确定角nα或所在象限.
2.表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x｜α＜x＜β}，其中β－α＜360°；
第三步：起始、终止边界对应有α，β，再加上360°的整数倍，即得区域角的集合.
【跟踪训练】
1.－1 060°角的终边落在（　　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内（不包含边界），那么角α的集合是　　　　.
1.期中考试，数学科目从上午8时30分开始，考了2小时.从考试开始到考试结束分针转过了（　　）
A.360°　 B.720°　 C.－360°　 D.－720°
2.－215°角是（　　）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
3.已知750°＜α＜800°，那么是（　　）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
4.已知角α在平面直角坐标系中如图所示，其中射线OA与y轴正半轴的夹角为30°，则α＝　　　　.
2.1　角的概念推广
2.2　象限角及其表示
【基础知识·重落实】
知识点一
1.射线　射线OA　射线OB　2.逆时针　顺时针　任何
想一想
1.提示：不是的.虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小（旋转圈数）并没有确定，所以角也就不能确定.
2.提示：角的三要素是顶点、始边、终边.
3.提示：根据射线是否旋转及旋转方向区分.
知识点二
1.x　终边　象限角　坐标轴上　2.{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}　周角的整数倍的和
自我诊断
1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）√
2.B
3.390°　－150°　60°
【典型例题·精研析】
【例1】　AD　锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以A正确；－350°角是第一象限角，但它是负角，所以B错误；0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以C错误：由于在90°≤β＜180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，所以D正确.
跟踪训练
1.B　各角和的旋转量等于各角旋转量的和.所以120°＋（－270°）＝－150°，故选B.
2.－60°，－720°　解析：钟表的时针和分针都是顺时针旋转的，因此转过的角度都是负的，而×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°.
【例2】　解：（1）设α＝β＋k·360°（k∈Z），
则β＝－1 910°－k·360°（k∈Z）.
令－1 910°－k·360°≥0，
解得k≤－＝－5.
k的最大整数解为k＝－6，求出相应的β＝250°，
于是α＝250°＋（－6）×360°，它是第三象限角.
（2）令θ＝250°＋n·360°（n∈Z），
取n＝－1，－2就得到符合－720°≤θ＜0°的角.
250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.
故θ＝－110°或θ＝－470°.
跟踪训练
1.A　∵－300°＝60°－360°，－240°＝60°－300°，120°＝60°＋60°，390°＝60°＋330°，∴只有A选项中的角与60°角的终边相同.故选A.
2.解：（1）在0°～360°范围内，终边在x轴的非负半轴上的角有一个0°.故终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为{α｜α＝k·360°，k∈Z}.
（2）在0°～360°范围内，终边在y＝x（x≥0）上的角有一个45°.故终边在y＝x（x≥0）上的角的集合为{α｜α＝k·360°＋45°，k∈Z}.
【例3】　（1）ABC　（2）A　解析：（1）第二象限角α需满足k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z，分析可知：①是第二象限角；②是第二象限角；③是第二象限角；④不是第二象限角.故选A、B、C.
（2）∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°（k∈Z）.∴·360°＋45°＜＜·360°＋90°（k∈Z）.当k为偶数时，令k＝2n（n∈Z），得n·360°＋45°＜＜n·360°＋90°，这表明是第一象限角；当k为奇数时，令k＝2n＋1（n∈Z），得n·360°＋225°＜＜n·360°＋270°，这表明是第三象限角.∴为第一或第三象限角.
母题探究
　解：∵α是第二象限角，
∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°（k∈Z）.
∴k·720°＋180°＜2α＜k·720°＋360°（k∈Z）.
∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上.
跟踪训练
1.A　因为－1 060°＝－3×360°＋20°，所以－1 060°角的终边落在第一象限.
2.{α｜k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}
解析：观察图形可知，角α的集合是{α｜k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}.
随堂检测
1.D　因为分针转一圈（即1小时）是－360°，所以从考试开始到考试结束分针转过了－720°.故选D.
2.B　因为－215°＝－360°＋145°，而145°角是第二角限角，所以－215°角是第二象限角，故选B.
3.A　因为750°＜α＜800°，所以375°＜＜400°，所以角终边位于第一象限，故选A.
4.480°　解析：由角α按逆时针方向旋转，可知α为正角.又旋转量为480°，∴α＝480°.
4 / 4(共53张PPT)
2.1　角的概念推广
2.2　象限角及其表示
新课程标准解读 核心素养
1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角 数学抽象
2.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相
同的角所组成的集合 数学抽象
3.掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角 数学抽象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　奥运会赛场上，跳水运动员的优美动作引来阵阵喝彩声.跳水
（Diving）是一项优美的水上运动，它是从高处通过空中转体，并以
特定动作入水的运动.
【问题】　如果跳水运动员在空中顺时针连续转体一周半，那么运动员转过的角度是多少？




知识点一　角的概念的推广
1. 角的概念：
平面内一条 OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终
止位置OB，形成角α.其中点O是角α的顶点， 是角
α的始边， 是角α的终边.
射线　
射线OA　
射线OB　
2. 角的分类
名称 定义 图形
正角 按 方向旋转形成的角
负角 按 方向旋转形成的角
零角 一条射线没有作 旋转形成
的角
逆时针　
顺时针　
任何　
提醒　（1）在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简
记成“α”；（2）角的范围由0°～360°推广到任意角后，角的
加减运算就类似于实数的加减运算.
【想一想】
1. 当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？
提示：不是的.虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大
小（旋转圈数）并没有确定，所以角也就不能确定.
2. 你能说出角的三要素吗？
提示：角的三要素是顶点、始边、终边.
3. 正角、负角、零角是根据什么区分的？
提示：根据射线是否旋转及旋转方向区分.
知识点二　象限角及其表示
1. 象限角：在平面直角坐标系中，若角的顶点在坐标原点，始边
在 轴的非负半轴，那么，角的 在第几象限，就说这
个角是第几 ；如果角的终边在 ，这个角就
不属于任何象限.
2. 终边相同的角：一般地，给定一个角α，所有与角α终边相同的
角，连同角α在内，可构成一个集合S＝
，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表
示成角α与 .
x　
终边　
象限角　
坐标轴上　
{β｜β＝α＋
k·360°，k∈Z}　
周角的整数倍的和　
提醒　对集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}的再理解：①角
α为任意角，“k∈Z”不能省略；②k·360°与α中间要用“＋”
连接，k·360°－α可理解成k·360°＋（－α）；③相等的角的
终边一定相同，而终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数
个，它们相差360°的整数倍.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）小于90°的角都是锐角. （　×　）
（2）终边与始边重合的角为零角. （　×　）
（3）第二象限角是钝角. （　×　）
（4）225°角是第三象限角. （　√　）
×
×
×
√
2. 与 610°角终边相同的角表示为（其中k∈Z）（　　）
A. k·360°＋230° B. k·360°＋250°
C. k·360°＋70° D. k·180°＋270°
3. 图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别
是 、 、 .
390°　
－150°　
60°　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 任意角的概念
【例1】　（多选）下列说法正确的是（　　）
A. 锐角都是第一象限角
B. 第一象限角一定不是负角
C. 小于180°的角是钝角、直角或锐角
D. 在90°≤β＜180°范围内的角β不一定是钝角
解析：　锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以A正确；－350°角是第一象限角，但它是负角，所
以B错误；0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或
锐角，所以C错误：由于在90°≤β＜180°范围内的角β包含90°
角，所以不一定是钝角，所以D正确.
通性通法
理解与角的概念有关问题的关键
　　关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概
念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论
正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需要
举一个反例即可.
【跟踪训练】
1. 射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时
针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝（　　）
A. 150° B. －150°
C. 390° D. －390°
解析：　各角和的旋转量等于各角旋转量的和.所以120°＋（－
270°）＝－150°，故选B.
2. 经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是
.
解析：钟表的时针和分针都是顺时针旋转的，因此转过的角度都是
负的，而 ×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针和
分针转过的角度分别是－60°，－720°.
－60°，－
720°　
题型二 终边相同的角的表示
【例2】　已知α＝－1 910°.
（1）把α写成β＋k·360°（k∈Z，0°≤β＜360°）的形式，并
指出它是第几象限角；
解：设α＝β＋k·360°（k∈Z），
则β＝－1 910°－k·360°（k∈Z）.
令－1 910°－k·360°≥0，
解得k≤－ ＝－5 .
k的最大整数解为k＝－6，求出相应的β＝250°，
于是α＝250°＋（－6）×360°，它是第三象限角.
（2）求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.
解：令θ＝250°＋n·360°（n∈Z），
取n＝－1，－2就得到符合－720°≤θ＜0°的角.
250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.
故θ＝－110°或θ＝－470°.
通性通法
终边相同的角的表示
（1）终边相同的角都可以表示成α＋k·360°（k∈Z）的形式；
（2）终边相同的角相差360°的整数倍；
（3）终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍.
【跟踪训练】
1. 下列各角中与60°角的终边相同的是（　　）
A. －300° B. －240°
C. 120° D. 390°
解析：　∵－300°＝60°－360°，－240°＝60°－300°，
120°＝60°＋60°，390°＝60°＋330°，∴只有A选项中的角
与60°角的终边相同.故选A.
2. 在直角坐标系中写出下列角的集合：
（1）终边在x轴的非负半轴上；
解：在0°～360°范围内，终边在x轴的非负半轴上的
角有一个0°.故终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为
{α｜α＝k·360°，k∈Z}.
（2）终边在y＝x（x≥0）上.
解：在0°～360°范围内，终边在y＝x（x≥0）上的
角有一个45°.故终边在y＝x（x≥0）上的角的集合为
{α｜α＝k·360°＋45°，k∈Z}.
题型三 象限角和区间（域）角
【例3】　（1）（多选）在①160°；②480°；③－960°；④1
530°这四个角中，是第二象限角的是（　　）
A. ① B. ②
C. ③ D. ④
解析：第二象限角α需满足k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z，分析可知：①是第二象限角；②是第二象限角；③是第二象限角；④不是第二象限角.故选A、B、C.
（2）已知α是第二象限角，则角 所在的象限为（　　）
A. 第一或第三象限
B. 第一或第二象限
C. 第二或第四象限
D. 第三或第四象限
解析： ∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋
180°（k∈Z）.∴ ·360°＋45°＜ ＜ ·360°＋90°
（k∈Z）.当k为偶数时，令k＝2n（n∈Z），得n·360°＋
45°＜ ＜n·360°＋90°，这表明 是第一象限角；当k为奇数
时，令k＝2n＋1（n∈Z），得n·360°＋225°＜ ＜n·360°
＋270°，这表明 是第三象限角.∴ 为第一或第三象限角.
【母题探究】
（变设问）在本例（2）的条件下，求角2α的终边的位置.
解：∵α是第二象限角，
∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°（k∈Z）.
∴k·720°＋180°＜2α＜k·720°＋360°（k∈Z）.
∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上.
通性通法
1. nα或 所在象限的判断方法
（1）用不等式表示出角nα或 的范围；
（2）用旋转的观点确定角nα或 所在象限.
2. 表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～
360°范围内的角α和β，写出最简区间{x｜α＜x＜β}，其中β
－α＜360°；
第三步：起始、终止边界对应有α，β，再加上360°的整数倍，
即得区域角的集合.
【跟踪训练】
1. －1 060°角的终边落在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析：　因为－1 060°＝－3×360°＋20°，所以－1 060°角
的终边落在第一象限.
2. 已知角α的终边在如图阴影表示的范围内（不包含边界），那么角
α的集合是
.
解析：观察图形可知，角α的集合是{α｜k·360°＋45°＜α＜
k·360°＋150°，k∈Z}.
{α｜k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，
k∈Z}　
1. 期中考试，数学科目从上午8时30分开始，考了2小时.从考试开始
到考试结束分针转过了（　　）
A. 360° B. 720°
C. －360° D. －720°
解析：　因为分针转一圈（即1小时）是－360°，所以从考试开
始到考试结束分针转过了－720°.故选D.
2. －215°角是（　　）
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
解析：　因为－215°＝－360°＋145°，而145°角是第二角限
角，所以－215°角是第二象限角，故选B.
3. 已知750°＜α＜800°，那么 是（　　）
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
解析：　因为750°＜α＜800°，所以375°＜ ＜400°，所以
角 终边位于第一象限，故选A.
4. 已知角α在平面直角坐标系中如图所示，其中射线OA与y轴正半
轴的夹角为30°，则α＝ .
解析：由角α按逆时针方向旋转，可知α为正角.又旋转量为
480°，∴α＝480°.
480°　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下面各组角中，终边相同的是（　　）
A. 390°，690° B. －330°，750°
C. 480°，－420° D. 3 000°，－840°
解析：　因为－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，
所以－330°与750°终边相同.
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2. 若α是第四象限角，则180°－α是（　　）
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
解析：　可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故
180°－α是第三象限角.
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3. 已知集合{α｜k·360°＋45°≤α≤k·360°＋90°，k∈Z}，则
角α的终边落在阴影部分的区域是（　　）
解析：　当α＝k·360°＋45°，k∈Z时，角α的终边落在第一
象限的角平分线上，当α＝k·360°＋90°，k∈Z时，角α的终边
落在y轴的非负半轴上，按照逆时针旋转的方向确定范围可得集合
表示的区域如选项B所示.
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4. （多选）下列说法不正确的是（　　）
A. 终边在x轴非负半轴上的角是零角
B. 钝角一定大于第一象限的角
C. 第二象限的角不一定大于第一象限的角
D. 第四象限角一定是负角
解析：　A错，终边在x轴非负半轴上的角为k·360°，k∈Z，显然不只是零角；B错，390°是第一象限的角，大于任一钝角；C对，第二象限角中的－210°小于第一象限角中的30°；D错，285°为第四象限角，但不是负角.
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5. （多选）给出的下列四个命题中正确的有（　　）
A. 75°角是第一象限角 B. 225°角是第三象限角
C. 475°角是第二象限角 D. －315°角是第四象限角
解析：　0°＜75°＜90°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－360°＜－315°＜－270°，故A、B、C均正确.
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6. 与－2 024°角终边相同的最小正角是 .
解析：因为－2 024°＝－6×360°＋136°，所以所求角为136°.
136°　
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7. 在0°～360°范围内，与－60°角的终边在同一条直线上的角
为 .
解析：根据终边相同的角的定义知，与－60°终边相同的角可表示
为β＝－60°＋k·360°（k∈Z），当k＝1时β＝300°与－60°
终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内的角为
120°.
120°，300°　
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8. 已知角α，β的终边关于直线y＝－x对称，且α＝－60°，则β
＝ .
解析：在－90°到0°的范围内，－60°角的终边关于直线y＝－x
对称的射线的对应角为－45°＋15°＝－30°，所以β＝－30°
＋k·360°，k∈Z.
－30°＋k·360°，k∈Z　
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9. 已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，则：
（1）最小的正角为 ；
解析：因为－1 845°＝－45°＋（－5）×360°，
即－1 845°角与－45°角的终边相同，所以与角α终边相同
的角的集合是{β｜β＝－45°＋k·360°，k∈Z}.
315°　
最小的正角为315°.
（2）最大的负角为 ；
解析：最大的负角为－45°.
（3）－360°～720°之间的角为 .
－45°　
解析： －360°～720°之间的角是－45°，315°，675°.
－45°，315°，675°　
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10. 若α＝k·180°＋45°（k∈Z），则α的终边在（　　）
A. 第一或第三象限 B. 第一或第二象限
C. 第二或第四象限 D. 第三或第四象限
解析：　当k＝2m＋1（m∈Z）时，α＝2m·180°＋225°＝
m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m（m∈Z）时，
α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角.故α的终边在第一或第
三象限.
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11. （多选）已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于
90°的角}，那么下列表示的A，B，C之间的关系正确的是（　）
A. B A B. B＝A∩C
C. B∪C＝C D. A C
解析：　A＝{第一象限角}＝{θ｜k·360°＜θ＜k·360°＋90°，k∈Z}，B＝{锐角}＝{θ｜0°＜θ＜90°}，C＝{小于90°的角}＝{θ｜θ＜90°}，∴A、C正确.
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12. （多选）如果角α与角γ＋60°的终边相同，角β与角γ－60°
的终边相同，那么α－β值的可能为（　　）
A. 120° B. 360°
C. 1 200° D. 3 600°
解析：　由角α与γ＋60°终边相同，得α＝m·360°＋γ＋60°，m∈Z，由角β与γ－60°终边相同，得β＝n·360°＋γ
－60°，n∈Z，则α－β＝（m－n）·360°＋120°，m，
n∈Z. 1 200°＝3×360°＋120°，选项A、C符合题意，故选
A、C.
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13. 若角α满足180°＜α＜360°，角5α与α有相同的始边与终边，
则角α＝ .
解析：∵角5α与α具有相同的始边与终边，∴5α＝k·360°＋
α，k∈Z，得4α＝k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z，又
180°＜α＜360°，∴当k＝3时，α＝270°.
270°　
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14. 如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx＝45°，点
P从点A处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转.已知点P在1秒内
转过的角度为θ（0°＜θ＜180°），经过2秒钟到达第三象限，
经过14秒钟又回到出发点A，求θ，并判断θ所在的象限.
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解：根据题意知，14秒钟后，点P在角14θ＋45°的终边上，
∴45°＋k·360°＝14θ＋45°，k∈Z.
又180°＜2θ＋45°＜270°，即67.5°＜θ＜112.5°，
∴67.5°＜ ＜112.5°.
又k∈Z，∴k＝3或4，∴所求的θ的值为 或 .
∵0°＜ ＜90°，90°＜ ＜180°，
∴θ在第一象限或第二象限.
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